Ostrosłupy

Ostrosłupy
Zad. 1:
W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym kwadrat długości krawędzi podstawy, kwadrat długości wysokości ostrosłupa i kwadrat długości krawędzi bocznej są kolejnymi wyrazami ciągu
arytmetycznego o róŜnicy 3. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Odp.: V = 4,5.
Zad. 2:
W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym kąt dwuścienny wyznaczony przez płaszczyznę podstawy i płaszczyznę ściany bocznej ma miarę α, a promień okręgu opisanego na podstawie
wynosi R. Oblicz objętość i pole całkowitej tego ostrosłupa.
3 3R 2 (1 + cos α )
3
3
Odp.: V = 8 R tgα , P =
.
cos α
Zad. 3:
W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym kąt płaski ściany bocznej przy wierzchołku ostrosłupa ma miarę α. Odległość wierzchołka podstawy od krawędzi bocznej, do której ten wierzchołek nie naleŜy, jest równa d. Oblicz objętość ostrosłupa. Dla jakich wartości α zadanie ma
rozwiązanie?
d 3 2 cos α + 1
, gdzie α ∈ (0; 23 π ) .
Odp.: V =
6 sin α(1 + cos α )
Zad. 4:
Jedna z krawędzi ostrosłupa trójkątnego ma długość 2, a pozostałe 4. Znajdź objętość tego
ostrosłupa.
Odp.: V = 43 11 .
Zad. 5:
Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoboczny o boku długości 2a. Jedna ze ścian bocznych
jest trójkątem równoramiennym o ramieniu długości 4a i jest prostopadła do płaszczyzny
podstawy.
a) Oblicz tangens kąta nachylenia najdłuŜszej krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy.
b) Oblicz pole przekroju ostrosłupa płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek ostrosłupa
oraz środki tych dwóch krawędzi podstawy, które nie zawierają się w prostopadłej ścianie
bocznej.
c) Oblicz cosinus kąta między przystającymi ścianami bocznymi.
3 7 2
Odp.: a) tgα = 5 ; b) P =
a ; c) cos γ = 73 .
4
Zad. 6*:
Dany jest czworościan foremny, którego krawędź ma długość a.
a) Oblicz stosunek objętości kuli opisanej na czworościanie do objętości kuli wpisanej w ten
czworościan.
b) Oblicz odległość między krawędziami skośnymi danego czworościanu.
c) Udowodnij, Ŝe dla kaŜdego punktu leŜącego wewnątrz danego czworościanu suma odległości tego punktu od ścian tego czworościanu jest taka sama.
137
Odp.: a) 27; b)
a 2
.
2
Zad. 7:
Pole powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe S, a kąt płaski
ściany bocznej przy wierzchołku ostrosłupa ma miarę α. Oblicz pole przekroju tego ostrosłupa płaszczyzną wyznaczoną przez przekątną podstawy i wierzchołek ostrosłupa.
Odp.: P = 21 S tg α2 ctgα .
Zad. 8:
Podstawą ostrosłupa jest trapez równoramienny, w którym kąt przy podstawie ma miarę 60°.
Przekątna tego trapezu ma długość 6 cm i zawiera się w dwusiecznej kąta ostrego. Krawędzie boczne ostrosłupa są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątem 45°. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Odp.: V = 18.
Zad. 9*:
Ostrosłup prawidłowy czworokątny o podstawie ABCD i wierzchołku S przecięto płaszczyzną
zawierającą przekątną DB podstawy i środek krawędzi CS. Kąt nachylenia tej płaszczyzny do
płaszczyzny podstawy ma miarę α, a pole otrzymanego przekroju jest równe 9 cm2.
a) Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.
b) Oblicz odległość wierzchołka C od płaszczyzny przekroju.
(
)
(
)
Odp.: a) V = 36 sin α 2 cos α , P = 36 cos α 1 + 1 + 2 tg 2 α = 36 cos α + 1 + sin 2 α ;
b) 3 sin α 2 cos α .
Zad. 10:
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny
podstawy pod kątem α. Odległość wierzchołka ostrosłupa od środka kuli wpisanej w ostrosłup jest równa d. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.
