Przestrzenie Banacha

Przestrzenie unormowane,
przestrzenie Banacha
Matematyka
Studium doktoranckie KAE SGH
Semestr letni 2008/2009
R. Łochowski
Przestrzeń wektorowa
(nad ciałem R)
• Niepusty zbiór X nazywamy przestrzenią
wektorową (nad ciałem liczb rzeczywistych )
jeżeli
– potrafimy dodawać każde dwa elementy zbioru X
– potrafimy mnożyć każde dwa elementy zbioru X
przez liczby rzeczywiste i, co więcej, zachodzi:
∀α , β ∈ , ∀x, y ∈ X
x + y = y + x ∈ X , α ( β x ) = (αβ ) x,
(α x + β x ) = (α + β ) x ∈ X
Przykłady
• Przestrzeń n
• Przestrzeń ciągów liczb rzeczywistych
• Przestrzeń zbieżnych ciągów liczb
rzeczywistych
• Przestrzeń funkcji o wartościach rzeczywistych
określonych na pewnym ustalonym zbiorze A
n
• Przestrzeń funkcji ciągłych f : 0,1 → Przestrzeń unormowana
(nad ciałem R)
• Przestrzenią wektorową X nad ciałem liczb
rzeczywistych będziemy nazywać przestrzenią
unormowaną z normą . ,
• jeżeli istnieje funkcja . : X → , która ma
następujące własności:
∀α ∈ , ∀x ∈ X
• x =0⇔x=0
•αx = α x
• x+y ≤ x + y
(nierównosc trójkata)
Przykłady
• Przestrzeń n z normą x := x
• Przestrzeń ciągów ograniczonych liczb
rzeczywistych. Jaki można podać przykład
normy?
• Przestrzeń zbieżnych ciągów liczb
rzeczywistych
• Przestrzeń funkcji ograniczonych o
wartościach w przestrzeni unormowanej,
określonych na pewnym ustalonym zbiorze A
Zbieżność ciągu wektorów w
przestrzeni unormowanej
• Ciąg wektorów ( x n ) w przestrzeni
unormowanej X nazywamy zbieżnym do
wektora x0 ∈ X , nazywanego jego granicą,
jeżeli
lim n → ∞ x n − x 0 = 0
• Zadanie: udowodnić, że ciąg wektorów może
być zbieżny do co najwyżej jednej granicy
Zbieżność punktowa a zbieżność
jednostajna ciągu funkcji
• Ciąg funkcji fn : A → nazywamy
– zbieżnym punktowo do funkcji f0 : A → ,
jeżeli zachodzi ∀x ∈ A limn →∞ fn ( x ) = f0 ( x )
– zbieżnym jednostajnie do funkcji f0 : A → ,
jeżeli jest zbieżny w przestrzeni unormowanej
funkcji ograniczonych o wartościach rzeczywistych
określonych na zbiorze A, z normą
f = sup x∈ A f ( x )
Przestrzeń Banacha
• Przestrzeń unormowaną X nazywamy
przestrzenią Banacha, jeżeli każdy ciąg ( x n )
o następującej własności
∀ε > 0 ∃nε ∀m, n ≥ nε x m − x n ≤ ε
posiada granicę
• Uwaga: wszystkie podane do tej pory
przykłady przestrzeni unormowanych są
przestrzeniami Banacha
• Zadanie: podać przykład przestrzeni
unormowanej, która nie jest p. Banacha
Kilka innych przykładów
przestrzeni Banacha
• Przestrzeń funkcji ciągłych na odcinku  a, b 
z normą maksimum
f (0) := max x ∈a,b f ( x )


a także z dowolną normą postaci
f ( λ ) := max x ∈a,b e − λ x f ( x ) , λ ∈ 

• Przestrzeń funkcji całkowalnych w sensie
Lebesgue’a w p-tej potędze, o ile utożsamimy
funkcje f i g, dla których ∫a,b f ( x ) − g ( x ) dx = 0
f
p
1/ p


:=  ∫
f (x) 
 a,b

p
(o ile < +∞), p ≥ 1
Twierdzenie Banacha o punkcie
stałym
• Niech X – przestrzeń Banacha
• Niech T : X → X będzie odwzorowaniem
zwężającym, tzn. takim, że istnieje c < 1, że
zachodzi
∀x, y ∈ X T ( x ) − T ( y ) ≤ c x − y
• wówczas F posiada dokładnie jeden punkt
stały, tzn. taki punkt x0 , że zachodzi
T ( x0 ) = x0
Równania różniczkowe
• Często (również w zastosowaniach
ekonomicznych, np. w modelach równowagi )
pojawia się potrzeba rozwiązywania równań
różniczkowych, czyli równań postaci
f ' (t ) = F (t, f (t ) )
• Funkcja f :  a, b  → jest niewiadomą
• Funkcja F :  a, b  × → jest znana
• Np.
f ' (t ) = t + f (t )
Zastosowanie twierdzenia Banacha
o punkcie stałym
• Załóżmy, że F :  a, b  × → jest ciągła ze
względu na 1. zmienną (t) i lipschitzowska ze
względu na 2. zmienną ze stałą L, tzn.
∀y ∈  a, b  ∋ t F ( y, t ) jest ciągla
∀t ∈  a, b  ∀y1, y2 ∈ F ( t , y1 ) − F ( t , y2 ) ≤ L y1 − y2
• wówczas dla ustalonej wartości f ( a) = y a
równanie f ' ( t ) = F ( t , f ( t ) )
ma dokładnie jedno rozwiązanie
Zastosowanie twierdzenia Banacha
o punkcie stałym, c. d.
• Rzeczywiście, zdefiniujmy w przestrzeni funkcji
ciągłych f :  a, b  → z normą . ( λ )
odwzorowanie
Tf ( t ) = y a +
t
∫ F ( s, f ( s ) ) ds,
a
t ∈  a, b 
• Okazuje się, że jest ono odwzorowaniem
zwężającym dla λ > L
• Zatem istnieje dokładnie jeden punkt stały
f (t ) = ya +
t
∫ F ( s, f ( s ) ) ds
a
f ( a) = y a , f ' ( t ) = F ( t , f ( t ) )