(Topologia Tichonowa).

TWIERDZENIE TICHONOWA
TOMASZ KOSTYRKA
1. Wprowadzenie
Definicja 1.1 (Topologia Tichonowa). Niech X :=
Q
Xi będzie produktem przestrzeni
i∈I
topologicznych indeksowanych przez elementy zbioru I. Niech πi : X → Xi będą rzutowaniami kanonicznymi. Topologią Tichonowa (produktową) na X nazywamy najmniejszą w
sensie inkluzji topologię, przy której wszystkie odwzorowania πi są ciągłe (podbazą topologii
Tichonowa jest {πi−1 (U ) : i ∈ I oraz U - otwarty w Xi }).
Definicja 1.2 (Zbiór skierowany). Zbiorem skierowanym nazywać będziemy zbiór A z
preporządkiem (tj. relacją zwrotną i przechodnią), spełniającym dodatkowy warunek:
∀α,β∈A ∃γ∈A α γ ∧ β γ.
Definicja 1.3 (Ciąg uogólniony). Ciągiem uogólnionym nazywać będziemy dowolne odwzorowanie ϕ : A 3 α 7−→ xα ∈ X, gdzie A to zbiór skierowany, a X to dowolny zbiór
niepusty.
Definicja 1.4 (Punkt skupienia ciągu uogólnionego). Niech X będzie przestrzenią topologiczną. Punkt x ∈ X nazywamy punktem skupienia ciągu uogólnionego ϕ : A 3 α 7−→
xα ∈ X, jeśli dla dowolnego otoczenia U tego punktu i dowolnego α0 ∈ A istnieje takie
α ∈ A, że α0 α oraz xα ∈ U .
Definicja 1.5 (Granica ciągu uogólnionego). Punkt x ∈ X nazywamy granicą ciągu uogólnionego ϕ : A 3 α 7−→ xα ∈ X, jeśli dla dowolnego otoczenia U tego punktu istnieje
α0 ∈ A takie, że xα ∈ U dla każdego α ∈ A spełniającego warunek α0 α. Mówimy
wtedy również, że ϕ jest zbieżny do x.
Definicja 1.6 (Rodzina scentrowana). Rodzinę R ⊂ 2X podzbiorów zbioru X nazywamy
scentrowaną, jeżeli każda jej skończona podrodzina R0 ⊂ R ma niepuste przecięcie.
Twierdzenie 1.7. Następujące warunki są równoważne dla przestrzeni topologicznej X:
(1) każde składające się ze zbiorów otwartych pokrycie S przestrzeni X zawiera podpokrycie skończone S0 ⊂ S;
(2) każda rodzina scentrowana R ⊂ 2X składająca się z domkniętych zbiorów niepustych ma niepuste przecięcie;
(3) każdy ciąg uogólniony w X posiada punkt skupienia.
Twierdzenie 1.8. Jeżeli X jest przestrzenią zwartą, a f : X → Y jest odwzorowaniem
ciągłym, to obraz f (X) jest zwarty.
Twierdzenie 1.9. Każdy domknięty podzbiór przestrzeni zwartej jest zwarty.
Twierdzenie 1.10 (Tichonowa). Niech (Xi )i∈I będzie rodziną przestrzeni topologicznych.
Q
Jeżeli dla każdego i ∈ I przestrzeń Xi jest zwarta, to przestrzeń
Xi jest zwarta.
i∈I
1
2. Lematy pomocnicze
Definicja 2.1 (Rodzina typu skończonego). Mówimy, że rodzina W ⊂ 2X jest typu
skończonego, jeżeli:
(1) ∅ ∈ W;
(2) A ∈ W ⇔ (∀B⊂A B - skończony ⇒ B ∈ W).
Lemat 2.2 (Teichmüller-Tukey). Niech W będzie rodziną typu skończonego oraz niech
A ∈ W. Istnieje wtedy M ∈ W taki, że A ⊂ M oraz M jest maksymalny w sensie inkluzji.
Lemat 2.3. Niech R0 ⊂ 2X będzie rodziną scentrowaną. Istnieje wtedy maksymalna w
sensie inkluzji rodzina scentrowana R ⊂ 2X taka, że R0 ⊂ R.
Lemat 2.4. Niech R ⊂ 2X będzie rodziną scentrowaną, maksymalną w sensie inkluzji.
Wtedy:
(1) A1 , . . . , Ak ∈ R ⇒ A1 ∩ . . . ∩ Ak ∈ R;
(2) (A0 ∩ A 6= ∅, A ∈ R) ⇒ A0 ∈ R.
3. Dowód Twierdzenia Tichonowa
Niech R0 będzie dowolną rodziną scentrowaną podzbiorów domkniętych przestrzeni
Q
X :=
Xi . Niech πi : X 3 x 7−→ xi ∈ Xi będzie rzutowaniem kanonicznym. Przez
i∈I
R oznaczmy maksymalną (w sensie inkluzji) rodzinę scentrowaną zawierającą R0 . Dla
każdego i ∈ I zbiór
{πi (A) : A ∈ R}
jest rodziną scentrowaną podzbiorów domkniętych przestrzeni Xi . Ponieważ przestrzeń
T
πi (A). Zdefiniujmy
Xi jest zwarta, to istnieje xi ∈
A∈R
x := (xi )i∈I .
Wykazanie, że
x∈
\
A
A∈R0
zakończy dowód.
Niech A ∈ R i niech Wi będzie dowolnym otoczeniem punktu xi w przestrzeni Xi . Mamy
πi (A) ∩ Wi 6= ∅,
a co za tym idzie
πi−1 (Wi ) ∩ A 6= ∅.
Z Lematu 2.4(2) otrzymujemy zatem
πi−1 (Wi ) ∈ R.
Ponieważ R jest rodziną scentrowaną, to
A∩
n
\
πi−1
(Wij ) 6= ∅
j
j=1
dla dowolnego n ∈ N \ {0} i dowolnych i1 , i2 , . . . in ∈ I.
Zauważmy, że
{
n
\
πi−1
(Wij ) : n ∈ N \ {0}, i1 , i2 , . . . in ∈ I, Wij − otoczenie xij w przestrzeni Xij }
j
j=1
2
jest bazą otoczeń punktu x w przestrzeni X. Wobec tego x ∈ A. W szczególności, jeżeli
A ∈ R0 to x ∈ A (bowiem A jest zbiorem domkniętym). Skoro tak, to
x∈
\
A.
A∈R0
Literatura
[1] J. L. Kelley, The Tychonoff product theorem implies the axiom of choice, Fundamenta Mathematicae,
s. 75–76, 1950.
[2] P. N. Chernoff, A simple proof of Tychonoff ’s theorem via nets, American Mathematical Monthly, s.
932–934, 1992.
[3] R. Engelking, Topologia Ogólna, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2007.
3