Wykład 19 Indukcja elektromagnetyczna. Prawa Maxwella.

Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki
1
Wykład 19
Indukcja elektromagnetyczna. Prawa Maxwella.
19.1 Zjawisko indukcji elektromagnetycznej (doświadczenia Faradaya).
Druga cewka porusza
się względem
pierwszej
Magnes porusza
się względem
cewki
Prąd powstaje w
nieruchomej cewce
a)
Prąd powstaje w
nieruchomej cewce
Druga cewka pozostaje
w spoczynku względem
pierwszej
b)
Prąd powstaje w nieruchomej
cewce tylko wtedy, gdy zmienia
się prąd w cewce zewnętrznej.
c)
Rysunek 19.1
W poprzednim wykładzie omawialiśmy zjawisko powstawania pola magnetycznego wokół
przewodnika z prądem. A czy istnieje zjawisko odwrotne? Istnienie związku między polem
magnetycznym i prądem doprowadziło do szeregu prób wzbudzenia prądu za pomocą pola
magnetycznego. Zadanie to, zostało doskonale wykonane przez angielskiego fizyka M. Faradaya w
1831 roku. Odkrył on zjawisko indukcji elektromagnetycznej, polegające na tym, że w zamkniętym
Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki
2
obwodzie, podczas zmian strumienia magnetycznego obejmującego ten obwód, powstaje prąd
elektryczny zwany prądem indukcyjnym.
Rozpatrzmy klasyczne doświadczenia Faradaya, w których odkrył on zjawisko indukcji
elektromagnetycznej.
1 doświadczenie (Rysunek 19.1a,b). Jeżeli do solenoidu włączonego do obwodu z
galwanometrem wprowadzad magnes (b) cewkę), to podczas jego wprowadzania lub wyciągania
obserwuje się wychylenie strzałki galwanometru (powstaje prąd indukcyjny), raz w jedną, raz w
drugą stronę. Wychylenie strzałki galwanometru jest tym większe im większa jest szybkośd
poruszającego się magnesu. Po zmianie biegunów magnesu strzałka wychyla się w przeciwną
stronę.
2 doświadczenie (Rysunek 19.1c). Kooce jednej z cewek podłączone są do galwanometru,
cewki są wstawione jedna w drugą i przez drugą płynie prąd. Wychylenie strzałki obserwuje się w
chwili włączania i wyłączania prądu lub podczas przemieszczania cewek względem siebie. (Rysunek
19.1c). Odchylenia strzałki podczas włączania i wyłączania również są przeciwne.
Uogólniając rezultaty swoich doświadczeo Faraday doszedł do wniosku, że prąd indukcyjny
powstaje zawsze wtedy, gdy zmienia się strumieo indukcji
magnetycznej. Ustalił on również, że wielkośd prądu indukcyjnego
nie zależy od sposobu, w jaki zmieniany jest strumieo indukcji
magnetycznej, a zależy jedynie od szybkości jego zmian.
19.2 Prawo Faradaya. Strumieo pola magnetycznego.
Faraday ustalił, że za każdym razem, gdy zmienia się strumieo
indukcji, powstaje w obwodzie siła elektromotoryczna zwana siłą
Rysunek 19.2
elektromotoryczną indukcji. Wielkośd tej SEM określona jest tylko szybkością zmian strumienia
magnetycznego:
ℇ𝑖 ~
𝑑ΦB
𝑑𝑡
19.1
Przypomnijmy sobie określenie strumienia. Wybierzmy nieskooczenie mały element
powierzchni 𝐝𝐀 i niech indukcja pola magnetycznego na tym elemencie wynosi 𝐁 (Rysunek 19.2).
Wtedy strumieo pola magnetycznego przez element 𝑑𝐴 jest równy:
𝑑ΦB = B ∙ dA = 𝐵⊥ 𝑑𝐴 = 𝐵𝑑𝐴𝑐𝑜𝑠𝜙
Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki
3
gdzie 𝐵⊥ jest składową pola magnetycznego 𝐵 w kierunku prostopadłym do pola powierzchni 𝐝𝐀,
ϕ jest kątem między 𝐁 i 𝐝𝐀. Całkowity strumieo pola magnetycznego ΦB przez skooczoną
powierzchnię A znajdziemy całkując po tej powierzchni:
Φ𝐵 =
B ∙ dA =
𝐵𝑑𝐴𝑐𝑜𝑠𝜙
19.2
Znak strumienia indukcji magnetycznej zależy od wyboru dodatniej normalnej do powierzchni
konturu. Z kolei kierunek dodatni normalnej związany jest z prądem regułą śruby prawoskrętnej.
W rezultacie wybierając dowolnie dodatni kierunek normalnej, określamy zarówno znak
strumienia jak i kierunek prądu i SEM w obwodzie. Korzystając z tych wniosków Faradaya, Maxwell
podał prawo indukcji (zwane prawem Faradaya):
Bez względu, jaka jest przyczyna zmian strumienia indukcji magnetycznej przechodzącego
przez zamknięty obwód, siła elektromotoryczna powstająca w tym obwodzie wyraża się wzorem:
ℇ𝐢 = −
𝐝𝚽
19.2
𝐝𝐭
Prawo Faradaya.
Kierunek
indukowanej
SEM
𝑩
(Wzrasta)
indukcji.
𝑩
(Maleje)
Możemy
znaleźd
indukowanej
SEM
kierunek
lub
prądu
stosując 19.2 razem z paroma
prostymi zasadami dotyczącymi
Strumień dodatni (ΦB > 0)
Strumień staje się bardziej dodatni (dΦB/dt > 0)
SEM indukcji ujemna (E < 0)
(a)
znaku. A mianowicie:
1. Określamy
dodatni
Strumień dodatni (ΦB > 0)
Strumień staje się mniej dodatni (dΦB/dt < 0)
SEM indukcji ujemna (E > 0)
(b)
kierunek
wektora powierzchni 𝐀.
2. Znając zwroty 𝐀 i 𝐁 określamy
znak
strumienia
E
pola
magnetycznego ΦB. Rysunek
19.3
przedstawia
kilka
przykładów.
3. Określamy znak indukowanej
SEM i prądu. Jeżeli strumieo
𝑩
𝑩
(Wzrasta)
(Maleje)
Strumień ujemny (ΦB < 0)
Strumień staje się bardziej ujemny (dΦB/dt < 0)
SEM indukcji dodatnia (E > 0)
Strumień ujemny (ΦB < 0)
Strumień staje się mniej ujemny (dΦB/dt > 0)
SEM indukcji ujemna (E < 0)
(c)
(d)
Rysunek 19.3
Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki
4
zwiększa się, czyli wartośd dΦB/dt jest dodatnia, wtedy wartośd Ei lub prądu jest ujemna, jeżeli
strumieo maleje, wtedy wartośd dΦB/dt jest ujemna, a wartośd Ei lub prądu jest dodatnia.
