Szacowanie wartości liczbowych

Szacowanie wartości liczbowych
1. Cele lekcji
Powtórzenie wiadomości o przybliżeniu dziesiętnym liczby, szacowanie wartości liczb niewymiernych,
wyznaczanie przybliżeń pierwiastków kwadratowych za pomocą algorytmu Herona.
a) Wiadomości
Uczeń powinien:

znać pojęcia przybliżenia liczby: z niedomiarem i nadmiarem,

znać regułę zaokrąglania liczb,

znać metodę wyznaczania przybliżeń pierwiastków kwadratowych według algorytmu Herona.
b) Umiejętności
Uczeń powinien:

umieć przybliżać liczby zapisane w postaci dziesiętnej z zadaną dokładnością,

wyznaczać przybliżenia liczb niewymiernych,

umieć zastosować algorytm Herona do wyznaczania przybliżeń pierwiastków liczb.
2. Metoda i forma pracy
Czynnościowa, problemowa, praca indywidualna przy komputerze, praca zbiorowa.
3. Środki dydaktyczne
Stanowiska komputerowe z zainstalowanym programem Excel.
4. Przebieg lekcji
a) Faza przygotowawcza
Nauczyciel kontroluje pracę domową. Wspólnie z uczniami przypomina pojęcia liczby wymiernej
i niewymiernej oraz rozwinięcia dziesiętnego liczby wymiernej i niewymiernej.
b) Faza realizacyjna
1. Szacowanie wartości wymiernych
a. Zad 1. Oszacuj wartość liczby a = 2,14
Odp.: 2 < 2,14 < 3,
2,14  2,
I przybliżenie

