Trójosiowy stan naprężeń Hipoteza energii właściwej odkształcenia

Wytrzymałość materiałów
(WM I - 8)
SPRAWY ORGANIZACYJNE
Przedmiot:
WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW
Prowadzący:
dr hab. inż. Mirosław K. Gerigk, prof. nadzw. PG
e-mail: [email protected]
Wydział Mechaniczny PG
Katedra Mechaniki i Mechatroniki, p. 107 WM
Konsultacje:
Poniedziałki: 14.00-15.15,
Czwartki: 14.00-15.15
W PREZENTACJI WYKORZYSTANO MATERIAŁY AUTORSTWA:
prof. dr hab. inż. Krzysztofa Kalińskiego
Wykład W8:
Stany naprężeń:
- Trójosiowy stan naprężeń
- Odkształcenia od naprężeń normalnych – odkształcenia objętościowe
- Odkształcenia od naprężeń stycznych – odkształcenia postaciowe
- Wytężenie materiału
- Elementarny i złożony stan naprężeń
- Hipotezy wytężeniowe
- Hipoteza maksymalnych naprężeństycznych (sformułowana przez
Coulomba i rozwinięta przez Tresca i Guesta)
- Hipoteza energii właściwej odkształcenia postaciowego (sformułowana
przez Hubera, Misesa, Hencky’ego)
- Kryterium wytrzymałości i jego zastosowanie
- Przykłady praktyczne zastosowania hipotez: (1) maksymalnych
naprężeństycznych oraz (2)energii właściwej odkształcenia postaciowego.
Autorstwo poniższego wykładu: © Prof. Krzysztof Kaliński
http://pg.edu.pl/288cd25679_miroslaw.gerigk/wizytowka
Trójosiowy stan naprężeń
z
z
zy
zx
xz
dz
O
x
yx

x
yz
y
xy
Składowe stanu naprężeń
dx
dy
y
σ  col  x , y , z , xy , yz , xz 
Rozważmy elementarny fragment ciała odkształcalnego
Na przeciwległych ścianach wystąpią składowe naprężeń normalnych oraz
składowe naprężeń stycznych.
Składowe te pozostają w stanie równowagi statycznej.
© Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology
2017-07-24 16:42:12
4
Trójosiowy stan naprężeń
Problem: jak ustawić układ współrzędnych Oxyz, aby naprężenia styczne = 0
tensor naprężeń
T
 x  xy  xz   cos1 


σ 0  col  1 , 2 , 3    yx  y  yz   cos 2 
 zx  zy  z  cos 3 


•Warunki Cauchy’ego – symetria tensora naprężeń
•Naprężenia główne 1, 2, 3 są pierwiastkami równania charakterystycznego:
 3   I  2   II    III  0
gdzie:
 I  x  y z
 II   x y   y z   z x  3 xy2   yz2   xz2 
 III   x y z  2 xy yz xz   x yz2   y xz2   z xy2 
© Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology
2017-07-24 16:42:12
5
Trójosiowy stan naprężeń
Twierdzenie. Jeżeli w układzie prostokątnym Oxyz składowe normalne
stanu naprężeń wynoszą x, y, z, zaś składowe styczne – xy, yz, xz, to
naprężenia główne 1, 2, 3 są wartościami własnymi tensora naprężeń
 x  xy  xz 


σ   xy  y  yz 
 xz  yz  z 


zaś kosinusy kierunkowe osi naprężeń głównych są wektorami własnymi
tensora naprężeń, unormowanymi w ten sposób że suma kwadratów
składowych wynosi 1.
© Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology
2017-07-24 16:42:12
6
Trójosiowy stan naprężeń
Jeżeli wektory własne mają postać
ν 3  col v31, v32 , v33 
ν 2  col v21, v22 , v23 
ν1  col v11, v12 , v13 
to kosinusy kierunkowe osi naprężeń głównych nr i
 i1
cos i1 
 i21   i22   i23
z
2
3 
3

32
3
1
x
2
3
2
1
3
21
1
1
3
2
y
1
2
1
 i2
cos  i 2 
 i21   i22   i23
 i3
cos i 3 
 i21   i22   i23
© Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology
2017-07-24 16:42:12
7
Trójosiowy stan naprężeń
z
Odkształcenie objętościowe
y
y
x
1
y  y
E
E – moduł Younga
dy
ydy
© Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology
2017-07-24 16:42:13
8
Trójosiowy stan naprężeń
Odkształcenia (deformacje) spowodowane naprężeniami stycznymi
zy
z
*
yz