4. Na koocu określmy kierunek indukowanej SEM lub prądu stosując regułę prawej dłoni.
Zegnijmy palce prawej dłoni wokół wektora 𝐀, tak aby kciuk wskazywał jego zwrot. Jeżeli siła
elektromotoryczna indukcji Ei lub prąd są dodatnie, to mają ten sam kierunek co nasze zagięte
palce; jeżeli siła elektromotoryczna indukcji Ei lub prąd są ujemne, to mają kierunek przeciwny
do naszych zagiętych palców.
Podsumowując: znak minus wskazuje, że zwiększenie strumienia (
𝑑Φ
𝑑𝑡
> 0) powoduje powstanie
SEM indukcji Ei < 0 tzn. powstające dodatkowe pole magnetyczne wywołane prądem indukcyjnym
𝑑Φ
jest skierowane przeciwnie do tego strumienia; zmniejszenie strumienia ( 𝑑𝑡 < 0) powoduje
powstanie SEM indukcji Ei > 0, tzn. kierunek strumienia i kierunek pola indukowanego prądem
pokrywają się. Znak minus we wzorze 19.2 jest matematycznym odzwierciedleniem reguły Lenza.
Reguła Lenza: Kierunek prądu indukcyjnego w obwodzie jest zawsze taki, że wzbudzane nim
pole magnetyczne przeszkadza zmianą strumienia pola magnetycznego wzbudzającego ten
prąd.
Reguła Lenza.
Kilka przypadków zastosowania reguły Lenza przedstawiają sytuacje zobrazowane na rysunku
19.5.
dx
I
Prawo Faradaya może byd wyprowadzone z zasady zachowania
energii. Rozpatrzmy przewodnik z prądem I, który został umieszczony
E
𝐁
𝐅 l
w jednorodnym polu magnetycznym, prostopadłym do obwodu, i
który może się swobodnie przemieszczad (Rysunek 19.4). Pod
wpływem działania siły Ampere’a F, kierunek, której pokazany jest na
1
2
Rysunek 19.4
rysunku, przewodnik przesunie się na odległośd dx. Tym samym, siła Ampere’a wykona pracę dW
= IdΦ, gdzie dΦ jest strumieniem przeciętym przez przewodnik.
Jeżeli całkowity opór obwodu wynosi R, to, zgodnie z zasadą zachowania energii, praca źródła
prądu w czasie dt (EIdt) będzie składad się z pracy zamienionej na ciepło Joule’a i pracy wykonanej
podczas przesuwania przewodnika z prądem w polu magnetycznym (IdΦ):
EIdt  I 2 Rdt  Id
skąd
Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki
5
d 

I  E 
/ R
dt 

𝑑Φ
gdzie − 𝑑𝑡 = ℇ𝑖 jest właśnie prawem Faradaya.
SEM indukcji elektromagnetycznej wyraża się w woltach:
2
N  m2
J
A V  s
 d  Wb T  m





V
 dt 
s
s
A m s A s
A s
Poruszający się magnes
powoduje wzrost strumienia
skierowanego do dołu
Indukowane pole
magnetyczne jest
skierowane do
góry przeciwnie
do zmian
strumienia
Poruszający się magnes
powoduje zmniejszenie
strumienia
skierowanego do dołu
𝑩𝒊𝒏𝒅𝒖𝒌
𝑩𝒊𝒏𝒅𝒖𝒌
(b) Aby wytworzyć takie pole indukcyjne
kierunek prądu musi być zgodny z
kierunkiem wskazówek zegara.
(a) Aby wytworzyć takie pole indukcyjne
kierunek prądu musi być przeciwny do
kierunku wskazówek zegara.
Poruszający się magnes
powoduje wzrost strumienia
skierowanego do dołu
Indukowane pole
magnetyczne jest
skierowane do
góry przeciwnie
do zmian
strumienia
Indukowane pole
magnetyczne jest
skierowane do
góry przeciwnie
do zmian
strumienia
Poruszający się magnes
powoduje zmniejszenie
strumienia
skierowanego do góry
𝑩𝒊𝒏𝒅𝒖𝒌
Indukowane pole
magnetyczne jest
skierowane do
góry przeciwnie
do zmian
strumienia
𝑩𝒊𝒏𝒅𝒖𝒌
(c) Aby wytworzyć takie pole indukcyjne
kierunek prądu musi być zgodny z
kierunkiem wskazówek zegara.
(d) Aby wytworzyć takie pole indukcyjne
kierunek prądu musi być przeciwny
do kierunku wskazówek zegara.
Rysunek 19.5
Jaka jest przyczyna powstawania SEM indukcji elektromagnetycznej? Jeżeli przewodnik
(ruchoma poprzeczka z rysunku 19.4) porusza się w stałym polu magnetycznym, to siła Lorentza
działająca na elektrony w przewodniku będzie skierowana przeciwnie do kierunku prądu tzn.
będzie ona wytwarzad w przewodniku prąd indukcyjny skierowany przeciwnie (jako kierunek
prądu przyjmujemy ruch ładunków dodatnich). Tym samym wzbudzenie siły elektromotorycznej
Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki
6
indukcji podczas ruch obwodu w stałym polu magnetycznym daje się wyjaśnid działaniem siły
Lorentza powstającej podczas ruchu przewodnika.
Zgodnie z prawem Faradaya, powstanie siły elektromotorycznej indukcji jest możliwe również
w nieruchomym przewodniku umieszczonym w zmiennym polu magnetycznym. Jednak siła
Lorentza nie działa na nieruchome ładunki, dlatego w tym przypadku nie można za jej pomocą
wytłumaczyd powstania SEM indukcji. W celu wytłumaczenia powstawania SEM indukcji w
nieruchomych przewodnikach Maxwell założył, ze każde zmienne pole magnetyczne 𝑩 wywołuje w
otaczającej przestrzeni pole elektryczne 𝑬𝑩 ,, które jest właśnie przyczyną powstania prądu
indukcyjnego w przewodniku. Zgodnie z teorią Maxwella, obwód, w którym pojawiła się SEM, gra
drugoplanową rolę, i jest tylko swojego rodzaju „przyrządem” wykrywającym to pole.
Cyrkulacja wektora 𝐄𝐁 tego pola po dowolnym konturze L przewodnika jest SEM indukcji:
ℇ𝐢 =
gdzie pochodna cząstkowa
𝐋
𝛛𝚽𝐁
𝛛𝐭
𝐄𝐁 𝐝𝐥 = −
𝛛𝚽𝐁
𝛛𝐭
,
19.3
uwzględnia zależnośd strumienia indukcji magnetycznej tylko po
czasie.
