IX Wrocławski Konkurs Matematyczny dla uczniów klas I

IX Wrocławski Konkurs Matematyczny dla uczniów klas I-III gimnazjów
rok szkolny 2013/2014
Etap III
Matematyka to „sztuka poprawnego rozumowania”.
Odpowiedź do każdego zadania należy uzasadnić, nie wystarczy odpowiedzieć tak lub nie.
Zadanie 1.
Obok pierwszego obserwatora przejechały kolejno jadąc w tym samym kierunku: autobus,
motocykl i samochód osobowy. Po pewnym czasie obok drugiego obserwatora przejechały
te same pojazdy w kolejności: autobus, samochód, motocykl. Motocykl porusza się z prędkością
30 km/h a samochód z prędkością 60 km/h. Pomiędzy kolejnymi przejazdami mijała taka sama
ilość czasu u jednego i drugiego obserwatora. Jaka jest prędkość autobusu?
Zadanie 2.
Dana jest prostokątna tablica 3 x 4 i w jednej z kratek napisana jest cyfra 0. Czy można rozmieścić
cyfry w pozostałych kratkach tak, aby sumy cyfr każdego z trzech wierszy były równe, a sumy cyfr
każdej kolumny równe i większe od 15? Każdą cyfrę możemy użyć najwyżej dwa razy.
Zadanie 3
Znajdź wszystkie liczby naturalne x, y, z różne od 0, które spełniają warunek xyz = x + y.
Zadanie 4.
Małgosia miała szklankę czarnej kawy. Wypiła 0,2 szklanki i dopełniła ją mlekiem. Znowu wypiła
0,2 szklanki i ponownie dopełniła mlekiem, następnie wypiła 0,6 szklanki i stwierdziła, że
w pozostałej części jest o 28 cm3 więcej kawy niż mleka. Oblicz pojemność szklanki.
Zadanie 5.
Na przeciwległych bokach kwadratu o boku a narysowano w jego wnętrzu dwa trójkąty
równoboczne o boku a. Oblicz pole figury, która jest wspólną częścią tych trójkątów.
Zadanie 6.
Udowodnij, że układ równań
x2
yz
a
2
xz
b
z2
xy
c
y
nie posiada rozwiązania, gdy a + b + c < 0.
Powodzenia !
Przykładowe rozwiązania
Zadanie 1.
Obok pierwszego obserwatora przejechały kolejno jadąc w tym samym kierunku: autobus,
motocykl i samochód osobowy. Po pewnym czasie obok drugiego obserwatora przejechały
te same pojazdy w kolejności: autobus, samochód, motocykl. Motocykl porusza się z prędkością
30 km/h a samochód z prędkością 60 km/h. Pomiędzy kolejnymi przejazdami mijała taka sama
ilość czasu u jednego i drugiego obserwatora. Jaka jest prędkość autobusu?
Rozwiązanie:
s – odległość między obserwatorami
v – prędkość autobusu
t – czas między kolejnymi przejazdami
s
v
s
v
t
t
s
30
s
60
2s
s
s
v 30 60
2 1
1
v 30 60
v 40
Odpowiedź: Prędkość autobusu wynosi 40 km/h.
Zadanie 2.
Dana jest prostokątna tablica 3 x 4 i w jednej z kratek napisana jest cyfra 0. Czy można rozmieścić
cyfry w pozostałych kratkach tak, aby sumy cyfr każdego z trzech wierszy były równe, a sumy cyfr
każdej kolumny równe i większe od 15? Każdą cyfrę możemy użyć najwyżej dwa razy.
Rozwiązanie:
Sumy liczb w każdej kolumnie mają być równe i jednocześnie większe od 15. Suma liczb w kolumnie
zawierającej zero może wynosić najwyżej 18 (0 + 9 + 9). Sumy kolumn mogą więc przyjmować
wartości: 16, 17 lub 18.
