Wnioskowanie statystyczne – rozkłady prawdopodobieństwa

Statystyka – wybrane rozkłady prawdopodobieństwa
1. Rzucono kostką 8 razy. Wyznaczyć prawdopodobieństwa poniższych zdarzeń.
a) dokładnie raz wypadła szóstka,
b) 4 razy wypadła parzysta liczba oczek,
c) ani razu nie wyrzucono jedynki,
d) co najwyżej 3 razy wypadła trójka lub czwórka,
e) przynajmniej 2 razy liczba oczek była większa niż 4.
2. Wykonano 3 rzuty monetą. Liczba uzyskanych orzełków jest zmienną losową. Wyznaczyć
funkcję prawdopodobieństwa, wartość oczekiwaną oraz wariancję tej zmiennej losowej.
3. Wykonano 6 rzutów kostką.
a) Ile przeciętnie uzyskano szóstek?
b) Wyznaczyć odchylenie standardowe zmiennej losowej jaką jest liczba uzyskanych czwórek
lub piątek.
4. Wadliwość partii towaru wynosi p  0,006 . Obliczyć prawdopodobieństwo, że losując ze
zwracaniem 150 sztuk otrzymamy dokładnie 2 sztuki wadliwe.
5. Obliczyć prawdopodobieństwo trafienia co najmniej jednej „szóstki” w Toto Lotku. Liczba
kuponów n  10 6 . p  7,15  10 8 .
6. Zakład ubezpieczeniowy ubezpiecza na wypadek śmierci 20000 osób. Prawdopodobieństwo że
losowo wybrany klient umrze w ciągu roku jest równe 0,00005. Liczba klientów którzy zmarli w
ciągu roku jest zmienną losową. Wyznaczyć jej rozkład, wartość oczekiwaną oraz wariancję.
7. Para młoda kroi tort weselny. Liczba rodzynek w jednym kawałku ciasta ma rozkład Poissona
z parametrem   5 .
a) Ile przeciętnie rodzynek znajduje się w jednej porcji?
b) Jakie jest odchylenie standardowe rodzynek w porcji?
8. Odsetek studentów, którzy uzyskują zaliczenie ze statystyki w pierwszym terminie ma rozkład
jednostajny na przedziale [0,6; 1].
a) Podać funkcję gęstości tej zmiennej losowej.
b) Jaki jest przeciętny odsetek studentów, którzy nie uzyskują zaliczenia?
c) Wyznaczyć i zinterpretować odchylenie standardowe tej zmiennej losowej.
d) Wyznaczyć i narysować dystrybuantę powyższego rozkładu.
9. Dana jest zmienna losowa U ~ N (0,1) . Korzystając z tablic dystrybuanty tej zmiennej
obliczyć:
a) P(U  0,52) ,
b) P(U  2,11) ,
c) P(U  3,29) ,
d) P(0,75  U  0) ,
e) P(1  U  2,5) ,
f) P( U  3) ,
g) P(U  1,7) .
10. Dane są niezależne zmienne losowe X ~ N (100,10) oraz Y ~ N (120,20) . Obliczyć:
a) P( X  83) , b) P( X  112) , c) P(90  X  124) , d) P(Y  51) , e) P(Y  159) ,
f) P(102  Y  125) , g) P( X  Y  141) , h) P( X  Y  217) , i) P(180  X  Y  250) .
11. Czas świecenia żarówek pewnego producenta ma rozkład N(2500, 400). Obliczyć
prawdopodobieństwo, że losowo wybrana żarówka będzie świecić:
a) krócej niż 2000 godzin;
b) dłużej niż 3500 godzin;
c) pomiędzy 1500 a 2500 godzin.
*d) Co najmniej jak długo świeci 5 % najtrwalszych żarówek?
12. Wzrost mężczyzn w populacji ma rozkład normalny o wartości oczekiwanej 177 cm i
wariancji równej 64 cm2. Obliczyć prawdopodobieństwo że losowo wybrany mężczyzna jest:
a) niższy niż 180 cm;
b) wyższy niż 190 cm; c) wyższy niż 165 cm ale niższy niż 175 cm.
13. Pani X twierdzi, że ojcem jej dziecka urodzonego 15 maja 2007 roku jest pan Y. Aby to
potwierdzić, złożyła wniosek do sądu, aby poddać pana Y badaniom genetycznym. Pan Y
stanowczo broni się twierdząc, że nie może być ojcem dziecka, gdyż przez dłuższy czas pracował
w Indiach a do kraju wrócił dopiero 12 września 2006 roku, a więc na 245 dni przed porodem.
Czy sędzia powinien przychylić się do wniosku pani X, jeżeli wiadomo, że statystyczna ciąża
trwa 270 dni z odchyleniem standardowym 13 dni, a jej rozkład jest bardzo zbliżony do rozkładu
normalnego?
14. Wykonujemy 1000 rzutów monetą. Obliczyć prawdopodobieństwo, że uzyskamy:
a) co najmniej 520 orłów;
b) mniej niż 400 orłów;
c) pomiędzy 450 a 550 orłów.
15. Dana jest zmienna losowa U ~ N (0,1) . Wyznaczyć wartość u , dla której:
a) P(U  u )  0,95 , b) P(U  u )  0,99 , c) P(U  u )  0,1 , d) P(U  u )  0,5 ,
e) P( U  u )  0,99 ,
f) P( U  u )  0,95 ,
g) P( U  u )  0,3 .