Podstawiając do 19.3 wyrażenie na strumieo magnetyczny otrzymujemy

E
L
B

  
 dl    B  dA .
t A
Ponieważ kontur i powierzchnia są nieruchome, to działania różniczkowania i całkowania można
zamienid miejscami:

 
B 
L EB dl  A t dA
19.4
Podsumujmy dotychczasowe wiadomości: Prawo Faradaya obowiązuje w przypadku dwu
różnych sytuacji. W pierwszym przypadku siła elektromotoryczna indukcji powstaje w wyniku
wywierania sił magnetycznych podczas poruszania się przewodnika w polu magnetycznym. W
drugim przypadku zmienne pole magnetyczne powoduje powstanie pola elektrycznego w
nieruchomym przewodniku i w rezultacie indukuje się SEM. Przy czym to pole EB może powstawad
nawet wtedy, gdy nie ma przewodnika. Pole to różni się od pola elektrostatycznegoEQ ponieważ
Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki
7
jest niezachowawcze. Zgodnie z tym, co było powiedziane w poprzednim wykładzie, cyrkulacja
wektora natężenia EQ pola elektrostatycznego (zachowawczego) po dowolnym zamkniętym
konturze jest zawsze równa zero:
 
E
 Q dl  0
19.5
L
Porównując 19.4 i 19.5 widad, że między rozpatrywanymi polami (𝑬𝑩 i 𝑬𝑸 ) istnieje zasadnicza
różnica: cyrkulacja wektora 𝑬𝑩 , w odróżnieniu do cyrkulacji 𝑬𝑸 , nie jest równa zero. Tak, więc
zarówno pole 𝑬𝑩 i samo pole magnetyczne 𝑩 są polami wirowymi. Pomimo tych różnic między 𝑬𝑩
i 𝑬𝑸 zarówno jedno jak i drugie pole, zgodnie ze swoją podstawową naturą, wywierają siłę 𝐹 = 𝑞𝐸
na ładunek q.
Zatem zmienne pole magnetyczne zachowuje się jak źródło takiego pola elektrycznego, które
nie jesteśmy w stanie wytworzyd przez żaden statyczny układ ładunków. Co więcej, jak
przekonamy się w dalszej części wykładu, zmienne pole elektryczne jest źródłem pola
magnetycznego.
Opisana natura powstawania pola 𝑬𝑩
znalazła cały szereg praktycznych zastosowao. W
nieruchomej cewce głowicy magnetycznej odtwarzacza magnetofonowego powstają prądy
indukcyjne w miarę jak różne obszary namagnetyzowanej taśmy przesuwają się przed głowicą.
Dyski twarde w komputerze działają na tej samej zasadzie. Przetworniki w gitarach elektrycznych
wykorzystują prąd indukowany w przetwornikowych cewkach w wyniku drgao w pobliżu nich strun
𝑩
Strumień najbardziej
ujemny, SEM równa
zero
𝑩
Strumień zmniejsza się
najszybciej, największa
wartość dodatnia SEM
Rysunek 19.6
Strumień najbardziej
dodatni, SEM równa
zero
Strumień zwiększa się
najszybciej, największa
wartość ujemna SEM
Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki
8
ferromagnetycznych. W alternatorach większości samochodów obraca się magnes, który wywołuje
w cewce przepływ prądu. Oczywiście taka lista może byd kontynuowana.
19.3 Ruch ramki w polu magnetycznym.
Zjawisko indukcji elektromagnetycznej znajduje zastosowanie przy zamianie energii
mechanicznej na energię elektryczną prądu elektrycznego. W tym celu wykorzystuje się
generatory (prądnice), których zasadę działania można przeanalizowad na przykładzie płaskiej
ramki obracającej się w jednorodnym polu magnetycznym (Rysunek 19.6 i Rysunek 19.7).
Załóżmy, ze ramka obraca się w jednorodnym polu magnetycznym (B = const) ruchem
jednostajnym z prędkością kątową ω = const. Strumieo indukcji magnetycznej przechodzący przez
ramkę o powierzchni A w dowolnej chwili czasu t jest równy:
  Bn A  BA cos   BA cos t ,
gdzie ϕ = ωt – kąt o jaki obróci się ramka po czasie t (warunki początkowe zostały wybrane tak, że
dla t = 0 α = 0)
Podczas obracania się ramki będzie w niej powstawad SEM indukcji:
Ei  
d
  BA sin t
dt
19.6
zmieniająca się sinusoidalnie z czasem. Dla sinωt = 1, wartośd Ei będzie maksymalna i równa
Emax  BA .
19.7
Uwzględniając 4.5 można zapisad
Ei  Emax sin t
19.8
Podsumowując:, jeżeli ramka obraca się ruchem jednostajnym w jednorodnym polu
magnetycznym, to powstaje w niej siła elektromotoryczna indukcji, która zmienia się sinusoidalnie
wraz z czasem.
Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki
9
W prądnicy przedstawionej na rysunku 19.6 otrzymuje się prąd zmienny o przebiegu
sinusoidalnym (wzór 19.8). Indukowane napięcie pobierane jest przy pomocy ślizgających się
szczotek z dwu pierścieni obracających się razem z ramką.
Ze wzoru 19.7. wynika, że Emax zależy od ω, A i B. Za standardową częstotliwośd prądu w sieci
przyjmuje się częstotliwośd równą ν = ω/(2π) = 50Hz, dlatego możliwe jest tylko zwiększanie
dwóch ostatnich wielkości. W elektrowniach w generatorach dużej mocy w celu zwiększenia B
stosuje się magnesy o dużej mocy, lub przez elektromagnesy przepuszczany jest prąd o dużym
natężeniu, lub też rdzenie elektromagnesów wykonuje się z materiałów o dużej przenikalności
magnetycznej μ. Jeżeli obracad nie jeden zwój, a cały szereg N zwojów, połączonych szeregowo, to
tym samym zwiększamy powierzchnię, która wyniesie NS.
𝑩
Rysunek 19.7
Rysunek 19.7 przedstawia schematycznie zasadę działania prądnicy prądu o stałym kierunku
przepływu. Układ półpierścieni zwanych komutatorem odwraca połączenie z zewnętrznym
układem w położeniach kątowych ramki, przy których następuje zmiana SEM na przeciwną.
Powstająca w wyniku tego SEM przedstawiona jest na rysunku 19.7b. Komercyjne prądnice
posiadają wiele ramek połączonych z komutatorem składającym się z wielu segmentów (pierścieo
podzielony jest nie na dwie części, ale na wiele odcinków). Taki układ powoduje, że otrzymywane
napięcie ulega wygładzeniu i w rezultacie otrzymuje się nie tylko prąd płynący w jednym kierunku,
ale stały.
