Liczby naturalne i zasada indukcji

Joanna Pokora i Angelika Kuśmierczak
III Temat.
Liczby naturalne i zasada indukcji
Liczby naturalne
ℕ= 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,...
Liczby naturalne to liczby używane powszechnie do liczenia i ustalania kolejności. Pojęcie
liczby jest jednym z najstarszych i najbardziej abstrakcyjnych pojęć, jednak niewiedza na
temat czym liczby są, nie przeszkadza nam sprawnie się nimi posługiwać. Liczby naturalne
można ustawić w ciąg nieskończony (po kolei jedna za drugą). Dysponując jedynką, łatwo
jest otrzymać wszystkie inne liczby naturalne. Trzeba tylko cierpliwie dodawać... Zbiór liczb
naturalnych oznaczamy symbolem ℕ .
Zbiór liczb naturalnych ℕ jest najmniejszym zbiorem, spełniającym następujące warunki: 1.
0∈ℕ,
2. Jeśli n ∈ ℕ, to n + 1 ∈ ℕ
Czy zero jest liczbą naturalną? To zależy od definicji. Czasem matematycy przyjmują, że
zero jest liczbą naturalną, a czasem zaczynają od jedynki. Przy określaniu kolejności jest
obojętne, czy liczby naturalne będą się zaczynać od 0, 1, czy od jakiejkolwiek innej z liczb.
Przy określaniu liczebności sensowne jest, żeby liczby naturalne zaczynały sie od zera, czyli
od mocy zbioru pustego. Natomiast jako przedmiot badań teorii liczb, zero okazuje się
wyjątkiem i do większości twierdzeń i definicji trzeba dodać zastrzeżenia, że coś jest różne
albo większe od zera.
Ile jest liczb naturalnych? Liczb naturalnych jest nieskończenie wiele.
Definicja 1 (Zbioru Liczb Naturalnych)
Niech ℛ będzie rodziną wszystkich podzbiorów A⊂ ℝ posiadających następujące dwie
własności:
i.
ii.
1∈A,
Jeśli x ∈ A, to x+1 ∈ A.
Niech ℕ będzie częścią wspólną tej rodziny, tzn. ℕ = ⋂𝑁∈ℛ 𝐴 Zbiór ℕ nazywamy
zbiorem liczb naturalnych. Elementy ℕ zbioru nazywamy liczbami naturalnymi.
Do rodziny ℛ wszystkich podzbiorów A⊂ ℝ należą także np. zbiory ℤ∈ℝ.
Twierdzenie 1 (Zasada Archimedesa)
Dla każdego x ∈ ℝ istnieje n ∈ ℕ, takie że n > x
Własność 1.
-1-
Joanna Pokora i Angelika Kuśmierczak
Dla każdego n∈ ℕ zachodzi n≥1.
Własność 2
(a) Dla dowolnych m, n ∈ mamy m+n ∈ ℕ i m · n ∈ ℕ
(Zbiór jest zamknięty ze względu na działanie mnożenia i dodawania)
(b) Dla każdego n ∈ ℕ mamy n=1 albo n-1∈ ℕ .
(c) Dla każdego n ∈ ℕ nie istnieje m ∈ ℕ , że n<m<n+1.
(d) Dla dowolnego m, n ∈ ℕ , jeśli m<n, to m+1≤ n.
(e) Dla dowolnego m, n ∈ ℕ , jeśli m<n, to n-m ∈ ℕ .
Twierdzenie 2 (Zasada Minimum)
Każdy niepusty zbiór liczb naturalnych ma element najmniejszy. (W każdym niepustym
zbiorze liczb naturalnych istnieje liczba najmniejsza, czyli mniejsza, lub równa, od
każdej liczby należącej do tego zbioru.)
Definicja 2 (Liczb parzystych i nieparzystych)
Mówimy, że liczba naturalna n jest parzysta, gdy istnieje k ∈ ℕ, że n=2k ; w przeciwnym
wypadku mówimy, że n jest liczbą nieparzystą. Zbiór liczb parzystych oznaczamy 2 ℕ .
Zbiór liczb nieparzystych oznaczamy 2 ℕ -1.