2,1 < 2,14 < 2,2
2,14 2,1 II przybliżenie
2,14 jest ułamkiem dziesiętnym, wynik dokładny.
b.
Zad 2. Oszacuj wartość liczby
1
3
1
1
= 0,33333…= 0,(3). Teraz widać, że jest zawarta między 0,33333… a 0,33334.
3
3
2. Przybliżenie z niedomiarem
Dla liczby dodatniej, zapisanej za pomocą rozwinięcia dziesiętnego przybliżenie z niedomiarem
otrzymamy, odrzucając wszystkie cyfry tego rozwinięcia, poczynając od pewnego miejsca. Na
przykład: liczby 0,3; 0,33; 0,333 są przybliżeniami z niedomiarem liczby 0,(3). O przybliżeniu
0,3 powiemy, że jest przybliżeniem do jednej cyfry po przecinku, przybliżenie 0,33 – do dwóch
cyfr po przecinku, a przybliżenie 0,333 do trzech cyfr po przecinku.
3. Przybliżenie z nadmiarem
Dla liczby dodatniej, zapisanej za pomocą rozwinięcia dziesiętnego przybliżenie z nadmiarem
otrzymamy, odrzucając wszystkie cyfry tego rozwinięcia, poczynając od pewnego miejsca i
jednocześnie zwiększając o 1 ostatnią nie odrzuconą cyfrę. Tak więc przybliżeniami z
nadmiarem liczby 0,(3) do kolejno jednej, dwóch i trzech miejsc po przecinku są 0,4; 0,34,
0,334.
4. Szacowanie przybliżeń liczb niewymiernych
a. Znajdź przybliżenie liczby niewymiernej
Szacujemy:
2
12 = 1
<2<
22 = 4
2
(1,4) = 1,96
<2<
(1,5)2 = 2,25
Kolejny ciąg przybliżeń z niedomiarem i nadmiarem otrzymują uczniowie metodą „prób
i błędów”, wyznaczając kwadraty potencjalnych lepszych przybliżeń za pomocą
kalkulatora.
(1,41)2 = 1,9881
< 2 < (1,42)2 = 2,02264
2
(1,414) = 1,999396 < 2 < (1,415)2 = 2,002225
(1,4142)2 = 1,99996164 < 2 < (1,4143)2 = 2,00024449
b. Dokładności przybliżeń
Przyjmując np. 2  1,414 lub
2  1,415 przybliżamy
2 z dokładnością do 0,001.
c. Wskaż przybliżenia 2 z niedomiarem i z nadmiarem
Odp.: Liczby 1, 1,4, 1,41, 1,414, 1,4142 są przybliżeniami z niedomiarem. Liczby
zaś 2, 1,5, 1,42, 1,415, 1,4143 są przybliżeniami dziesiętnymi z nadmiarem.
5. Przypomnienie reguły zaokrąglania liczb.
a. Podaj zaokrąglenie liczby 12,345678 do jednego i dwóch miejsc po przecinku.
6. Przypomnienie pojęcia pierwiastka kwadratowego z liczby nieujemnej.
7. Geometryczna interpretacja obliczania pierwiastka kwadratowego.
Zadanie obliczania pierwiastka kwadratowego nieujemnej liczby a można zilustrować
geometrycznie jako poszukiwanie długości boku kwadratu x, aby jego pole było równe
liczbie a.
8. Idea algorytmu Herona wyznaczania przybliżonej wartości x pierwiastka kwadratowego liczby
nieujemnej a.
Jeśli wybierzemy pierwsze przybliżenie x, różne od szukanego pierwiastka liczby a i
a
.
x
Długość jednego boku będzie mniejsza niż a , a drugiego większa. Wydaje się, że średnia
arytmetyczna długości boków powinna być lepszym kolejnym przybliżeniem pierwiastka.
a
Zastępując aktualne przybliżenie średnią arytmetyczną liczb x oraz , wyznaczamy iteracyjnie
x
a
lepsze kolejne przybliżenia: xi  (xi + x ) / 2 , gdzie x1 jest pierwszym zadanym
i
przybliżeniem pierwiastka, a xi są kolejnymi przybliżeniami.
narysujemy prostokąt o polu a, to jeden bok prostokąta będzie miał długość x, a drugi
9. Zaprojektuj arkusz do wyznaczania pierwiastka kwadratowego nieujemnej liczby a.
Chociaż początkowe przybliżenie 50 było bardzo niedokładne, już jedenaste ma 7 cyfr po
przecinku dokładnych. Wartości pierwiastków w systemach komputerowych wyznaczane są
właśnie za pomocą algorytmu Herona.
10. Sprawdź za pomocą arkusza, jak szybko według algorytmu Herona znajdujemy pierwiastki
kwadratowe innych liczb.
11. Pierwiastek stopnia trzeciego dowolnej liczby a
a. Jaka jest geometryczna interpretacja wyznaczania wartości x pierwiastka sześciennego
liczby a?
b. Wymyśl algorytm wyznaczania przybliżeń pierwiastka trzeciego stopnia z liczby a.
c. Analiza poniższych metod wyznaczania pierwiastka trzeciego stopnia:
a
xi  (xi + x 2 ) / 2
i
xi  (xi +
a
x
)/2
i
xi  (2  xi +
a
x
2
)/3
i
c) Faza podsumowująca
Powtórzenie wiadomości poznanych na lekcji, ocena aktywności uczniów, zadanie zróżnicowanej
pracy domowej.
5. Bibliografia
1. Anusiak J., Matematyka klasa 1, WSiP, Warszawa 1990.
2. Bryński M., Dróbka N., Szymański K., Matematyka klasa 1, WSiP, Warszawa 2002.
3. Walat A., Elementy informatyki dla szkół średnich, Wydawnictwo Edukacyjne, Warszawa
1993.
6. Załączniki
Zadanie domowe
Praca obowiązkowa:
Znajdź przybliżenie dziesiętne liczby
5 do czwartego miejsca po przecinku.
Podaj rozwinięcia dziesiętne, z dokładnością do drugiego miejsca po przecinku liczb:
3+ 2, 2 + 3.
Praca nieobowiązkowa:
Wymyśl metodę obliczania przybliżeń pierwiastków piątego stopnia.
7. Czas trwania lekcji
45 minut
8. Uwagi do scenariusza
Scenariusz lekcji zalecany do przeprowadzenia w klasach, w których uczniowie uczą się informatyki.