3
3
4d 3 (1 + cos α )
4d 2 (1 + cos α )
Odp.: V =
, P=
.
sin αtgα
3tg 2 α
Zad. 11:
Wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość h, a krawędź podstawy ma
długość a. W ostrosłup ten wpisano sześcian tak, Ŝe cztery jego wierzchołki naleŜą do krawędzi bocznych ostrosłupa, a cztery pozostałe naleŜą do płaszczyzny jego podstawy.
a) Znajdź stosunek objętości ostrosłupa do objętości sześcianu.
*b) Jak zmienia się stosunek objętości ostrosłupa do objętości sześcianu w zaleŜności od stosunku ha ?
Odp.: a)
( a + h) 3
3ah 2
; b) Oznaczmy x = ha . Wówczas rozwaŜany stosunek objętości brył moŜna
opisać wzorem f ( x) =
maleje od + ∞ do
1
3
(1 + x ) 2
3x 2
, gdzie x ∈ (0; + ∞). Wynika stąd, Ŝe rozwaŜany stosunek
.
138
Zad. 12: (profil matematyczno-fizyczny)
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym kąt płaski ściany bocznej przy wierzchołku ostrosłupa ma miarę α. Przez środki dwóch sąsiednich krawędzi podstawy i wierzchołek ostrosłupa poprowadzono płaszczyznę. Znajdź tangens kąta nachylenia tej płaszczyzny do płaszczyzny podstawy ostrosłupa.
Odp.: tgγ = 2ctg 2
α
2
−2.
Zad. 13: (profil matematyczno-fizyczny)
W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym promień okręgu opisanego na ścianie bocznej ma
długość R. Kąt między krawędzią boczną i krawędzią podstawy ma miarę α. Oblicz objętość
tego ostrosłupa. Dla jakich wartości α zadanie ma rozwiązanie?
Odp.: V = 83 R 3 sin 3 α cos α 4 sin 2 α − 1, gdzie α ∈ ( π6 ; π2 ) .
Zad. 14: (profil matematyczno-fizyczny)
Podstawą ostrosłupa jest trójkąt prostokątny o kącie ostrym α. KaŜda z krawędzi bocznych
jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem β. Oblicz stosunek objętości ostrosłupa
do objętości opisanej na nim kuli.
sin 2α tgβ sin 3 2β
Odp.:
.
4π
Zad. 15: (profil matematyczno-fizyczny)
Ścianami czworościanu są dwa trójkąty równoboczne o boku długości a i dwa trójkąty prostokątne. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego czworościanu.
Odp.: P =
(
3
2
)
+ 1 a2 , V =
2
12
a3 .
Zad. 16: (profil matematyczno-fizyczny)
Jedna z krawędzi ostrosłupa trójkątnego ma długość 2 dm, pozostałe - 4 dm.
a) Oblicz objętość ostrosłupa.
b) Znajdź odległości wierzchołków tego ostrosłupa od przeciwległych ścian.
c) Oblicz cosinusy kątów dwuściennych w tym ostrosłupie.
Odp.: a) V =
4
3
11 ; b)
4
15
165 lub
33
3
; c)
7
15
lub 56 lub
5
15
.
Zad. 17: (profil matematyczno-fizyczny)
Czworościan ma pięć jednakowych krawędzi i jedną dwukrotnie krótszą od pozostałych. Oblicz stosunek promienia kuli opisanej na tym czworościanie do długości krótszej krawędzi.
Odp.:
15
11
.
Zad. 18: (profil matematyczno-fizyczny)
Kąt dwuścienny pomiędzy sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma miarę 2α, a krawędź boczna ma długość a. Znajdź objętość tego ostrosłupa.
Odp.: V = 23 a 3 ctgα(1 − ctg 2 α ) .
Zad. 19: (profil matematyczno-fizyczny)
Kąt dwuścienny między dwiema sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa prawidłowego
czworokątnego ma miarę 120°. Znajdź miary pozostałych kątów dwuściennych w tym ostrosłupie.
139
Odp.: 45°.
Zad. 20: (profil matematyczno-fizyczny)
Kąt dwuścienny między dwiema sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa prawidłowego
czworokątnego ma miarę α. Oblicz cosinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny
podstawy. Dla jakich kątów α zadanie ma rozwiązanie?
Odp.: cos β = − cos α , gdzie α ∈ ( π2 ; π ) .
