Homologia, Rozdział I

Homologia, Rozdział I
„Przegląd”
Homologia, Rozdział 1
1
Homologia


Pozwala na podstawie lokalnych
obserwacji wnioskować na temat
całości,
Narzędzie łączące w sobie algebrę,
kombinatorykę, matematykę
obliczeniową oraz topologię,
Homologia, Rozdział 1
2
Przykład – otaczanie. (Slajd 1)
Rys 1.1
Homologia, Rozdział 1
3
Nasuwające się pytanie:
Czy możemy rozwinąć algebraiczne
narzędzie, które zdeterminuje ile regionów
jest otoczonych przez zbiór linii? Rys 1.2
Homologia, Rozdział 1
4
Cele tej książki:


Nauczyć, jak dopasować do danej
przestrzeni topologicznej sekwencję
obiektów zwanych ‘grupami
homologicznymi’,
Uzyskanie informacji na temat topologii
całej przestrzeni.
Homologia, Rozdział 1
5
Grafy


Graf jako sposób definiowania prostych obiektów,
Definicja (1.1) graf – podzbiór R3 na który składają się:


{V1, ..., vn} , vi  R – zbiór wierzchołków
{X  R3 | x = tv0 + (1-t)v1, 0  t  1} – zbiór krawędzi łączących
wierzchołki (v0 ,v1) grafu spełniające warunki:
 Przecięcie dwóch różnych krawędzi jest zbiorem pustym lub
dokładnie jednym wierzchołkiem
 Jeżeli krawędź oraz wierzchołek przecinają się to ten
wierzchołek jest punktem końcowym tej krawędzi.

Inne definicje: ścieżka, pętla, graf połączony, drzewo.
Homologia, Rozdział 1
6
Graf kombinatoryczny.

Definicja (1.2) graf kombinatoryczny:

Para (V,E) gdzie:



V – skończony zbiór wierzchołków
E – skończony zbiór krawędzi
Krawędź o wierzchołkach v1, v2 to:

e = [v1,v2]
Homologia, Rozdział 1
7
Różne reprezentacje tych samych
zbiorów w R3 (przykład).


G = [0,1]  R.
Reprezentacje kombinatoryczne:



V1 = {0,1}, E1 = {[0,1]} – naturalny
V2 = {0,1/2,1}, E2={[0,1/2],[1/2,1]}
Vn := {j/n | j = 0, ..., n}
En := {[j/n, (j+1)/n] | j = 0, ..., n-1}
Homologia, Rozdział 1
8
Różne reprezentacje grafów
a niezmienność homologii.

Do udowodnienia: Czy różne
kombinatoryczne reprezentacje tych
samych grafów będą miały tą samą
homologię?
Homologia, Rozdział 1
9
Ograniczenia topologiczne i
algebraiczne.

Rys1.4
Homologia, Rozdział 1
10
Ograniczenia topologiczne i
algebraiczne. (tabele)

 - „operator graniczny”
 Odwzorowanie liniowe:
 Dla I:
Homologia, Rozdział 1
11
Dodawanie modulo 2.

Inna reprezentacja I:





E’(I) = {[a,c],[c,d],[d,e]}; V’(I) = {a,c,d,e}
Wtedy:
Co może być prawdą tylko dla
Wyjście: arytmetyka mod2
Wtedy otrzymujemy odpowiednio równania:

Dla I:

Dla 1 równanie 1.1
Homologia, Rozdział 1
12
Dodawanie modulo 2.



(wniosek i wyjątek)
Przestrzenie z
cyklami sumują się
do 0.
Wyjątek –
Wypełnione obszary
przestrzeni.
Cykle, które są
ograniczeniami
powinny być
ignorowane.
Homologia, Rozdział 1
13
Śledzenie kierunków.


Alternatywa dla arytmetyki mod2.
Założenia: I oraz 1 są podzbiorami R2
Homologia, Rozdział 1
14
Redefinicja ‘’

Gdy kierunek krawędzi jest zgodny z
kierunkiem osi to:


Gdy kierunek krawędzi jest przeciwny do
kierunku osi to:


[a,b] to algebraiczne [a,b]
[c,d] to algebraiczne –[c,d]
Wtedy mając krawędź biegnącą z {a} do {b}:
 [a,b]:= b – a
 Gdzie  jest liniowe.
Homologia, Rozdział 1
15
Przykłady.

Dla I mamy:


Dla 1 mamy:

Homologia, Rozdział 1
16
Wnioski.


Algebra odpowiadająca interesującej
topologii jest cyklem – suma ograniczeń
algebraicznych obiektów jest równa 0.
Ponownie: cykle, które ograniczają jakiś
obszar nie są interesujące.
Homologia, Rozdział 1
17
Homologia ‘mod 2’ grafów.


G = (V,E) – dany graf
Dwie przestrzenie wektorowe:





C0(G,Z2);
C1(G,Z2);
V – baza przestrzeni C0(G,Z2)
E – baza przestrzeni C1(G,Z2)
Przestrzenie Ck(G,Z2) zwane są k-tym
łańcuchem dla G
Homologia, Rozdział 1
18