Postulaty Peano
Warunki definiujące zbiór liczb naturalnych wg Peano:
1. każda liczba naturalna ma swój następnik: ∀ 𝑛 ∈ ℕ ∃! 𝑘 ∈ ℕ n+1=k
2. jedynka nie jest następnikiem żadnej liczby naturalnej ∀ 𝑛 ∈ ℕ ~((𝑛 + 1) = 1)
3. różne liczby naturalne mają różne następniki ∀ 𝑛, 𝑚 ∈ ℕ n≠m=> n+1≠m+1
Aksjomatyka Peano
Na początek załóżmy, że istnieje liczba J (cokolwiek by ten symbol nie miał oznaczać).
Chcielibyśmy także dla każdej liczby 𝑎 móc pokazać jej tzw. następnik (oznaczymy go
𝑆(𝑎) ). Musimy, zatem zagwarantować istnienie następnika liczby J (który oznaczymy
K), a także następników kolejnych następników. Następnik liczby K oznaczymy L itd.
Jeśli dodatkowo założymy, że J nie jest następnikiem żadnej liczby i odpowiednio
-2-
Joanna Pokora i Angelika Kuśmierczak
zdefiniujemy dodawanie i mnożenie, to tak skonstruowany zbiór możemy nazwać
zbiorem liczb naturalnych.
Dla liczb naturalnych bez zera dodawanie, mnożenie i relację porządku wprowadzamy
przez aksjomaty:
Pojęcie
Dodawanie
Aksjomaty
6. a+1=S(a)
7. a+S(b)=S(a+b)
Mnożenie
8. a· 1=a
9. a· S(b)=a · b+a
10.a≤b
Istnieje takie
naturalne k, że a+k=b
Porządek liniowy
Zasada indukcji
Indukcja matematyczna jest to metoda dowodzenia twierdzeń o liczbach naturalnych.
Twierdzenia o indukcji można porównać do rozumowań krok po kroku, gdzie kroki są
ponumerowane liczbami naturalnymi.
Sens dowodów indukcyjnych leży w uzasadnieniu, że w pierwszym kroku dane
stwierdzenie jest prawdziwe, oraz że dla każdego 𝑛 ∈ ℕ z prawdziwości twierdzenia dla
kroku 𝑛 wynika prawdziwość twierdzenia dla kroku 𝑛 + 1.
Twierdzenie o zasadzie indukcji
Jeśli 𝐴 ⊂ ℕ oraz 𝐴 spełnia warunki:
i.
ii.
1 ∈ 𝐴,
Jeśli 𝑛 ∈ 𝐴, to 𝑛 + 1 ∈ 𝐴,
to 𝐴 = ℕ.
Twierdzenie o zasadzie indukcji o innym początku
Niech 𝑛0 ∈ ℕ oraz ℕ𝑛0 = {𝑛 ∈ ℕ: 𝑛 ≥ 𝑛0 }.
Jeśli zbiór 𝐴 ⊂ ℕ𝑛0 spełnia warunki:
i.
𝑛0 ∈ 𝐴,
-3-
Joanna Pokora i Angelika Kuśmierczak
ii.
Jeśli 𝑛 ∈ 𝐴, to 𝑛 + 1 ∈ 𝐴,
to 𝐴 = ℕ𝑛0 .
Twierdzenie o zasadzie indukcji skończonej
Niech 𝑛0 , 𝑚0 ∈ ℕ, 𝑛0 ≤ 𝑚0 oraz ℕ𝑛0 ,𝑚0 = {𝑛 ∈ ℕ: 𝑛0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑚0 }.
Jeśli zbiór 𝐴 ⊂ ℕ𝑛0 ,𝑚0 spełnia warunki:
i.
ii.
𝑛0 ∈ 𝐴,
dla każdego 𝑛 < 𝑚0 , jeśli 𝑛 ∈ 𝐴, to 𝑛 + 1 ∈ 𝐴,
to 𝐴 = ℕ𝑛0 ,𝑚0 .
Przykład 1.
Udowodnić równość metodą indukcji: 1 + 3 + ⋯ + (2𝑛 − 1) = 𝑛2 .
Rozwiązanie:
Połóżmy 𝐴 = {𝑛 ∈ ℕ: 1 + 3 + ⋯ + (2𝑛 − 1) = 𝑛2 }. 𝐴 ⊂ ℕ oczywiste.
i.
ii.
Pokażemy, że 1 ∈ 𝐴, tzn. pokażemy, że (2 ∙ 1 − 1) = 12
𝐿 =2∙1−1=1
𝑃 = 12 = 1
zatem L=P.