Zad. 21: (profil matematyczno-fizyczny)
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym kąt między krawędzią boczną i krawędzią podstawy ma miarę α.
a) Znajdź cosinus kąta między ścianami bocznymi ostrosłupa.
b) Oblicz objętość ostrosłupa, wiedząc, Ŝe pole ściany bocznej jest równe S.
2
4S S( tg α − 1)
4S
Odp.: a) cosβ = – ctg α; b) V =
=
− 2Sctg2α , gdzie α ∈ ( π4 ; π2 ) .
3tgα
tgα
3tgα
2
Zad. 22: (profil matematyczno-fizyczny)
Pole powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe S, a kąt między
wysokościami dwóch sąsiednich ścian bocznych, poprowadzonymi z wierzchołka ostrosłupa,
ma miarę 2α. Oblicz objętość ostrosłupa.
4
2S
Odp.: V =
S sin α cos 2α .
6
Zad. 23:
Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość b. Kąt między krawędzią
boczną i podstawą ostrosłupa ma miarę α, a kąt między ścianą boczną i podstawą ostrosłupa
ma miarę β.
a) Oblicz objętość ostrosłupa dla α = 60° i b = 4.
b) Oblicz pole powierzchni bocznej dla b = 3 6 i cosβ = 1515 .
Odp.: a) V = 6; b) Pb = 27 5 .
Zad. 24:
W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym kąt płaski ściany bocznej przy wierzchołku ostrosłupa jest równy 2α, a pole ściany bocznej wynosi P. Oblicz objętość ostrosłupa.
Odp.: V = 13 P Ptgα( 3 − tg 2 α ) .
Zad. 25*:
Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość a i jest dwa razy krótsza
od krawędzi bocznej.
a) Oblicz pole powierzchni i objętość tego ostrosłupa.
b) Znajdź cosinus kąta między sąsiednimi ścianami bocznymi tego ostrosłupa.
3 1+ 3 5 2
Odp.: a) P =
a , V = 1211 a 3 ; b) cosα = 157 .
4
(
)
Zad. 26:
W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym kąt między krawędzią boczną i krawędzią podstawy
140
ma miarę α. Promień okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa jest równy R. Oblicz objętość
ostrosłupa.
Odp.: V =
9 − 12 cos 2 α 3
R .
8 cos α
Zad. 27:
Ściana boczna ostrosłupa prawidłowego trójkątnego tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 60°.
Pole przekroju tego ostrosłupa płaszczyzną przechodzącą przez krawędź boczną i wysokość
wynosi:
a) 4,5 3 cm 2 ;
b) 8 3 cm 2 .
Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa oraz objętość kuli wpisanej w
ten ostrosłup.
64 3
cm 3 , P = 48 3 cm 2 ,
Odp.: a) V = 9 3 cm 3 , P = 27 3 cm 2 , VK = 43 π cm 3 ; b) V =
3
3
256
VK = 81 π cm .
Zad. 28:
Krawędzie boczne ostrosłupa trójkątnego mają długość a i są parami prostopadłe. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa oraz tangens kąta nachylenia ściany
bocznej do płaszczyzny podstawy.
3+ 3 2
Odp.: V = 16 a 3 , P =
a , tgα = 2 .
2
Zad. 29:
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź boczna ma długość 4 dm i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30°. Oblicz:
a) objętość tego ostrosłupa;
b) pole powierzchni całkowitej ostrosłupa;
c) odległość środka podstawy ostrosłupa od ściany bocznej.
2 15
Odp.: a) V = 16 dm3; b) P = 8 3 + 15 dm 2 ; c)
dm .
5
(
)
Zad. 30:
Odległość środka podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego od krawędzi bocznej
jest równa 6 cm, a krawędź boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 30°. Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa oraz tangens kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy.
Odp.: Pb = 96 15 cm 2 , tgα = 36 .
Zad. 31:
Podstawa i ściany boczne ostrosłupa prawidłowego czworokątnego mają równe pola. Oblicz
sinus kąta, jaki tworzą przeciwległe krawędzie boczne tego ostrosłupa.
2 30
Odp.: sin α =
.
17
141
Zad. 32:
Podstawą ostrosłupa jest romb o boku długości a i kącie ostrym α. Krawędź boczna wychodząca z wierzchołka kąta α ma długość b i tworzy z płaszczyzną podstawy kąt β. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Odp.: V = 13 a 2 b sin α sin β .
