Algebra Liniowa 4 - Przestrzenie Wektorowe

Algebra Liniowa 4 - Przestrzenie Wektorowe
√
√
4.1 Dana jest grupa przemienna (V, +), gdzie V = {a + b 2 + c 3 : a, b, c ∈ Q}. Czy ((V, +), Q, ·)
jest przestrzenią liniową? Jeśli tak to znaleźć jej bazę.
4.2 Czy zbiór V jest podprzestrzenią liniową przestrzeni R2n ? Jeśli tak to znaleźć jej bazę.
a) V = {(x1 , ..., x2n ) ∈ R2n : x1 = 2x2 }
b) V = {(x1 , ..., x2n ) ∈ R2n : x1 + x2 + x3 + ... + xn = xn+1 + . . . x2n }
c) V = {(x1 , ..., x2n ) ∈ R2n : x1 · x2 = 0}
d) V = {(x1 , ..., x2n ) ∈ R2n : x1 = 2x2 , x3 = 2x4 , ..., x2n−1 = 2x2n }
e) V = {(x1 , ..., x2n ) ∈ R2n : x1 − xn+1 = x2 − xn+2 = ... = xn − x2n }
4.3 Czy następujące podzbiory są podprzestrzeniami wektorowymi przestrzeni R[x]n ? Jeśli tak to
znaleźć ich bazę.
a) wielomiany, których pierwiastkiem jest pewna ustalona liczba r ∈ R,
b) wielomiany, których pierwiastkiem k-krotnym jest pewna ustalona liczba r ∈ R.
c) wielomiany, których pierwiastkiem co najmniej k-krotnym jest pewna ustalona liczba r ∈ R.
4.4 Udowodnić, że zbiór ciągów o wyrazach rzeczywistych RN tworzy przestrzeń wektorową nad R.
Czy następujące podzbiory są jej podprzestrzeniami wektorowymi?
a) ciągi ograniczone,
b) ciągi zbieżne,
c) ciągi zbieżne do 0,
d) ciągi zbieżne do 1,
e) ciągi o prawie wszystkich wyrazach równych zero tzn. takich których ”tylko” skończona liczba
wyrazów jest różna od zera,
f) ciągi, których suma kwadratów wyrazów jest skończona.
4.5 Niech W1 , W2 - podprzestrzenie liniowe przestrzeni liniowej V nad ciałem K. Wykazać, że W1 ∩W2
jest podprzestrzenią liniową przestrzeni V . Jakie relacje musza zachodzić między W1 , W2 aby W1 ∪W2
była podprzestrzenią.
4.6 Czy podany układ wielomianów jest niezależny w przestrzeni R[x]3 ?
a) {x + 3; (x − 3)3 ; 45 ; 3x2 ; x3 − 4}
b) {x + 1; x3 + 2x; x2 − 5x + 2; 7x3 + 2x2 }
c) { 31 x2 + 5x; −x3 ; 2x + 1; 5x}
4.7 Czy w przestrzeni RR podany układ wektorów jest liniowo niezależny a) {x, sin x, cos x},
b) {sin x, cos x, sin 2x, cos 2x}, c){cos 2x, sin2 x, cos2 x}.
4.8 Znaleźć bazę przestrzeni wielomianów co najwyżej 2-go stopnia spełniających warunek a) w(1) =
w(2), b) w(1) = w(−1), c) w(1) = w(0)
= w(−1).


a b
 : a, b ∈ R}. b) macierzy 2 × 2 trójkątnych górnych c)
4.9 Znaleźć bazę podprzestrzeni a){
b a
macierzy 3 × 3 diagonalnych.