Wskazywanie i obliczanie kątów między ścianami wielościanu

Kurs e-learningowy
Matematyka – lekcja 43
Opracowanie:
Piotr Kaźmierczyk
43. Wskazywanie i obliczanie kątów między ścianami wielościanu,
między ścianami i odcinkami oraz między odcinkami
takimi jak krawędzie, przekątne, wysokości.
I.
Przypomnij sobie:
1. Kąty w graniastosłupie:
- kąt nachylenia ściany bocznej
do krawędzi podstawy
- kąt nachylenia najdłuższej przekątnej
do płaszczyzny podstawy
- kąt między najdłuższą przekątną a
mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm krawędzią boczną
2. Kąty w ostrosłupie:
- kąt nachylenia krawędzi bocznej DS do płaszczyzny podstawy ostrosłupa
- kąt nachylenia ściany bocznej ABS do płaszczyzny podstawy ostrosłupa
- kąt między ścianami bocznymi ABS i CBS ostrosłupa
- kąt płaski przy wierzchołku ostrosłupa
- kąt między krawędzią boczną a krawędzią podstawy
Kurs e-learningowy
Matematyka – lekcja 43
Opracowanie:
Piotr Kaźmierczyk
II.
Zobaczmy, jak możemy wykorzystać to w konkretnych przykładach (z
uwzględnieniem czasami nieco innej strategii rozwiązywania zadań zamkniętych i
otwartych).
Przykład 1.
Przekątna ściany sześcianu ma długość 2 3 (rysunek obok).
Oblicz:
a. długość przekątnej d sześcianu,
b. sinus kąta  między krawędzią sześcianu a jego przekątną.
Rozwiązanie:
1. Długość krawędzi a sześcianu obliczamy z twierdzenia Pitagorasa np. dla trójkąta BCD:
 
a2  a2  2 3
2
2a 2  12 / : 2
a2  6
a 6
2. Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego BDD1 obliczamy długość przekątnej d :
 
2
a2  2 3  d 2
6  12  d 2
d 2  18
d  18  3 2
3. Obliczamy sinus kąta  między krawędzią sześcianu a jego przekątną:
BD
2 3 2 2 6
6
sin  




BD1 3 2 2 3  2
3
Odpowiedź: Przekątna tego sześcianu ma długość d  3 2 , a kąt  między krawędzią
6
sześcianu a jego przekątną spełnia warunek: sin  
.
3
Przykład 2.
W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym (rysunek obok) o krawędzi
podstawy długości 4 połączono wierzchołek C1 z wierzchołkami A i B.
Oblicz sinus kąta  pomiędzy płaszczyzną trójkąta ABC1 a płaszczyzną
podstawy ABC graniastosłupa, wiedząc że pole trójkąta ABC1 jest równe
8 3.
Kurs e-learningowy
Matematyka – lekcja 43
Opracowanie:
Piotr Kaźmierczyk
Rozwiązanie:
CC1
DC1
sin  
1. DC1 możemy wyliczyć z pola trójkąta ABC1:
PABC1 
1
 AB  DC1
2
1
 4  DC1
2
8 3  2  DC1 / : 2
8 3
DC1  4 3
2. DC jest wysokością podstawy tego graniastosłupa czyli wysokością trójkąta
równobocznego ABC o boku długości 4. Zatem (ze wzorów maturalnych h 
a 3
):
2
4 3
2 3
2
3. CC1 obliczamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta DCC1:
DC 
DC  CC1  DC1
2
2
2 3   CC
2
2
1
2
 
 4 3
2
12  CC1  48
2
CC1  48  12  36
2
CC1  6
CC1
6
3 6 3
3
.




DC1 4 3 3 4  3
2
5. Możemy więc określić nawet dokładną miarę kąta . Jest ona równa 60o.
4. Zatem sin  
Odpowiedź: Sinus kąta  pomiędzy płaszczyzną trójkąta ABC1 a płaszczyzną podstawy ABC
3
graniastosłupa jest równy
, więc miara tego kąta jest równa 60o.
2
Przykład 3.
W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym o krawędzi podstawy 3 2 i wysokości 2 3
kąt nachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny podstawy jest równy:
A. 22o 30’,
B. 30o,
C. 45o,
D. 60o.
Kurs e-learningowy
Matematyka – lekcja 43
Opracowanie:
Piotr Kaźmierczyk
Rozwiązanie:
Kąt nachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny podstawy jest jednocześnie kątem
między przekątną graniastosłupa a przekątną jego podstawy (zobacz: kąt  w I.1. rys. z
prawej strony). Znając długość przekątnej podstawy d p  3 2  2  6 oraz wysokość
prostopadłościanu h  2 3 możemy określić:
h 2 3
3


dp
6
3
Zatem kąt  ma miarę 30o.
tg 
Prawidłowa odpowiedź to B.
Przykład 4.
Miara kąta, jaki tworzą sąsiednie ściany boczne graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego,
jest równa:
A. 60o,
B. 90o,
C. 100o,
D. 120o.
Rozwiązanie:
Ściany boczne graniastosłupa prostego są prostopadłe do jego podstawy. Zatem kąt, jaki
tworzą sąsiednie ściany boczne takiego graniastosłupa jest zarazem kątem wewnętrznym
wielokąta, który jest podstawą ostrosłupa. W tym przypadku podstawą jest sześciokąt
foremny. Jego kąt wewnętrzny ma miarę 120o (łatwo to zauważyć gdy sześciokąt ten
podzielimy – łącząc ze sobą przeciwległe wierzchołki - na sześć przystających trójkątów
równobocznych).
Czyli prawidłowa odpowiedź to D.
Przykład 5.
Ostrosłup, który ma 6 krawędzi, ma:
A. 8 wierzchołków,
B. 6 wierzchołków,
C. 5 wierzchołków,
D. 4 wierzchołki.
Rozwiązanie:
Ostrosłup ma taką samą ilość krawędzi bocznych jak krawędzi podstawy. 3 krawędzie
podstawy tworzą trójkąt (3 wierzchołki). Czwartym wierzchołkiem jest wierzchołek S
ostrosłupa.
Razem – 4 wierzchołki.
Odpowiedź D.
Kurs e-learningowy
Matematyka – lekcja 43
Opracowanie:
Piotr Kaźmierczyk
ZADANIA DO ROZWIĄZANIA
Zadanie 1. (1 pkt)
Graniastosłup o czterdziestu wierzchołkach ma:
A. 40 ścian,
B. 22 ściany,
C. 20 ścian,
D. 12 ścian.
Uwaga: Podstawy to też ściany.
Zadanie 2. (1 pkt)
Sinus kąta nachylenia przekątnej sześcianu do płaszczyzny jego podstawy jest równy:
A.
2
,
2
B.
3
,
2
C.
3
,
3
Zadanie 3. (3 pkt)
Podstawą ostrosłupa (rysunek obok) jest prostokąt o bokach długości 6
cm i 9 cm. Krawędzie boczne ostrosłupa tworzą z płaszczyzną
podstawy kąty o równych miarach 60o. Oblicz wysokość oraz długość
krawędzi bocznej tego ostrosłupa.
D.
6
.
3