Zad. 33:
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź boczna ma długość b i tworzy z płaszczyzną podstawy kąt α.
a) Oblicz objętość tego ostrosłupa.
*b) Przyjmij b = 10, α = 60° i oblicz cosinus kąta między dwiema sąsiednimi ścianami
bocznymi ostrosłupa.
c) Oblicz promień okręgu opisanego na ścianie bocznej ostrosłupa.
b
Odp.: a) V = 13 b 3 sin 2α cos α ; b) cos γ = − 71 ; c)
.
2(1 + sin 2 α )
Zad. 34:
Wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa H, a kąt płaski ściany bocznej
przy wierzchołku ostrosłupa ma miarę 2α.
a) Znajdź pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.
b) Wykonaj obliczenia dla H = 2 + 3 − 2 − 3 i α = 30°.
*c) Oblicz stosunek objętości kuli opisanej na ostrosłupie do objętości kuli wpisanej w ten
ostrosłup.
(1 + tgα)
4 H 2 tgα
Odp.: a) Pb =
; b) Pb = 4 3 ; c)
3 .
2
1 − tg α
8tg 3α(1 − tgα )
3
Zad. 35:
Przekrój ostrosłupa prawidłowego czworokątnego płaszczyzną przechodzącą przez przekątną
podstawy i wierzchołek ostrosłupa jest trójkątem równobocznym o polu P. Oblicz objętość
tego ostrosłupa.
Odp.: V = 29 P 3 3P .
Zad. 36:
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość a, a kąt między
przeciwległymi ścianami bocznymi ma miarę α. Oblicz objętość kuli wpisanej w ten ostrosłup.
3
πa 3  cos α2 
Odp.: V =

 .
6  1 + sin α2 
Zad. 37:
a) W sześcianie o krawędzi długości a połączono wszystkie wierzchołki dolnej podstawy z
jednym z wierzchołków podstawy górnej. Oblicz pole powierzchni całkowitej otrzymanego w
ten sposób ostrosłupa.
*b) Oblicz miarę kąta między tymi ścianami bocznymi ostrosłupa, które nie są prostopadłe do
płaszczyzny podstawy.
(
)
Odp.: a) P = 2 + 2 a 2 ; b) |∠ACB| = 120°.
142
Zad. 38*:
Ostrosłup przecięto płaszczyzną równoległą do podstawy i dzielącą wysokość ostrosłupa w
stosunku m : n.
a) Oblicz stosunek objętości otrzymanych brył.
b) Znajdź taką wartość stosunku m : n, aby stosunek objętości otrzymanych brył wynosił
1 : 7.
m3
Odp.: a)
; b) m : n = 1 : 1.
( m + n) 3 − m 3
Zad. 39: (profil podstawowy, matematyczno-fizyczny)
Krawędź sześcianu ma długość a. Jedną z krawędzi bocznych sześcianu przedłuŜono o odcinek długości 2a i koniec tego odcinka połączono z wierzchołkami dolnej podstawy. Powierzchnia powstałego ostrosłupa o wysokości 3a wycina z sześcianu ostrosłup ścięty. Oblicz
pole powierzchni całkowitej i objętość tego ostrosłupa ściętego.
(profil matematyczno-fizyczny)
Oblicz cosinus kąta między tymi ścianami bocznymi ostrosłupa, które nie są prostopadłe do
płaszczyzny podstawy.
28 + 5 10 2
3
1
Odp.: Pc =
a , V = 19
27 a , cosα = − 10 .
9
Zad. 40:
W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego tangens jest równy 22 . Wiedząc, Ŝe krawędź podstawy ostrosłupa
ma długość a, oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.
3+3 2
Odp.: V = 242 a 3 , Pc =
a .
4
Zad. 41:
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym pole podstawy jest równe S, a kąt nachylenia
ściany bocznej do płaszczyzny podstawy ma miarę α. Ostrosłup przecięto płaszczyzną zawierającą krawędź boczną i przechodzącą przez środek rozłącznej z nią krawędzi podstawy. Oblicz pole otrzymanego przekroju.
5 − 4 cos2 α
Odp.: P =
S.