Zakładamy (zał. indukcyjne), że 𝑛 ∈ 𝐴, tzn.
1 + 3 + ⋯ + (2𝑛 − 1) = 𝑛2
Pokażemy, że 𝑛 + 1 ∈ 𝐴, tzn. pokażemy, że
1 + 3 + ⋯ + (2𝑛 − 1) + (2(𝑛 + 1) − 1) = 𝑛2
𝐿 = 1 + 3 + ⋯ + (2𝑛 − 1) + (2𝑛 + 1) = 𝑛2 + 2𝑛 + 1 = (𝑛 + 1)2 = 𝑃,
tzn. 𝑛 + 1 ∈ 𝐴
Na mocy zasady indukcji matematycznej wynika, że 𝐴 = ℕ.
Przykład 2
Udowodnić, że 13 + 23 + ⋯ + 𝑛3 =
𝑛2 (𝑛+1)2
4
Rozwiązanie:
Połóżmy 𝐴 = {𝑛 ∈ ℕ: 13 + 23 + ⋯ + 𝑛3 =
𝑛2 (𝑛+1)2
4
-4-
} . 𝐴 ⊂ ℕ oczywiste.
Joanna Pokora i Angelika Kuśmierczak
i.
Pokażemy, że 1 ∈ 𝐴, tzn. pokażemy, że 13 =
12 (1+1)2
4
.
𝐿 = 13 = 1
𝑃=
12 (1 + 1)2
1∙4
=
=1
4
4
zatem mamy, że L=P.
ii.
Zakładamy, że 𝑛 ∈ 𝐴, tzn.
(∗)13 + 23 + ⋯ + 𝑛3 =
𝑛2 (𝑛+1)2
4
. Pokażemy, że 𝑛 + 1 ∈ 𝐴, tzn. pokażemy, że
2
13 + 23 + ⋯ + (𝑛 + 1)3 =
(𝑛 + 1) [(𝑛 + 1) + 1]2
4
𝑛2 (𝑛 + 1)2
+ (𝑛 + 1)3 =
4
𝑛2 (𝑛 + 1)2 + 4(𝑛 + 1)3 (𝑛 + 1)2 ∙ [𝑛2 + 4(𝑛 + 1)]
=
=
4
4
2
2
(𝑛 + 1) ∙ (𝑛 + 4𝑛 + 4) (𝑛 + 1)2 ∙ (𝑛 + 2)2
=
=
=𝑃
4
4
𝐿 = 13 + 23 + ⋯ + 𝑛3 + (𝑛 + 1)3 = (∗) + (𝑛 + 1)3 =
tzn. 𝑛 + 1 ∈ 𝐴. Na mocy zasady indukcji matematycznej wynika, że A= ℕ.
Przykład 3
Wykazać, że dla każdego 𝑛 ≥ 3 prawdziwa jest nierówność 3𝑛 > 𝑛2𝑛 .
Rozwiązanie:
ℕ3 = {𝑛 ∈ ℕ: 𝑛 > 3}
Niech 𝐴 = {𝑛 ∈ ℕ3 : 3𝑛 > 𝑛2𝑛 }. Oczywiście 𝐴 ⊂ ℕ3 . Ponadto
i.
ii.
Sprawdzimy, czy 3 ∈ 𝐴. Mamy
𝐿 = 33 = 27
𝑃 = 3 ∙ 23 = 24
czyli L>P, zatem 3 ∈ 𝐴.
Załóżmy, że 𝑛 ∈ 𝐴, tzn. 3𝑛 > 𝑛2𝑛 . Pokażemy, że 𝑛 + 1 ∈ 𝐴, tzn. że
3𝑛+1 > (𝑛 + 1) ∙ 2𝑛+1 .
Mamy
(𝑛 + 1) ∙ 2𝑛+1 = (𝑛 + 1) ∙ 2𝑛 ∙ 2 = 𝑛2𝑛 ∙ 2 + 2𝑛 <z zał. ind.
3𝑛 ∙ 2 + 2𝑛 ∙ 2 < 3𝑛 ⋅ 2 + 2𝑛 ∙ 𝑛 <z zał. ind.3𝑛 ∙ 2 + 3𝑛 = 3𝑛 ∙ (2 + 1) = 3𝑛 ∙ 3 = 3𝑛+1
Na mocy zasady indukcji 𝐴 = ℕ3 .
-5-