Odkształcenia postaciowe
y
*
x
 zy
1 
1
 2  2
 zy   zy
E
G
*
E – moduł Younga
 – liczba Poissona
G – moduł Kirchhoffa
E
G
21  
© Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology
2017-07-24 16:42:13
9
Trójosiowy stan naprężeń
Wytężenie materiału
Wytężenie materiału – to miara osiągnięcia stanu niebezpiecznego, tzn.
pojawienie sią lokalnego odkształcenia trwałego (tzw. uplastycznienia) lub
pęknięcia (tzw. dekohezji materiału) w dowolnym punkcie ciała.
Wytężenie materiału (W) jest zależne od składowych stanu naprężenia oraz
własności mechanicznych:
W  1 , 2 , 3 , C 
 1 , 2 , 3 – naprężenia główne,
C – własności mechaniczne materiału, tzw. stałe materiałowe, np.:
Re – granica plastyczności na rozciąganie,
Rm – granica wytrzymałości na rozciąganie,
Rc – granica wytrzymałości na ściskanie,
Rs – granica wytrzymałości na ścinanie
© Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology
2017-07-24 16:42:13
10
Trójosiowy stan naprężeń
1
1
2
1
Elementarny stan naprężeń:
N
rozciąganie:  r   k r
A
ścinanie:
skręcanie:
zginanie:
2017-07-24 16:42:13
3
3
2
1
Złożony stan naprężeń:
Jak sumować ze sobą naprężenia będące
wynikiem obciążeń działających w różnych
płaszczyznach? Jak wyznaczyć naprężenia
zredukowane? Jak określić wartość naprężenia
przy którym nastąpi trwałe odkształcenie lub
zniszczenie elementu poddanego złożonemu
obciążeniu?
Jak
sformułować
warunek
wytrzymałości?
T
 sr   kt
A
Ms
 max 
 ks
Wo
ODPOWIEDŹ DAJĄ
HIPOTEZY WYTĘŻENIOWE
Mg
g 
 kg
W©z Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology
11
Trójosiowy stan naprężeń
Naprężenie redukowane (zastępcze)
 red
– wywołuje w jednoosiowym stanie naprężenia (np. w pręcie rozciąganym lub
ściskanym), takie samo wytężenie, jak reprezentowany przez nie przypadek
złożonego stanu naprężenia
 red  F  1 ,  2 ,  3 , C 
 red  f  x ,  y ,  z , xy , zx , yz , C 
Przy założeniu, że granica plastyczności oraz wytrzymałości na rozciąganie i
ściskanie są sobie odpowiednio równe ( Re   Re
i
Rm   Rm ) , to:
c
r
c
r
•Warunek początku plastyczności ma postać:
 red  Re
© Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology
2017-07-24 16:42:13
12
Trójosiowy stan naprężeń
•Warunek zniszczenia (inicjacji pęknięcia) ma postać:
 red  Rm
Problem sprowadza się do znalezienia właściwej miary wytężenia, tzn. funkcji
W  1 , 2 , 3 , C 
lub
W  x ,  y ,  z , xy , zx , yz , C 
Nie istnieje jedna jednoznacznie uzasadniona fizycznie miara wytężenia.
Dlatego powstało wiele hipotez wytężeniowych, z których każda zakłada inną
miarę wytężenia. Wśród wielu hipotez wytężeniowych można wyróżnić:
•Hipotezę maksymalnych naprężeń stycznych
•Hipotezę energii właściwej odkształcenia postaciowego
•Hipotezę największych naprężeń normalnych
•Hipotezę największego wydłużenia względnego
Obecnie największe znaczenie praktyczne mają dwie pierwsze hipotezy.
© Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology
2017-07-24 16:42:13
13
Trójosiowy stan naprężeń
Hipoteza 1:
o pojawieniu się w materiale sprężysto-plastycznym
odkształceń trwałych decydują maksymalne naprężenia styczne –
hipoteza max Coulomba
Hipoteza 2:
o pojawieniu się w materiale sprężysto-plastycznym
odkształceń trwałych decyduje energia właściwa
odkształcenia postaciowego – hipoteza Hubera
Maksymilian Tytus Huber (1904 r.)
polski uczony, profesor Politechniki Lwowskiej
oraz Politechniki Gdańskiej (1945-1950)
R. von Misses (1913 r.) – Niemcy
H. Hencky (1924 r.) – Wielka Brytania
(1872-1950)
© Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology
2017-07-24 16:42:13
14
Trójosiowy stan naprężeń
Hipoteza maksymalnych naprężeń stycznych
Hipoteza maksymalnych naprężeń stycznych – sformułowana przez
Coulomba i rozwinęta przez Tresca i Guesta, dotyczy granicy sprężystości i
granicy wytrzymałości. Zakłada ona, że miarą wytężenia jest największe
naprężenie styczne.
Największe naprężenie styczne w dowolnym stanie naprężeń wynosi:
 max 
 max   min
2
W prostym rozciąganiu maksymalne naprężenie styczne wynosi:
 max ' 
 red
2
© Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology
2017-07-24 16:42:14
15
Trójosiowy stan naprężeń
Dla równych naprężeń stycznych wytężenia w obydwu stanach naprężeń są
równe  max   max ' , stąd naprężenie redukowane wyraża postać:
 red   max   min
Warunek aby w danym stanie naprężeń nie wystąpiły odkształcenia trwałe
(plastyczne) ma postać:
 red   max   min  Re
Warunek zachowania wytrzymałości materiału wyraża postać:
 red   max   min  Rm
© Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology
2017-07-24 16:42:14
16
Trójosiowy stan naprężeń
Powierzchnię graniczną wytrzymałości materiału w układzie
przy założeniu Rc   Rm
1, 2 , 3 ,
wyznacza układ sześciu nierówności (równań):
 Rm   1   2  Rm