8 cos α
Zad. 42:
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość a, a krawędź
boczna 4a. Przez środki dwóch sąsiednich krawędzi podstawy i wierzchołek ostrosłupa przeprowadzono płaszczyznę.
a) Oblicz pole otrzymanego przekroju oraz tangens kąta nachylenia płaszczyzny przekroju do
płaszczyzny podstawy ostrosłupa.
b) Zbadaj, czy kąt utworzony przez dwie sąsiednie ściany boczne ma miarę większą od π3 .
Odp.: a) P =
5 5 2
a , tgα = 2 31 ; b) RozwaŜany kąt ma miarę większą od
8
π
3
.
Zad. 43*:
Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość a. Przez krawędź
143
podstawy poprowadzono płaszczyznę, która dzieli na połowy kąt α między ścianą boczną i
płaszczyzną podstawy ostrosłupa.
a) Oblicz pole przekroju ostrosłupa tą płaszczyzną.
b) Dla α = 60° oblicz stosunek objętości brył, na jakie ta płaszczyzna dzieli ostrosłup.
sin 2 α cos α2 2
Odp.: a) P =
a ; b) 53 .
sin 2 32α
Zad. 44:
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o objętości V. Kąt dwuścienny przy podstawie
ostrosłupa ma miarę α. W ostrosłup ten wpisano kulę, a następnie przez jej środek poprowadzono płaszczyznę równoległą do podstawy ostrosłupa. Znajdź objętość otrzymanego ostrosłupa ściętego.
V
Odp.:
.
(1 + cosα) 3
Zad. 45: (profil matematyczno-fizyczny)
Dany jest ostrosłup prawidłowy n-kątny o objętości V. Kąt dwuścienny przy podstawie ostrosłupa ma miarę α. W ostrosłup ten wpisano kulę, a następnie przez jej środek poprowadzono
płaszczyznę równoległą do podstawy ostrosłupa. Znajdź objętość ostrosłupa odciętego do
danego.
3
1 

Odp.: V' = 
 V.
 1 + cos α 
Zad. 46:
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź boczna ma długość 6 3 , a kąt między
wysokościami sąsiednich ścian bocznych, wychodzącymi z wierzchołka ostrosłupa, ma miarę
60°. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.
Odp.: V = 288, P = 144 1 + 2 .
(
)
Zad. 47:
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym kąt między krawędzią boczną i krawędzią podstawy ma miarę 60°. Wysokość ostrosłupa ma długość 4.
a) Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej ostrosłupa.
b) Oblicz miarę kąta między przeciwległymi krawędziami bocznymi ostrosłupa.
*c) Dany ostrosłup podzielono na dwie części płaszczyzną przechodzącą przez dwa przeciwległe wierzchołki podstawy i prostopadłą do jednej z krawędzi bocznych. WykaŜ, Ŝe objętość
jednej części jest trzy razy większa od objętości drugiej części.
Odp.: a) V =
128
3
(
)
, P = 32 1 + 3 ; b) 90°.
Zad. 48:
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym przekątna podstawy ma długość d, a pole powierzchni bocznej jest 8 razy większe od pola podstawy.
a) Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.
b) Oblicz cosinus kąta α nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy oraz
cosinus kąta β nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy. Porównaj
miary tych kątów bez korzystania z tablic matematycznych i kalkulatora.
144
Odp.: a) V =
14
8
d 3 , P = 92 d 2 ; b) cos α = 81 , cos β =
130
65
, α > β (α ≈ 82°48’, β ≈ 79°54’).
Zad. 49:
Podstawą ostrosłupa jest kwadrat o boku a. Jedna z krawędzi bocznych ostrosłupa jest prostopadła do płaszczyzny podstawy, a najdłuŜsza krawędź tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o
mierze α. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej ostrosłupa.
Odp.: V =
2
3
(
)
a 3 tgα , P = a 2 1 + 2 tgα + 1 + 2 tg 2 α .
Zad. 50:
Podstawą ostrosłupa ABCDS jest kwadrat o boku a. Krawędź SD jest prostopadła do płaszczyzny podstawy ostrosłupa, a krawędź AS tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze α.
Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.
1 
a2
2
1 3
( cos α + sin α + 1) .
=
Odp.: V = 3 a tgα , P = a  1 + tgα +

cos α  cos α
145