Ruch elektronu wewn atrz kondensatora p laskiego
advertisement
Ruch elektronu wewnatrz kondensatora plaskiego , a) Elektrony o zerowej predkości poczatkowej v0 = 0 zostaja, wstrzykniete do wnetrza kondensatora , , , , plaskiego w pobliżu ujemnie naladowanej plytki. We wnetrzu kondensatora zostaj a przyspieszone do , , predkości v1 i wylatuja, z ta, predkości a, na zewnatrz kondensatora. Miedzy okladkami kondensatora, , , , , odleglymi o d1 , istnieje różnica potencjalów U1 = 120 V. Jaka jest predkość v 1? , b) Elektrony z predkości a, v1 wpadaja, do wnetrza drugiego kondensatora równolegle do okladek kon, , densatora dokladnie w polowie odleglości pomiedzy okladkami kondensatora. Okladki kondensatora , oddalone sa, o d = 1.5 cm i maja, dlugość l = 6.0 cm. Jaka jest maksymalna różnica potencjalów Umax miedzy okladkami kondensatora dla której elektrony nie trafia, w dodatnio naladowana, plytke, i , opuszcza, swobodnie obszar kondensatora? c) Sprawdź czy sila grawitacyjna jaka dziala na elektron ma istotny wplyw na wynik uzyskany w punkcie b)? Stosunek ladunku elektronu do jego masy wynosi e/m = 1.75 · 1011 C/kg. Rozwiazanie , a) Na elektron dziala sila F = eE gdzie E = U1 /d1 jest nateżeniem pola elektrycznego wewnatrz kondensatora. Sila ta na odcinku d1 , , wykonuje prace, W = F d1 która jest równa zmianie energii kinetycznej elektronu. F d1 = mv12 /2 eEd1 = mv12 /2 v1 = q eU1 = mv12 /2 2eU1 /m = 6.5 · 106 m/s Wynik ten obowiazuje nie tylko dla jednorodnego pola kondensatora plaskiego, lecz dla każdego pola , elektrycznego, w którym poczatkowo spoczywajacy elektron przebedzie obszar o różnicy potencjalów , , , U1 . b) Aby stwierdić czy elektron uderzy w dodatnio naladowana, okladke, kondensatora należy obliczyć równanie toru elektronu wewnatrz kondensatora. Na elektron dziala stala sila F = eE skierowana , , prostopadle do okladek kondensatora w kierunku od ujemnej do dodatniej okladki (oś y). Oś x wybierzmy równolegle do predkości poczatkowej elektronu v1 . Poczatek ukladu wspólrzednych umieśćmy , , , , w punkcie w którym elektron wpada do kondensatora. Napiszmy równanie ruchu elektronu w kieruku osi x i y max = Fx = 0 may = Fy = eE ax = 0 ay = eE/m = eU md W kierunku osi x elektron porusza sie, ruchem jednostajnym a w kierunku osi y jednostajnie przyspieseU Zatem polożenie zależy od czasu w sposób nastepuj acy zonym z przyspieszeniem md , , x = x0 + vx0 t + ax t2 /2 y = y0 + vy0 t + ay t2 /2 Dla wartości poczatkowych , vx0 = v1 , x0 = 0, vy0 = 0, y0 = 0 otrzymujemy x = v1 t y= t = x/v1 y = 1 eU 2 2 md t eU x2 2mdv12 Podstawiajac , za v1 wartość z punktu a) rownanie toru ma postać y= U 2 x 4U1 d Aby elektron nie uderzyl w dodatnia, okladke, jego y wspólrzedna dla x = l musi być mniejsza niż d/2. , Wartość maksymalna, napiecia U otrzymamy z warunku max , d Umax l2 = 2 4U1 d Umax = 2U1 d2 = 15V l2 c) Porównajmy sile, elektryczna, i grawitacyjna, dzialajac , a, na elektron. Sila elektryczna Fel = eUmax /d Sila grawitacyjna