Proces przekształcania energii mechanicznej w elektryczną jest odwracalny. Jeżeli przez ramkę,
umieszczoną w polu magnetycznym, przepuszczad prąd elektryczny, to będzie na nią działał
obrotowy moment sił (patrz: siła Ampere’a) i ramka zacznie się obracad. Na tej zasadzie działają
silniki elektryczne.
Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki
10
19.4 Współczynnik indukcji. Zjawisko samoindukcji.
Prąd elektryczny płynący w zamkniętym obwodzie wytwarza wokół siebie pole magnetyczne,
którego indukcja magnetyczna, zgodnie z prawem Biota – Savarta, jest proporcjonalna do
natężenia prądu. W związku z tym strumieo pola magnetycznego przechodzący przez obwód
będzie proporcjonalny do natężenia prądu I:
Φ = 𝐿𝐼
19.9
Strumieo pola magnetycznego w obwodzie z prądem.
gdzie
współczynnik
proporcjonalności
L
nazywa
się
współczynnikiem
samoindukcji
(indukcyjnością) obwodu.
Jeżeli zmieni się natężenie prądu (Rysunek 19.8), to zmieni
się również strumieo pola magnetycznego przechodzący przez
obwód, w związku z tym w obwodzie będzie indukowana SEM.
Powstawanie SEM indukcji w obwodzie, w którym zmienia się
natężenie prądu nazywa się zjawiskiem samoindukcji.
Ze wzoru 19.9 można określid jednostkę współczynnika
samoindukcji – henr (H): 1H jest to indukcyjnośd takiego
obwodu, w którym płynący prąd 1 A wytwarza strumieo
Rysunek 19.8 Prąd i w obwodzie
powoduje powstanie pola 𝐵 i strumienia
przecinającego cewkę. Jeżeli zmienia się
prąd, to zmienia się również strumieo i
powstaje SEM samoindukcji.
indukcji magnetycznej równy 1Wb:
1H  1Wb / A  1V  s / A
Rozważmy indukcyjnośd nieskooczenie długiego solenoidu. Zgodnie z obliczeniami z
poprzedniego wykładu strumieo pola magnetycznego przez solenoid wynosi   0
n2 S
I.
l
Porównując to z 19.9 widzimy, że
L  0
n2 S
l
19.10
Można pokazad, że współczynnik indukcji zależy tylko od geometrycznej formy obwodu, jego
rozmiarów i przenikalności magnetycznej ośrodka, w którym się znajduje. W tym sensie
Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki
11
indukcyjnośd obwodu jest analogiem do pojemności przewodnika, która również zależy tylko od
kształtu przewodnika, jego rozmiarów i przenikalności dielektrycznej ośrodka.
Stosując prawo Faradaya do zjawiska samoindukcji otrzymujemy:
ES  
d
d
dL 
 dI
  LI    L  I

dt
dt
dt 
 dt
Jeżeli obwód nie ulega deformacji i przenikalnośd magnetyczna ośrodka nie zmienia się, to L =
const i
𝐝𝐈
ℇ𝐬 = −𝐋 𝐝𝐭
19.11
SEM samoindukcji.
gdzie znak minus, uwarunkowany regułą Lenza, pokazuje, że pojawienie się indukcyjności w
obwodzie prowadzi do spowolnienia zmian natężenia prądu w obwodzie.
𝑑𝐼
Jeżeli prąd wzrasta w czasie, to 𝑑𝑡 > 0 i ES < 0, co oznacza, że prąd indukcyjny skierowany jest
przeciwnie do prądu w obwodzie i hamuje jego wzrost. Jeżeli prąd maleje w obwodzie, czyli
𝑑𝐼
𝑑𝑡
< 0 a ES > 0, to prąd indukcyjny ma taki sam kierunek co malejący prąd w obwodzie i spowalnia
jego ubywanie. W rezultacie, jeżeli obwód posiada określoną indukcyjnośd, to posiada pewną
bezwładnośd elektryczną, polegającą na tym, że dowolna zmiana prądu jest hamowane i
hamowanie to jest tym silniejsze im większa jest indukcyjnośd obwodu.
Aby zrozumied lepiej zachowanie się obwodów z prądem zawierających cewkę o indukcyjności
L przystosujmy drugie prawo Kirchhoffa do takich obwodów. W przypadku zwykłych obwodów,
suma algebraiczna wszystkich różnic potencjałów na elementach pasywnych obwodu po obejściu
obwodu w koło musi byd równa zero, ponieważ występujące w obwodzie pole elektryczne jest
zachowawcze 𝐸𝑧𝑎 𝑐ℎ .
Kiedy w obwodzie znajduje się cewka sytuacja ulega zmianie. Indukowane w cewce pole
elektryczne, jak wiemy, nie jest zachowawcze i oznaczmy je jako 𝐸𝑛𝑧𝑎𝑐 ℎ . Musimy bardzo uważnie
prześledzid role jakie odgrywają poszczególne pola. Załóżmy, że mamy do czynienia z cewką o
zaniedbywalnym oporze. W takiej sytuacji wystarczy dowolnie małe całkowite pole elektryczne,
aby ładunki zaczęły się poruszad, zatem całkowite pole elektryczne 𝐸𝑧𝑎𝑐 ℎ + 𝐸𝑛𝑧𝑎𝑐 ℎ wewnątrz cewki
musi byd równe zero.
Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki
12
Rozważmy obwód pokazany na rysunku 19.9; pojemnik na rysunku
zawiera określony zestaw ogniw i oporników, które umożliwiają regulację
prądu i płynącego w obwodzie. Zgodnie z prawem Faradaya (wzór 19.3)
całka liniowa z 𝐸𝑛𝑧𝑎𝑐 ℎ jest równa ujemnej szybkości zmian strumienia
magnetycznego, który z kolei dany jest równaniem 19.9. W rezultacie
otrzymujemy:
di
L
Enzach dl = −L dt
Rysunek 19.9
całkując wzdłuż obwodu (zgodnie z kierunkiem założonego prądu i). Jednak
𝐸𝑛𝑧𝑎𝑐 ℎ jest różne od zera tylko w obszarze cewki. Dlatego też całkę po
całym obwodzie z 𝐸𝑛𝑧𝑎𝑐 ℎ możemy zastąpid całką od a do b wzdłuż cewki,
tzn.:
𝑏
𝑎
di
Enzach dl = −L dt
Następnie, ponieważ 𝐸𝑧𝑎𝑐 ℎ + 𝐸𝑛𝑧𝑎𝑐 ℎ = 0 w każdym punkcie cewki,
możemy zapisad:
𝑏
𝑎
di
a. Opornik z prądem i
płynącym od a do b:
potencjał maleje od a do
b
Ezach dl = L dt
Całka po lewej stronie jest po prostu różnicą potencjałów między punktami
a i b. Ostatecznie otrzymujemy:
di
𝑉𝑎𝑏 = 𝑉𝑎 − 𝑉𝑏 = L dt
19.12
Na podstawie ostatniego równania możemy wyciągnąd wniosek, że między
koocami cewki istnieje realna różnica potencjałów związana z elektrycznym
polem zachowawczym, pomimo faktu, iż samo pole elektryczne związane z
zjawiskiem indukcji magnetycznej nie jest zachowawcze. Zatem mamy
b. Cewka z prądem i
płynącym od a do b:
 Jeżeli di/dt > 0, to potencjał
maleje od a do b
 Jeżeli di/dt < 0, to potencjał
wzrasta od a do b
 Jeżeli di/dt = 0, to różnica
potencjałów wynosi zero
Rysunek 19.10
prawo używad reguły dotyczącej drugiego prawa Kirchhoffa pod
warunkiem, że będziemy przyjmowad równanie 19.12 określające różnicę potencjałów na koocach
cewki.
