Reszta z dzielenia liczby przez 4 może wynosić 1 lub 2 lub 3. Przy

Reszta z dzielenia liczby przez 4 może wynosić 1 lub 2 lub 3.
Przy dzieleniu liczby nieparzystej przez 4 otrzymujemy resztę nieparzystą, czyli 1 lub 3.
Ponieważ dzielenie daje różne reszty liczby a i b mają postać:
4𝑥 + 1 = 𝑎
4𝑦 + 3 = 𝑏
(4𝑥 + 1)2 + (4𝑦 + 3)2 = 16𝑥 2 + 8𝑥 + 1 + 4𝑦 2 + 24𝑦 + 9 = 16𝑥 2 + 16𝑦 2 + 8𝑥 + 8𝑦 + 10
Suma kwadratów zadanych liczb nieparzystych to otrzymany wielomian, który byłby podzielny przez
4 wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie poszczególne jego wyrazy dzieliłyby się przez 4 bez reszty:
16x 2 − jest podzielne przez 4 bo 16 dzieli się bez reszty przez 4
16y 2 − jest podzielne przez 4 bo 16 dzieli się bez reszty przez 4
8x − jest podzielne przez 4 bo 8 dzieli się bez reszty przez 4
8y − jest podzielne przez 4 bo 8 dzieli się bez reszty przez 4
𝟏𝟎 − 𝐧𝐢𝐞 𝐝𝐳𝐢𝐞𝐥𝐢 𝐬𝐢ę 𝐛𝐞𝐳 𝐫𝐞𝐬𝐳𝐭𝐲 𝐩𝐫𝐳𝐞𝐳 𝟒 (𝐫𝐞𝐬𝐳𝐭𝐚 𝟐)
Stąd suma kwadratów liczb a i b nie jest podzielna przez 4.