Stat - Przyg do 1 kol 2008_09

Zadania przygotowawcze do pierwszego kolokwium. Zima 2008/09, grupy 3, 4, 5.
Zad. 1. (Prawdopodobieństwo całkowite i wzór Bayesa.)
Dwa automaty produkują jednakowe detale, które wrzucane są na ten sam przenośnik taśmowy.
Produkcja pierwszego automatu jest dwa razy większa niż drugiego. Pierwszy automat produkuje
średnio 60% detali pierwszego gatunku, a drugi - 84%. Losowo wybrany detal z przenośnika
okazał się pierwszego gatunku. Znaleźć prawdopodobieństwo, że detal ten został wyprodukowany
przez pierwszy automat.
Zad. 2. (Losowanie z urny bez zwracania.)
W urnie jest 10 kul, w tym 6 białych i 4 czarne. Z urny wyciągnięto na chybił trafił trzy kule.
Niech X oznacza ilość białych kul wśród tych trzech wyciągniętych. Znaleźć rozkład zmiennej
losowej X oraz jej wartość oczekiwaną.
Zad. 3. (Losowanie z urny ze zwracaniem.)
Jak wyżej, z tym samym składzie urny, ale jeśli losowano trzy razy po jednej kuli, za każdym
razem zwracając wylosowaną kulę do urny.
Zad. 4. (Podstawowe przekrojowe zadania na rozkłady typu ciągłego.)
Dana jest funkcja
f(x) = C(x–x2) dla 0x1, f(x)=0 dla pozostałych x.
a) Dobrać stałą C tak, aby funkcja f była gęstością prawdopodobieństwa pewnej zm. losowej X.
b) Znaleźć dystrybuantę zmiennej losowej X. (Naszkicować, przekonać się, że znaleziona
dystrybuanta ma wszystkie „przysługujące jej” własności.)
c) Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej X.
d) Znaleźć gęstość rozkładu zmiennej losowej Y=X2 (wariant: Y=(X–0,5)2). [Otrzymany wynik
można sprawdzić, sprawdzając czy rzeczywiście otrzymano gęstość pewnej zmiennej losowej.]
Zad. 5. (Własności dystrybuanty, dystrybuanta a gęstość.)
Dystrybuanta zmiennej losowej X ma postać:
F(x) = a dla x  –2; F(x) = bx+c dla –2 < x  2; wreszcie F(x) = d dla x>2.
Wiedząc, że zmienna X jest typu ciągłego, znaleźć parametry a, b, c, d oraz wariancję tej zmiennej
losowej.
Zad. 6.
(Bardziej skomplikowane przypadki wyznaczania dystrybuanty i gęstości funkcji zm. los.)
a) Zmienna losowa X ma dystrybuantę F. Przy dodatkowym założeniu że P(X=0)=0, ma sens
zmienna losowa Y=1/X. Znaleźć dystrybuantę tej zmiennej losowej Y.
b) Zakładając, że X jest typu ciągłego o gęstości f, znaleźć gęstość zmiennej losowej określonej w
punkcie a) (w tym przypadku dodatkowe założenie jest spełnione automatycznie).
Zad. 7. (Własności wartości oczekiwanej.)
Zmienna X ma rozkład jednostajny na przedziale <–1;0>, Y = –2X2+X+1. Znaleźć wartość
oczekiwaną zmiennej losowej Y.
Zad. 8. (Rozkład normalny, korzystanie z tablic rozkładu normalnego.)
Wzrost dorosłego mężczyzny jest zmienną losową o rozkładzie N(180 cm; 6 cm). Jakie jest
prawdopodobieństwo, że wśród pięciu losowo wybranych mężczyzn przynajmniej jeden będzie
miał wzrost w granicach 177-183 cm?
Zad. 9. (Rozkład normalny – własności funkcji gęstości; rozkład funkcji zmiennej losowej typu
ciągłego.)
Niech zmienna losowa X ma rozkład normalny N(0;1). Niech Y=|X|. Znaleźć wartość oczekiwaną i
wariancję zmiennej losowej Y oraz jej gęstość rozkładu.
Zad. 10. (Przybliżenie rozkładu dwumianowego rozkładem Poissona.)
W pewnym urządzeniu jest n jednakowych elementów. Prawdopodobieństwo, że w ciągu
określonego czasu T dany element się zepsuje, wynosi p i nie zależy od stanu pozostałych
elementów (elementy psują się niezależnie). Podać dokładne wyrażenie na prawdopodobieństwo
tego, że w ciągu czasu T
a) żaden z tych elementów się nie zepsuje;
b) zepsuje się dokładnie jeden element;
c) zepsuje się przynajmniej jeden element
- oraz przybliżone wartości tych prawdopodobieństw, wynikające z przybliżenia rozkładu
Bernoulli’ego rozkładem Poissona, jeżeli n=1000, p=0,002 .
Zad. 11. (Lokalne tw. Moivre’a – Laplace’a.)
Rzucamy n=100 razy symetryczną monetą. Korzystając z lokalnego tw. Moivre’a – Laplace’a
obliczyć w przybliżeniu prawdopodobieństwo, że w takiej serii rzutów otrzymamy dokładnie 45
orłów.
Zad.12. (Centralne twierdzenie graniczne - CTG. Zastosowanie bezpośrednie.)
Pewien towar ma wadliwość średnią 10% . Zakupiono 900 sztuk tego towaru. Obliczyć
prawdopodobieństwo tego, że ilość znalezionych w tej partii sztuk wadliwych będzie zawierać się
w granicach 9-12% ?
Zad.13. (CTG - dobieranie n aby ilość lub częstość sukcesów spełniała dane warunki.)
Ile rzutów należy wykonać symetryczną monetą, aby z prawdopodobieństwem co najmniej 0,99
częstość pojawiania się orła w tej serii rzutów była zawarta między 0,45 a 0,55 ?
Zad.14. (CTG - dobieranie n aby z pewnym prawdopodobieństwem otrzymać daną ilość
sukcesów.)
Prawdopodobieństwo otrzymania pozytywnego wyniku w każdym z doświadczeń jest równe 0,9 .
Ile należy przeprowadzić niezależnych doświadczeń, aby z prawdopodobieństwem 0,98 można
było oczekiwać co najmniej 150 doświadczeń z pozytywnym wynikiem?
Zad.15. (nieobowiązkowe) (CTG - pytanie o prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie.)
Oddano 1500 strzałów. Jakie powinno być prawdopodobieństwo trafienia przy jednym strzale, aby
z prawdopodobieństwem 0,8665 można było twierdzić, że będzie co najmniej 1000 strzałów
celnych?
Zad.16. (CTG w przypadku rozkładu Poissona.)
W hali znajduje się 200 maszyn. Prawdopodobieństwo, że w pojedynczej maszynie trzeba będzie
k-krotnie wymienić bezpiecznik wynosi
1
, gdzie k=0,1,2,... . Przygotowano 120
e 2 k k!
bezpieczników. Jakie jest prawdopodobieństwo, że bezpieczników tych zabraknie? (W celu
rozwiązania tego zadania sformułować centralne twierdzenie graniczne, czyli tw. Lindenberga –
Levy’ego dla przypadku zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie Poissona z parametrem
 .)