Na rysunku 19.10 przeanalizowano zachowania się opornika i cewki w czasie przepływu prądu i
podsumowano są relacje dotyczące znaków.
Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki
13
19.5 Prądy podczas zamykania i otwierania obwodu.
Wzrost natężenia prądu podczas zamykania obwodu.
Każda zmiana natężenia prądu w obwodzie powoduje powstaje SEM
samoindukcji i w rezultacie, w obwodzie pojawiają się dodatkowe prądy
samoindukcji. Prądy te, zgodnie z regułą Lenza, zawsze są skierowane tak,
aby przeszkadzad zmianom prądu w obwodzie. Podczas zamykania
obwodu prąd indukcyjny ma kierunek przeciwny do prądu powstającego
pod wpływem zewnętrznej SEM, a podczas otwierania obwodu, prąd
indukcyjny ma taki sam kierunek jak zanikający prąd.
Rozpatrzmy proces włączania prądu w obwodzie, który zawiera SEM E,
i
Rysunek 19.11
opór R i cewkę o indukcyjności L (Rysunek 19.11). Załóżmy, że początkowo oba klucze są otwarte.
W chwili t = 0 zamykamy klucz S1. Prąd nie może się zmienid gwałtownie od zera do pewnej
skooczonej wartości, ponieważ di/dt i indukowana SEM w cewce mają skooczone wartości.
Niech i będzie prądem po czasie t od zamknięcia klucza S 1 i niech di/dt będzie szybkością zmian
prądu w tym czasie. Różnica potencjałów na oporniku w chwili t wynosi:
𝑉𝑎𝑏 = 𝑖𝑅
a różnica potencjałów Vbc na cewce jest równa:
𝑑𝑖
𝑉𝑏𝑐 = 𝐿 𝑑𝑡 .
Zwródmy uwagę, że jeżeli prąd płynie w kierunku jak na rysunku i rośnie, to zarówno Vab jak i Vbc
są dodatnie, tzn. a ma wyższy potencjał niż b i b ma wyższy potencjał niż c (porównaj z rysunkiem
19.10b). Możemy teraz zastosowad drugie prawo Kirchhoffa do naszego obwodu z zamkniętym
kluczem S1:
𝑑𝑖
ℇ − 𝑖𝑅 − 𝐿 𝑑𝑡 = 0
19.13
Przekształcając mamy:
𝑑𝑖
𝑑𝑡
ℇ
𝑅
=𝐿−𝐿𝑖
19.14
W chwili zamknięcia klucza S1 i = 0 i spadek potencjału na oporniku jest równy zero. Zatem
początkowa szybkośd zmian prądu wyniesie
𝑑𝑖
𝑑𝑡 𝑝𝑜𝑐𝑧
ℇ
=𝐿
Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki
14
Wraz z upływem czasu wzrasta i a tym samym (R/L)i w wyrażeniu 19.14, a zatem szybkośd zmian
prądu maleje coraz bardziej. Oznacza to, że prąd dąży do osiągnięcia stałej wartości I. Wtedy di/dt
będzie równe zero, a równanie przybierze postad
𝑑𝑖
ℇ
𝑑𝑡 𝑘𝑜 ń𝑐
𝑅
=0=𝐿−𝐿𝐼
i
ℇ
𝐼=𝑅
Zależnośd natężenia prądu od czasu przedstawia rysunek 19.12. Aby
wyprowadzid równanie opisujące tę zależnośd, przepiszmy równanie
19.14 w postaci
𝑑𝑖
𝑅
𝑖− ℇ 𝑅
= − 𝐿 𝑑𝑡
Scałkujmy to wyrażenie
Rysunek 19.12
𝑖
𝑑𝑖
0 𝑖− ℇ 𝑅
𝑙𝑛
=−
𝑖− ℇ 𝑅
−ℇ 𝑅
𝑡𝑅
𝑑𝑡
0 𝐿
𝑅
= −𝐿𝑡
Przepiszmy powyższe równanie jako funkcję i od t:
ℇ
𝐢 = 𝐑 𝟏 − 𝐞− 𝐑/𝐋 𝐭
19.15
Prąd podczas włączania obwodu RL z SEM
Z wykresu na rysunku 9.12 widzimy, że początkowo prąd rośnie gwałtownie, aby następnie powoli
zbliżad się do ustalonej wartości I = E/R. Po czasie t = L/R prąd wzrośnie do wartości (1 – 1/e) lub
do około 63% swojej koocowej wartości. Dlatego też L/R jest miarą tego jak szybko prąd narasta i
wielkośd ta nazywa się stałą czasową obwodu – τ:
𝐋
𝛕=𝐑
19.16
Stała czasowa obwodu R – L .
Po czasie 2τ prąd osiągnie 86% swoje koocowej wartości, po 5τ 99,3% i po 10τ 99,995%. Widzimy,
że dobierając odpowiednio R i L otrzymamy prąd, który narasta bądź szybko bądź wolno. Dla
przykładu, jeżeli R = 100Ω a L = 10H:
10H
τ = 100Ω = 0,10s
Jednak gdy na przykład L = 0,010H, to τ = 1,0 ∙ 10−4 𝑠 = 0,10𝑚𝑠 i wzrost jest znacznie bardziej
gwałtowny.
Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki
15
Rozważania dotyczące energii dają dodatkowy wgląd w zachowanie się obwodu R – L. Chwilowa
szybkośd z jaką dostarczana jest energia do obwodu jest równa P = ℇi. Chwilowa szybkośd z jaką
energia jest rozpraszana w obwodzie wynosi i2R, a szybkośd magazynowania energii w cewce jest
równa iVbc = Lidi/dt. W rezultacie korzystając z zasady zachowania energii:
𝑑𝑖
ℇ𝑖 = 𝑖 2 𝑅 + 𝐿𝑖 𝑑𝑡
19.17
Jak widzimy ostatnie równanie jest równaniem 19.13 wynikającym z prawa Kirchhoffa. Częśd ℇi
dostarczanej energii ulega rozproszeniu w oporniku, a druga częśd energii gromadzona jest w
cewce.