FG = mg Fel eUmax = = 1.8 · 1013 FG mgd Zatem sila grawitacyjna jest zaniedbywalnie mala w stosunku do sily elektrycznej i nie ma istotnego wplywu na wynik. Pole elektryczne jednorodnie naladowanego preta , Oblicz nateżenie pola elektrycznego jednorodnie naladowanego preta o dlugości L i calkowitym ladunku , , Q dla punktów leżacych na prostej prostopadlej do preta i przechodzacej przez jego środek. Rozpatrz , , , przypadek nieskończenie dlugiego preta (L → ∞) na ladowanego tak a sam a g estości a, ladunku λ = Q/L oraz , , , , odleglości od środka preta y znacznie wiekszej od jego rozmiarów y L , , Rozwiazanie , Wybierzmy uklad wspólrzednych którego poczatek znajduje sie, w środku preta, pret , , , , leży na osi x a punkty w których obliczamy pole na osi y. Podzielmy pret , na nieskończenie wiele elementów o dlugości dx. Każdy ~ od ladunku dq ma z tych elementów posiada ladunek dq = λdx = Q , L dx. Pole elektryzne dE pochodzace skladowa, równolegla, do preta i prostopadla, do niego. Dla każdego elementu ladunku po prawej stronie od , poczatku uk ladu wspó lrz ednych istnieje element po lewej stronie który wytwarza skladowa, równolegla, o , , tej samej wartości ale przeciwnie skierowana., Jeśli wysumujemy po wszystkich elementach dx to skladowa równolegla bedzie równa zeru. Dlatego wystarczy obliczyć jedynie skladowa, postopadla. Wartość pola , , elektrycznego pochodzego od elementu ladunku dq = λdx wynosi dE = 1 dq 1 λdx = 4πε0 r2 4πε0 r2 Skladowa prostopadla ma wartość 1 λdx cos φ 4πε0 r2 Calkowita skladowa prostopadla Ey jest calka, od x = −L/2 do x = L/2. Z powodu symetrii rozkladu ladunku, wklad calkowitego pola od każdej z polówek preta jest taki sam, wiec , , otrzymamy ten sam wynik calkujac , od x = 0 do x = L/2 i mnożac , wynik przez dwa: dEy = Ey = Z L/2 −L/2 dEy = 2 Z L/2 0 dEy Obliczenia można znacznie uprościć calkujac , po zmiennej φ zamiast po x. x = y tan φ Różniczka dx jest wiec z różniczka, dφ , , zwiazana dx = y ydφ d (tan φ)dφ = dφ cos2 φ Zatem dEy = 1 λydφ 4πε0 r2 cos φ Ponieważ cos φ = y/r, dEy = r = y/ cos φ 1 λ cos φdφ 4πε0 y Zmieniajac , zmienne, granice calkowania przyjma, wartość φ = 0 dla x = 0 oraz φ = φ1 dla x = L/2, gdzie tan φ1 = L/2 y Zatem 1 2λ Ey = 4πε0 y Z φ1 cos φdφ = 0 Dla y L możemy zapisać Zatem L/2 1 1 2Q 1 2λ 1 Q p p sin φ1 = = 4πε0 y 4πε0 Ly (L/2)2 + y 2 4πε0 y (L/2)2 + y 2 q (L/2)2 + y 2 ≈ y Ey ≈ 1 Q 4πε0 y 2 Czyli tak jak spodziewalibyśmy sie, jest na tyle duża, że wyglada on jak punktowy , , kiedy odleglość od preta , ladunek Q. Dla nieskończenie dlugiego preta L → ∞ naladowanego gestości a, ladunku λ = Q/L = const skorzystamy , , ze wzoru L/2 1 2λ p Ey = 4πε0 y (L/2)2 + y 2 Dla L → ∞ Zatem p L/2 →1 (L/2)2 + y 2 Ey → 1 2λ 4πε0 y Dla nieskończenie dlugiego preta, pole elektryczne w odleglości y od preta jest zawsze prostopadle do preta , , , (skladowa równolegla ze wzgledu na symetri e sumuje si e do zera) i odwrotnie proporcjonalne do odleg lości , , , y. Pojemność kondensatora