 Rm   2   3  Rm
 R      R
 m
3
1
m
Powierzchnię graniczną
do osi  1 ,  2 ,  3 .
stanowią
Dla płaskiego stanu naprężeń
ściany
graniastosłupa
nachylone
 1  0,  2  0,  3  0,
układ nierówności (równań) na powierzchnię graniczną ma postać:
© Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology
2017-07-24 16:42:14
17
Trójosiowy stan naprężeń
 Rm   1   2  Rm

 Rm   2  Rm
 R    R
 m
1
m
W układzie płaskim  1 ,  2 ,
otrzymuje się sześć równań, opisujących proste, które wyznaczają kontur
graniczny w postaci sześcioboku:
 1   2  Rm
     R
2
m
 1
 2  Rm

 2   Rm
  1  Rm

  1   Rm
a 
b 
c 
d 
e 
f 
© Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology
2017-07-24 16:42:14
18
Trójosiowy stan naprężeń
2
Rm
c
b
e
f
a
Rm
1
d
Jeżeli płaski stan naprężenia jest określony przez składowe
to naprężenia główne wyznacza wzór:
 1, 2
1
1
  x   y  
2
2

  y   4 xy
2
x
 x ,  y , xy ,
2
© Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology
2017-07-24 16:42:14
19
Trójosiowy stan naprężeń
1
1
 x   y 2  4 xy 2
 1, 2   x   y  
2
2
1) Jeżeli znaki naprężeń głównych
1
i
2
 1 2  0.
 x ,  y , xy ,
są różne, to
Przypadek ten zaistnieje, gdy składowe naprężenia
spełnią warunek:

Wówczas
  y   4 xy   x   y
2
x
 x y   xy 2

2
 1   max , 2   min , a naprężenie redukowane określa wzór:
 red 

x
 y

2
 4 xy
2
© Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology
2017-07-24 16:42:14
20
Trójosiowy stan naprężeń
1
2) Jeżeli znaki naprężeń głównych
2
 1 2  0, a  x y   xy ,
2
i
są jednakowe, to
 1   max ,  min  0
• ponadto gdy  x   y  0 , to
wówczas naprężenie redukowane dane jest wzorem:
 red
1
1
  x   y  
2
2

  y   4 xy
2
x
2
• a gdy  x   y  0
, to  max  0 ,  min   2
wówczas wzór na naprężenie redukowane ma postać:
 red
1
1
   x   y  
2
2

  y   4 xy
2
x
2
© Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology
2017-07-24 16:42:15
21
Trójosiowy stan naprężeń
Dla prostego ścinania
 x  0,  y  0, xy  
a wzór na naprężenia redukowane:
 red  2
Stąd:
 max
1
 Rm
2
Hipoteza maksymalnych naprężeń stycznych opiera się na założeniu, że
Rc   Rm
i można ją stosować tylko do materiałów spełniających ten warunek. Badania
doświadczalne przeprowadzone dla materiałów plastycznych, szczególnie dla
płaskich stanów naprężeń, potwierdzają słuszność tej hipotezy. Dla
równomiernego trójosiowego rozciągania
(1=2=3) według tej hipotezy materiał powinien wykazywać nieograniczoną
wytrzymałość, ponieważ red=1–2(3)=0, co jest praktycznie mało
prawdopodobne.
© Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology
2017-07-24 16:42:15
22
Trójosiowy stan naprężeń
Równoważne stany naprężeń według hipotezy
maksymalnych naprężeń stycznych:
1=1,5 Re
1=Re
3 = 1/3 1
2
1=Re
3
2 = 2/3 1
1=1,5 Re
© Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology
2017-07-24 16:42:15
23
Trójosiowy stan naprężeń
Hipoteza energii właściwej odkształcenia postaciowego
Hipoteza energii właściwej odkształcenia postaciowego – sformułowana
przez Hubera, Misesa, Hencky’ego zakłada, że miarą wytężenia jest
energia właściwa odkształcenia postaciowego.
Energię właściwą odkształcenia
naprężenia określa zależność:
postaciowego

ogólnym
w

stanie
1 
 x   y 2   y   z 2   z   x 2  6  xy 2   yz 2   xz 2
f 
6E
Dla jednoosiowego stanu naprężenia
 xy   yz   xz  0 

x

  red ,  y   z  0,
energię tą opisuje wyrażenie:
© Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology
2017-07-24 16:42:15
24
Trójosiowy stan naprężeń
1 
2
 f '
2 red
6E
Jeżeli wytężenia są sobie równe, to
 f '  f
a wzór na naprężenie redukowane ma postać:
 red 
2
2