Zanikanie natężenia prądu podczas otwierania obwodu.
Załóżmy teraz, że klucz S1 był przez pewien czas zamknięty i prąd
osiągnął maksymalną wartośd I0. W chwili t = 0 zamykamy klucz S2
(w tej samej chwili powinniśmy otworzyd klucz S1, aby uchronid
baterię przed zniszczeniem). Jak pokazuje wykres na rysunku19.13
prąd nie zmaleje natychmiast do zera.
Korzystając z wniosków z §19.4 i prawa Kirchhoffa możemy
Rysunek 19.13
wyprowadzid wzór na zależnośd i od t dla tego przypadku (postaraj
się zrobid to samemu):
𝐢 = 𝐈𝟎 𝐞− 𝐑/𝐋 𝐭
19.18
Prąd podczas wyłączania obwodu RL
gdzie I0 jest wartością natężenia prądu w chwili początkowej t = 0. τ = L/R jest czasem po którym
prąd zmniejszy się e razy czyli do około 37% swojej początkowej wartości. Po czasie 2τ spadnie do
wartości 13,5%, a po czasie 10τ będzie stanowił tylko 0,0045% swojej początkowej wartości.
Energia, która jest potrzebna do utrzymania prądu podczas jego zaniku jest dostarczana z
energii zmagazynowanej w polu magnetycznym cewki. Analiza energetyczna jest w tym wypadku
prosta; zamiast równania 19.17 mamy:
𝑑𝑖
0 = 𝑖 2 𝑅 + 𝐿𝑖 𝑑𝑡
19.19
W tym przypadku Lidi/dt jest ujemne; równanie 19.19 pokazuje, że energia zmagazynowana w
cewce zmniejsza się z szybkością równą szybkości rozpraszania energii w oporniku.
Oceomy wartośd SEM samoindukcji ES podczas gwałtownego zwiększenia oporu obwodu prądu
stałego od R0 do R. Załóżmy, że rozwieramy obwód, kiedy płynie w nim prąd I 0 = E/R0. Podczas
Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki
16
otwierania obwodu natężenie prądu zmienia się zgodnie ze wzorem 10. Podstawiając do niego
wyrażenie na I0 i τ otrzymujemy
I
E  Rt / L
e
R0
SEM samoindukcji wyniesie, więc
ES   L
dI R  Rt / L
.

Ee
dt R0
Otrzymany wynik oznacza, że podczas nagłego i dużego zwiększenia oporu obwodu (R/R0≫1),
posiadającego duży współczynnik samoindukcji, SEM samoindukcji może wielokrotnie przewyższyd
SEM włączonego źródła prądu. Należy, zatem pamiętad, aby nie wyłączad gwałtownie prądu w
obwodzie posiadającym dużą indukcyjnośd, ponieważ może to doprowadzid do przebicia izolacji i
uszkodzenia przyrządów pomiarowych. Efekt tego rodzaju gwałtownego wzrostu napięcia w
obwodzie nazywamy przepięciem.
19.6 Indukcja wzajemna.
Rozważmy dwa nieruchome obwody (1 i 2)
położone dostatecznie blisko siebie (Rysunek 19.14).
Jeżeli przez obwód 1 płynie prąd I1, to strumieo
magnetyczny wytworzony przez ten prąd jest proporcjonalny do I1.
Rysunek 19.14
Oznaczmy przez Φ21 tę częśd strumienia, która przecina kontur 2. Wtedy
 21  L21I1
19.20
gdzie L21 – współczynnik proporcjonalności.
Jeżeli prąd I1 zmienia się to w obwodzie 2 indukuje się SEM Ei2, która, zgodnie z prawem
Faradaya, jest równa szybkości zmian strumienia magnetycznego Φ 21, wytwarzanego przez prąd w
pierwszym obwodzie, i przecinającego obwód drugi:
E12  
d 21
dI
  L21 1
dt
dt
Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki
17
Analogicznie, podczas przepływu prądu I2 w obwodzie 2 strumieo magnetyczny przecina
pierwszy kontur. Jeżeli Φ12 jest częścią strumienia przecinającego obwód 1, to
12  L12I 2
Jeżeli prąd I2 zmienia się, to w obwodzie 1 indukuje się SEM Ei1, równa szybkości zmian strumienia
magnetycznego Φ12, wytwarzanego przez prąd w drugim obwodzie i przechodzącym przez obwód
pierwszy:
Ei 2  
d12
dI
  L12 2 .
dt
dt
Zjawisko powstawania SEM w jednym z obwodów podczas zmian natężenia prądu w drugim
obwodzie nosi nazwę indukcji wzajemnej. Współczynniki proporcjonalności L12 i L21 noszą nazwę
indukcyjności wzajemnej. Obliczenia, potwierdzone doświadczalnie, pokazują, że L12 i L21 są równe
𝐿21 = 𝐿12
19.21
n1
Współczynniki te zależą od kształtu geometrycznego obwodów,
rozmiarów wzajemnego położenia obwodów i od przenikalności
magnetycznej otaczającego ośrodka. Jednostką indukcji wzajemnej, tak
samo jak dla indukcyjności, jest henr.
Obliczmy indukcyjnośd wzajemną dwu cewek nawiniętych na
wspólny toroidalny rdzeo. Przypadek ten ma duże praktyczne znaczenie
(Rysunek 19.15). Indukcja magnetyczna pola wytwarzanego przez pierwszą
n2
Rysunek 19.15
cewkę, składającą się z n1 zwojów, w której płynie prąd I1 i w przypadku rdzenia o przenikalności
magnetycznej μ jest równa B  0
n1I1
, gdzie l – długośd rdzenia wzdłuż jego środka. Wtedy
l
całkowity strumieo przechodzący przez drugą cewkę, posiadającą n2 zwojów
   2 n2  0
n1n2
SI1 .
l
Strumieo Φ wytwarzany jest przez pierwszą cewkę, zatem zgodnie z 19. 20 otrzymujemy
Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki
L 21 
18

nn
 0 1 2 S
I1
l
19.22
Jeżeli policzyd strumieo pola magnetycznego wytwarzany przez drugą cewkę i przechodzący przez
pierwszą, to na L12 otrzymamy takie samo wyrażenie jak 19.21. Zatem wzajemna indukcja dwóch
cewek nawiniętych na wspólny toroidalny rdzeo jest równa
L21  L12  0
n1n 2
S
l
19.7 Transformatory.
Zasada działania transformatorów, stosowanych od
podwyższania
lub
zmniejszania
napięcia
prądu
zmiennego, oparta jest na zjawisku indukcji wzajemnej.