Suma wszystkich liczb wpisanych w tablicę jest podzielna przez 3, bo są trzy wiersze o takiej samej
sumie. Odpadają więc liczby 16 i 17 jako sumy kolumn, bo liczby 16 . 4 i 17 . 4 nie są podzielne
przez 3. Suma liczb w kolumnach jest więc równa 18. Suma liczb wierszach jest równa (18 . 4) : 3 = 24.
Taką sumę nie uzyskamy w wierszu, w którym występuje zero, ponieważ użyliśmy dwie cyfry 9
w kolumnie z zerem (0 + 9 + 9 = 18), w tym wierszu możemy uzyskać najwyżej 0 + 8 + 8 + 7 = 23 <24.
Odpowiedź: Nie można.
Zadanie 3
Znajdź wszystkie liczby naturalne x, y, z różne od 0, które spełniają warunek xyz = x + y.
Rozwiązanie:
xyz
z
x
1
y
y
z
1
y
1
, więc
x
1
1 1 2 , zatem z = 1 lub z = 2
x
Dla z = 1
xy
x
( x 1)( y 1) 1, stąd
y
x – 1 = -1 i y – 1 = - 1 lub x – 1 = 1 i y – 1 = -1
x = 0 i y = 0 lub x = 2 i y = 2, zatem szukana trójka liczb to (2, 2, 1)
Dla z = 2
2 xy
x
y
2
1
y
1
x
x
y 1 , stąd druga trójka liczb to (1, 1, 2)
Odpowiedź: Szukana trójka liczb to (2, 2, 1) lub (1, 1, 2).
Zadanie 4.
Małgosia miała szklankę czarnej kawy. Wypiła 0,2 szklanki i dopełniła ją mlekiem. Znowu wypiła
0,2 szklanki i ponownie dopełniła mlekiem. Następnie wypiła 0,6 szklanki i stwierdziła, że
w pozostałej części jest o 28 cm3 więcej kawy niż mleka. Oblicz pojemność szklanki.
Rozwiązanie:
x – pojemność szklanki
I sytuacja
II sytuacja
III sytuacja
Ilość kawy
0,8x
0,8 . 0,8x = 0,64x
0,4 . 0,64x = 0,256x
0,256x – 28 = 0,144x, skąd x = 250
Odpowiedź: Pojemność szklanki wynosi 250 ml.
Ilość mleka
0,2x
0,2x + 0,2 . 0,8x = 0,36x
0,4 . 0,36x = 0,144x
Zadanie 5.
Na przeciwległych bokach kwadratu o boku a narysowano w jego wnętrzu dwa trójkąty
równoboczne o boku a. Oblicz pole figury, która jest wspólną częścią tych trójkątów.
Rozwiązanie:
Część wspólna trójkątów jest rombem o kącie ostrym 600, składa się
więc z dwóch trójkątów równobocznych.
Oznaczając przez
x – długość boku rombu (trójkąta równobocznego)
Trójkąt FBE jest połową trójkąta równobocznego o wysokości a/2 i boku
a – x.
Ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego otrzymujemy:
a
2
(a
Prombu
x) 3
, skąd x
2
2
x2 3
4
(
3
)
3
a (1
2 3
1) a 2
3
Odpowiedź: Pole rombu wynosi (
2 3
1) a 2
3
Zadanie 6.
x2
yz
a
2
Udowodnij, że układ równań y
xz
b nie posiada rozwiązania, gdy a + b + c < 0.
z2
xy
c
Rozwiązanie:
Dodając stronami równania i mnożąc przez 2 otrzymamy
2(x2 + y2 + z2) – 2(xy + yz + xz) = 2(a + b + c)
Lewą stronę równania można zapisać:
(x2 – 2xz + z2) + (y2 – 2yz + z2) + (x2 – 2xy + y2) = (x – z)2 + (y – z)2 + (x – y)2
Równanie przyjmuje więc postać:
(x – z)2 + (y – z)2 + (x – y)2 = 2(a + b + c)
Lewa strona równania jest większa lub równa zero, zatem jeśli a + b + c < 0, to równość nie może
zachodzić.