2
x

  y    y   z    z   x   6  xy   yz   xz
2
Dla płaskiego stanu naprężeń
 xy  0, yz  0, xz  0,
2
2
2
2

 x  0,  y  0,  z  0,
naprężenie redukowane:
 red   x 2   y 2   x y  3 xy 2
© Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology
2017-07-24 16:42:15
25
Trójosiowy stan naprężeń
Dla często spotykanego w budowie maszyn stanu naprężeń
 x    0,  y  0,  z  0,  xy    0,  yz  0,  xz  0,
naprężenie redukowane określa wyrażenie:
 red   2  3 2
a dla prostego ścinania:
 red  3
stąd wniosek:
 max
3

Rm
3
© Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology
2017-07-24 16:42:15
26
Trójosiowy stan naprężeń
Równoważne stany naprężeń według hipotezy energii
właściwej odkształcenia postaciowego:
red=Re
2
red=Re
3
1=1,73 Re
3 = 1/3 1
2 = 2/3 1
1=1,73 Re
Hipotezę energii właściwej odkształcenia postaciowego może mieć
zastosowanie zarówno do stanów sprężystych jak i do stanów
posprężystych. Doświadczalnie potwierdzono słuszność tej hipotezy dla
stali węglowej, zarówno w przypadku obciążeń stałych jak i zmiennych.
© Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology
2017-07-24 16:42:15
27
Trójosiowy stan naprężeń
Kryterium wytrzymałości
Do oceny wytężenia ciała stosuje się zasadę najsłabszego ogniwa. Tym
samym o wytężeniu ciała decyduje ten jego punkt, w którym naprężenie
redukowane jest największe. Kryterium wytrzymałości w przypadku
ogólnym można zapisać tak jak dla pręta rozciąganego:
 red   dop
gdzie: naprężenie dopuszczalne
 dop dla:
- warunku początku plastyczności:
 dop
- warunku zniszczenia:
 dop
Re

n
Rm

n
n – współczynnik bezpieczeństwa.
© Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology
2017-07-24 16:42:15
28
Trójosiowy stan naprężeń
Współczynnik bezpieczeństwa n można oszacować za pomocą wzoru:
n  n1n2 n3 n4
gdzie:
n1 – współczynnik pewności założeń,
n2 – współczynnik ważności przedmiotu,
n3 – współczynnik jednorodności materiału,
n4 – współczynnik zachowania wymiarów.
Cząstkowe współczynniki bezpieczeństwa dotyczące elementów stalowych
zamieszczono w tabeli.
© Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology
2017-07-24 16:42:16
29
Trójosiowy stan naprężeń
Współczynnik
Wartość
1,1
n1
1,2 – 1,4
1,5 – 2,0
1,0 – 1,1
n2
1,1 – 1,2
1,3 – 1,5
1,0 – 1,1
1,1
1,2
n3
1,3
1,4 – 1,7
1,0 – 1,05
1,05 – 1,1
n4
1,1 – 1,5
1,2
Zastosowanie
wykonane badania materiału, ścisłe metody
obliczeń
znany gatunek materiału, zwykłe metody
obliczeń
obciążenia udarowe
zniszczenie
elementu
spowoduje
zatrzymanie maszyny
zniszczenie
elementu
spowoduje
uszkodzenie maszyny
zniszczenie elementu może spowodować
wypadek
ścisła kontrola rentgenograficzna lub
ultradzwiękowa
materiały kute, walcowane, ciągnione
odlewy ciśnieniowe, odśrodkowe
odlewy kokilowe,
spoiny wykonane
automatycznie
lub
przez
spawaczy
I kategorii
odlewy piaskowe, części hartowane, spoiny
o właściwym wyglądzie
ścisła kontrola każdego przedmiotu
normalna kontrola wyrywkowa po obróbce
skrawaniem
pręty, profile walcowane, blachy, dokładne
odlewy, elementy toczne
konstrukcje spawane, odlewy, odkuwki
Dla staliwa, stopów lekkich i metali kolorowych wartość współczynnika n należy zwiększyć o
40 %, a dla żeliwa o 100%.
© Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology
2017-07-24 16:42:16
30
Dziękuję za uwagę !!!
© Copyright: M. K. Gerigk, Gdańsk University of Technology
2017-07-24 16:42:16
31