Schematyczna budowa transformatora pokazana jest na
rysunku
19.16.
Uzwojenia
pierwotne
i
wtórne,
posiadające odpowiednio n1 i n2 zwojów, zamocowane są na
Rysunek 19.16
wspólnym żelaznym rdzeniu. Ponieważ kooce uzwojenia pierwotnego podłączone są do
zmiennego napięcia posiadającego SEM E1, to w uzwojeniu tym powstaje prąd zmienny I1, który z
kolei wytwarza w rdzeniu transformatora zmienny strumieo Φ. Strumieo ten praktycznie cały
skupiony jest w rdzeniu transformatora i przecina zwoje uzwojenia wtórnego. Zmiany tego
strumienia powodują powstanie w uzwojeniu wtórnym SEM indukcji wzajemnej, w uzwojeniu
pierwotnym SEM samoindukcji.
Zgodnie z prawem Ohma, prąd I1 cewki pierwotnej jest określony przez sumę algebraiczną
zewnętrznej SEM i SEM samoindukcji:
Ei 
d
n1   I1R1
dt
gdzie R1 – opór uzwojenia pierwotnego. Spadek napięcia I1R1 na oprze R1 dla prądów
szybkozmiennych jest niewielki, dlatego
Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki
E1  n1
19
d
.
dt
19.23
SEM indukcji wzajemnej powstająca w uzwojeniu wtórnym
E2  
dn 2 
d
 n 2
dt
dt
19.24
Porównując wyrażenia 14. i 15. otrzymujemy wyrażenie na SEM w obwodzie wtórnym
E2  
n2
E1
n1
19.25
gdzie znak minus wskazuje, że SEM w uzwojeniu pierwotnym i wtórnym mają przeciwne fazy.
Stosunek ilości zwojów n2/n1, wskazujący ile razy SEM w uzwojeniu wtórnym jest większa (lub
mniejsza) od SEM w uzwojeniu pierwotnym nazywa się przekładnią transformatora.
Zaniedbując straty energii, które we współczesnych transformatorach nie przekraczają 2% i
stosując prawo zachowania energii, możemy zapisad, że moc w obu uzwojeniach praktycznie jest
jednakowa:
E2I2  E1I1
Skąd, uwzględniając 19.25.
ℇ𝟐
ℇ𝟏
𝐈
𝐧
= 𝐈𝟏 = 𝐧𝟐
𝟐
𝟏
19.26
Przekładnia transformatora.
Widad, że natężenia prądów w uzwojeniach są odwrotnie proporcjonalne do ilości zwojów.
Jeżeli n2/n1 > 1, to mamy do czynienia z transformatorem podwyższającym, zwiększającym
SEM i obniżającym natężenie prądu (stosuje się je na przykład przy przesyłaniu energii elektrycznej
na duże odległości, ponieważ w tym przypadku straty energii, spowodowane wydzieleniem się
ciepła proporcjonalne do kwadratu natężenia prądu, ulegają zmniejszeniu). Jeżeli n 2/n1 < 1, to
Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki
20
mamy do czynienia z transformatorem obniżającym, zmniejszającym SEM i zwiększającym prąd
(stosowane są na przykład przy spawaniu, gdzie wymagany jest duży prąd przy małym napięciu).
19.8 Energia pola magnetycznego.
Przewodnik, w którym płynie prąd jest zawsze otoczony polem magnetycznym, przy czym pole
magnetyczne pojawia się i znika wraz powstawaniem i zanikaniem prądu. W związku z tym częśd
energii idzie na wytworzenie pola magnetycznego, które, podobnie jak elektryczne, jest nośnikiem
energii. Naturalnym jest, więc założenie, że energia pola magnetycznego jest równa pracy, jaką
wykonuje prąd na wytworzenie tego pola.
Rozważmy obwód o indukcyjności L, w którym płynie prąd I. Z obwodem tym związany jest
strumieo pola magnetycznego Φ = LI, przy czym zmiana prądu o dI spowoduje zmianę strumienia o
dΦ = LdI. Jednak, aby zmienid strumieo pola magnetycznego o wielkośd dΦ trzeba wykonad pracę
(patrz odpowiednie równanie z poprzedniego wykładu) dW = IdΦ = LIdI. Praca potrzebna na
wytworzenie strumienia Φ będzie, zatem równa
1
W   LIdI  LI 2 / 2
0
Praca ta dostarczona z zewnątrz zostanie zgromadzona wewnątrz cewki. W rezultacie energia pola
magnetycznego wytworzonego przez obwód
𝟏
𝐔𝐁 = 𝟐 𝐋𝐈𝟐
19.27
Energia zmagazynowana w cewce.
Badanie własności zmiennych pól magnetycznych, w szczególności rozchodzenia się fal
elektromagnetycznych, okazało się dowodem, że energia pola magnetycznego zlokalizowana jest
w przestrzeni. Zgadza się to z teorią pola elektromagnetycznego.
Energię
pola
magnetycznego
można
przedstawid
w
postaci
funkcji
wielkości
charakteryzujących to pole w otaczającej przestrzeni. W tym celu rozpatrzmy szczególny
przypadek – pole jednorodne długiego solenoidu. Podstawiając do wzoru 19.27 wzór 19.10.
otrzymamy:
Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki
UB 
21
1
n2 I 2
0
S
2
l
Ponieważ I  Bl / 0n  (patrz wzór odpowiedni wzór z poprzedniego wykładu), to
UB 
B2
20
19.28
V
gdzie Sl = V – objętośd solenoidu.
Pole magnetyczne solenoidu jest jednorodne i zawarte wewnątrz jego objętości, dlatego
energia tez będzie zawarta wewnątrz solenoidu i będzie miała gęstośd
𝐰=
𝐔𝐁
𝐕
𝐁𝟐
= 𝟐𝛍𝛍
𝟎
19.29
Gęstośd energii pola magnetycznego.
Wyrażenie 19.29 na gęstośd objętościową energii pola magnetycznego ma charakter ogólny,
pod warunkiem, że zależnośd między wektorami B i H jest liniowa, tzn. odnosi się tylko do
diamagnetyków i paramagnetyków.
19.9 Równania Maxwella.


Równania Maxwella łączą pola elektryczne E i magnetyczne B z ich źródłami, którymi są
ładunki, prądy i zmieniające się w czasie pola. Równania te podsumowują doświadczalne prawa
Coulomba, Gaussa, Biota-Savarta, Ampera i Faradaya. Prawa te mają charakter ogólny oprócz
prawa Ampera, które nie stosuje się do obwodów prądowych nieciągłych, takich jak na przykład
obwód zawierający ładujący się i rozładowują się kondensator. Maxwell uogólnił prawo Ampera na
nieciągłe obwody z prądem. Następnie pokazał, że te uogólnione prawa elektryczności i
magnetyzmu zakładają istnienie fal elektromagnetycznych.