cylindrycznego Jaka jest pojemność kondensatora cylindrycznego o dlugości L. Okladkami takiego kondensatora s a, dwie wspólosiowe powloki cylindryczne o promieniach R1 i R2 (R2 > R1 ). Rozwiazanie , Z definicji, pojemność dowolnego kondensatora wyraża sie, wzorem Q C= V gdzie Q jest ladunkiem zgromadzonym na każdej okladce (na jednej dodatni Q a na drugiej ujemny −Q) a V jest różnica, potencjalów miedzy okladkami. Aby obliczyć pojmność C skorzystamy ze zwiazku miedzy , , , ladunkiem Q a polem elektrycznym E panujacym mi edzy ok ladkami kondensatora , , Q = ε0 I ~ ~ · dA E (Prawo Gauss’a) ~ i różnica potencjalów miedzy okladkami. oraz zwiazku miedzy polem elektrycznym E , , , , V = Z ~ ~ · dl E Najpierw policzymy na podstawie prawa Gauss’a jakie jest pole elektryczne w obszarze mi edzy okladkami , kondensatora. Powierzchnia ca lkowania powinna być tak wybrana aby można by lo w sposób jak najprostszy H ~ po tej powierzchni. Dla uproszczenia obliczeń zaniedbamy wszystkie efekty brze~ · dA obliczyć calke, E gowe, tzn. przyjmiemy że pole elektryczne w calej objetości kondensatora jest takie jakby pochodzilo od , nieskończenie dlugiej powloki cylindrycznej. Ze wzgledu na symetrie, problemu, pole elektryczne pochodzace , , od nieskończenie dlugiego cylindrycznie symetrycznego rozkladu ladunkeu jest zawsze prostopadle do osi cylindra oraz wartość bezwzgledna pola elektrycznego dla punktów równoodleglych od osi cylindra musi , mieć taka sama, wartość. Aby wykorzystać ten fakt wybierzmy powierzchnie, calkowania jako powierzchnie, walca obejmujacego calkowicie wewnetrzn a, okladke, kondensatora i jest z nia, wspólosiowa. Walec ten ma , , wiec , promień r taki, że R1 < r < R2 i dlugość L. Powierzchnia walca sklada sie, z trzech elementów: dwóch kól o promieniu r prostopadlych do osi walca oraz powierzchni bocznej. Jak już wspomnieliśmy pole elektryczne jest zawsze prostopadle do osi symetrii walca, zatem jest prostopadle do każdego wektora ~ kól a zatem E ~ = 0 dla obu kól. Natomiast dla powierzchni bocznej walca, E ~ · dA ~ elementu powierzchni dA ~ ~ ~ jest równolegly do wektora dA dla każdego elementu powierzchni, zatem E · dA = EdA, dodatkowo E jest takie samo dla kazdego punktu na powierzchni bocznej walca. Calkowity ladunek wewnatrz powierzchni , jest ladunkiem na okladce kondensatora Q. Zatem Q = ε0 Z EdA = ε0 E Z dA = ε0 E2πrL Pole elektryczne wewnatrz kondensatora ma kierunek radialny i wartość zależna, od odleglości r od osi , kondensatora Q E= 2πrlε0 Nastepnie obliczymy różnic e potencja lów miedzy ok ladkami , , V = Z ~ ~ · dl E gdzie calkowanie nastepuje po dowolnej drodze o poczatku na jednej z okladek i końcu na drugiej. Dla drogi , , ~ ~ ~ wzdluż promienia r wektory E i dl = dr sa, równolegle gdy na wewnetrznej powloce znajduje sie, ladunek , ujemny lub antyrównolegle w przeciwnym wypadku V = Z R2 R1 ~ = ~ · dr E Z R2 R1 Z R2 Q Q dr = 2πlε0 R1 2πrlε0 2πlε0 C = Q/V = 2 ln R R1 Edr = Z R2 dr R1 r = Q R2 ln 2πlε0 R1