Równania Maxwella odgrywają taką samą rolę w klasycznym elektromagnetyzmie jak prawa
Newtona w mechanice klasycznej. W zasadzie wszystkie zjawiska elektryczności i magnetyzmu
mogą byd opisane poprzez rozwiązanie równao Maxwella, tak jak wszystkie zagadnienia w
mechanice mogą byd opisane poprzez podanie rozwiązao równao Newtona.
Prąd przesunięcia.
Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki
22
Prawo Ampera (Patrz poprzedni wykład) podaje związek pomiędzy cyrkulacją pola
magnetycznego B po krzywej zamkniętej L, a prądem który przepływa przez powierzchnię
ograniczoną tą krzywą:
 
 B d l   I ,
0
dla dowolnej krzywej zamkniętej C
19.30
C
Maxwell uwzględnił przepływ w prawie Ampera. Rysunek 19.17 dwie różne powierzchnie
ograniczone tą samą krzywą C, które otaczają przewód przewodzący prąd do
płyty
kondensatora.
Prąd
przepływający
przez
Krzywa C
Okładki
kondensatora
powierzchnię S1 jest równy I, natomiast przez powierzchnię
S2 nie przepływa żaden prąd. W związku z tym pojawia się
niejasnośd
w
stwierdzeniu
„prąd
przez
dowolną
powierzchnię ograniczoną krzywą”. Tego rodzaju problem
powstaje za każdym razem, gdy prąd jest nieciągły.
Maxwell pokazał, że prawo Ampera może byd
Rysunek 19.17
uogólnione i uwzględniad wszystkie sytuacje, jeżeli prąd I w równaniu
zostanie zamieniony przez sumę prądu przewodzenia I i członu Iprz , zwanego prądem
przesunięcia, zdefiniowanym jako:
𝐈𝐩𝐫𝐳 = 𝛆𝟎
𝐝𝚽𝐄
19.31
𝐝𝐭
Definicja – prąd przesunięcia.
gdzie ΦE jest strumieniem pola elektrycznego przez tę samą powierzchnię ograniczoną krzywą C.
Uogólniona postad prawa Ampera przybiera, zatem postad:
𝑩𝒅𝒍 = 𝝁𝟎 𝑰 + 𝑰𝒑𝒓𝒛 = 𝝁𝟎 𝑰 + 𝝁𝟎 𝜺𝟎
𝐝𝚽𝐄
𝐝𝐭
19.32
Uogólniona postad prawa Ampera.
Postaramy się zrozumied to uogólnienie poprzez rozpatrzenie Rysunku 19.17 ponownie.
Nazwijmy sumę I+Iprz prądem całkowitym. Zgodnie z przeprowadzoną właśnie dyskusją taki prąd
całkowity musi przeciąd dowolną powierzchnię rozpiętą na krzywej C. Zatem sumaryczny prąd
przepływający przez zamkniętą objętośd ograniczoną powierzchniami S1 i S2 musi byd równy zero.
Jeżeli istnieje rzeczywisty wypadkowy prąd I wpływający do tej objętości, to musi istnied równy co
do wartości wypadkowy prąd przesunięcia Iprz wypływający z tej objętości. W objętości na rysunku
Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki
23
istnieje wypadkowy prąd przewodzenia I wpływający do niej, który zwiększa ładunek wewnątrz tej
objętości:
I
dQ
dt
Strumieo pola elektrycznego przez powierzchnię S jest związany z ładunkiem za pomocą prawa
Gaussa:
 wyp   E n dA 
S
1
Q wewn
0
Szybkośd zwiększania się ładunku jest więc proporcjonalna do szybkości wzrostu wypadkowego
strumienia na zewnątrz objętości:
d E ,wyp
dQ
 0
 I prz .
dt
dt
W rezultacie wypadkowy prąd przewodzenia wpływający do rozpatrywanej objętości jest równy
wypadkowemu prądowi przesunięcia wypływającemu z objętości. Całkowity prąd jest zawsze
ciągły.
Równania Maxwella.
Równania Maxwella dla próżni mają postad:
𝟏
𝑬 ∙ 𝒅𝑨 = 𝜺 Q𝒘𝒆𝒘𝒏
Prawo Gaussa dla 𝑬
𝑩 ∙ 𝒅𝑨 = 𝟎
Prawo Gaussa dla 𝑩 19.33b.
𝟎
𝒅
𝑬 ∙ 𝒅𝒍 = − 𝒅𝒕 𝑩 ∙ 𝒅𝑨
𝒅
𝑩 ∙ 𝒅𝒍 = 𝝁𝟎 𝑰 + 𝒅𝒕 𝜺𝟎 𝝁𝟎 𝑬 ∙ 𝒅𝑨
19.33a.
Prawo Faradaya
19.33c.
Prawo Ampere’a
19.33d.
Równania Maxwella
Równanie 19.33a. jest prawem Gaussa. Z prawa tego wynika, że linie pola zaczynają się i
kooczą na ładunkach elektrycznych.
Równanie 19.33b. jest
odpowiednikiem
prawa
Gaussa dla pola
magnetycznego,
stwierdzającym, że strumieo pola magnetycznego przez dowolną krzywą zamkniętą jest zawsze
równy zero. Odzwierciedla ono eksperymentalny fakt, że linie pola magnetycznego są zawsze
zamknięte (nie istnieją w przyrodzie magnetyczne monopole – magnetyczne odpowiedniki
ładunków elektrycznych).
Równanie 26c. jest prawem Faradaya; stwierdza ono, że cyrkulacja pola elektrycznego E po
krzywej zamkniętej C (siła SEM) równa jest szybkości zmian (ujemnej) strumienia pola
Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki
24
magnetycznego przez powierzchnię S ograniczoną krzywą C. Prawo Faradaya opisuje, w jaki
sposób linie pola elektrycznego otaczają dowolny obszar, w którym zmienia się strumieo pola
magnetycznego i wiąże pole elektryczne 𝑬 z szybkością zmian pola magnetycznego 𝑩.
Równanie 26d. jest zmodyfikowanym prawem Ampera uwzględniającym prąd przesunięcia.
Stwierdza ono, że cyrkulacja wektora pola magnetycznego 𝑩 po dowolnej krzywej zamkniętej C
jest równa μ0 razy prąd przepływający przez dowolną powierzchnię ograniczoną krzywą C plus μ 0ε0
razy szybkośd zmian strumienia pola elektrycznego przepływającego przez tę powierzchnię.
Musimy dodatkowo pamiętad o równaniu definiującym pola 𝑬 i 𝑩 :
𝑭 =𝒒 𝑬+𝒗×𝑩
Wzór Lorentza.
Wzory 19.33 i 19.34 są podstawowymi związkami elektromagnetyzmu.
19.34
Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki
25