funkcja Brillouina B J

Fizyka
ELEKTRYCZNOŚĆ I MAGNETYZM
Wykład V
Pole magnetyczne w materii
Prowadzący: Krzysztof Kucab
Rzeszów, I 2010r.
Plan wykładu
Pole magnetyczne w materii
–
–
–
–
–
magnetyczne własności materii;
diamagnetyzm;
paramagnetyzm;
ferromagnetyzm;
obwody magnetyczne (wzory Hopkinsona, siła
nośna elektromagnesu).
Magnetyczne własności materii
Wszystkie substancje możemy podzielić na trzy
główne kategorie:
diamagnetyki
paramagnetyki
ferromagnetyki
Magnetyczne własności materii
Fakt doświadczalny
W przypadku silnego niejednorodnego pola
magnetycznego możemy zaobserwować, że:
• diamagnetyki są wypychane w obszar słabszego
pola;
• paramagnetyki są wciągane w obszar silniejszego
pola;
• ferromagnetyki są wciągane w obszar silniejszego
pola, z tym że efekt ten jest o kilka rzędów
wielkości silniejszy niż w przypadku
paramagnetyków.
Diamagnetyzm
Diamagnetyzm odkrył Michael Faraday w 1845r.
Rozważania dotyczące diamagnetyzmu będą oparte na
modelu Bohra atomu (modelu półklasycznym), ale
otrzymane wyniki będą zgodne z wynikami opartymi na
obliczeniach kwantowomechanicznych.
Diamagnetyzm
Michael Faraday (1791-1867)
Źródło – Wikipedia
Diamagnetyzm
Dokonując analizy ruchu elektronu wokół jądra
skorzystamy z postulatów Bohra budowy atomu oraz
z zasad dynamiki Newtona.
v
Fd
r
+Z|e|
„orbita”
elektronu
jądro
atomowe
e
elektron
Diamagnetyzm
Rolę siły dośrodkowej Fd pełni siła kulombowska FE.
Mamy więc:
• pod nieobecność pola magnetycznego:
Ze2
2
 mw0 r
2
4 0 r
• w obecności pola magnetycznego B (zgodnego z w):
Ze
2
4 0 r
 eBwr  mw r
2
2
Diamagnetyzm
Możemy otrzymać:
• pod nieobecność pola magnetycznego:
2
Ze
w0 
3
4 0 mr
• w obecności pola magnetycznego B:
eB
eB 

2
w
 w0  

2m
 2m 
2
Diamagnetyzm
Wprowadzając częstość cyklotronową w postaci:
eB
wc 
m
otrzymamy zależność na częstość elektronów
w obecności pola magnetycznego B:
w
wc
2
 w 
2
0
w
2
c
4
Diamagnetyzm
Dla relatywnie słabych pól B (B~1000T !!!): możemy
z dobrym przybliżeniem napisać:
w  wc  wL
gdzie:
wc
eB
wL  
2 2m
jest tzw. częstością Larmora.
Diamagnetyzm
W przypadku ogólnym (ale dla B || ω ) mamy:
e
ωL 
B
2m
Dodatkowy moment pędu uzyskany przez elektron
wynosi:
2
L  mω L r
a indukowany moment magnetyczny elektronu:
p m ind
e2 2

rB
4m
Diamagnetyzm
W przypadku ogólnym mamy:
M  pml  B  ωL  L
gdzie M jest momentem siły wywieranym na
orbitalny moment magnetyczny pml przez pole B.
Tak więc prędkość kątowa precesji L wokół kierunku
B wynosi wL.
Jest to tzw. precesja Larmora.
Diamagnetyzm
Wprowadzając wektor namagnesowania M,
zdefiniowany jako całkowity moment magnetyczny
jednostki objętości:
1
M
 p m  nZ  p m 
 V V
możemy otrzymać:
2
nZe
2
M
r B
6m
n – liczba atomów w jednostce objętości
Z – liczba elektronów w atomie
pm – moment magnetyczny.
Diamagnetyzm
UWAGA
M  H
gdzie  to tzw. podatność magnetyczna.
Paramagnetyzm
W przypadku paramagnetycznym możemy otrzymać
(przeprowadzając rozważania klasyczne):
Ze2
 pm2

2
M  n

 r  B
 3k BT 6m

Paramagnetyzm
Przypadki szczególne:
1) ignorujemy warunek kwantowania momentu
magnetycznego (może on „wskazywać” na
dowolny kierunek):
 mz 
m
1
 L y   ctghy 
y
y
mB
k BT
gdzie mz to moment magnetyczny w kierunku osi z,
zaś L to tzw. funkcja Langevina.
Paramagnetyzm
Definiując magnetyzację nasycenia MS jako
maksymalną magnetyzację, gdy wszystkie momenty
magnetyczne są ułożone zgodnie, możemy napisać:
M n  mz 
mB k BT

 ctgh

MS
nm
k BT mB
W przypadku y<<1 mamy:
M
mB

M S 3k BT
Paramagnetyzm
2) zakładamy, że całkowity moment magnetyczny
ma wartość ½.
Otrzymamy wtedy:
M
mB B
 tgh
MS
k BT
W przypadku y<<1 mamy:
M mB B

M S k BT
Paramagnetyzm
3) Całkowity moment magnetyczny ma wartość J.
Otrzymamy wtedy:
M
 BJ  y 
MS
g J m B JB
y
k BT
gdzie funkcja Brillouina BJ wyraża się wzorem:
2J  1
2J  1  1
y 


BJ  y  
ctgh 
y   ctgh  
2J
 2J
 2J
 2J 
Paramagnetyzm
Czynnik g Landégo (gJ) wyraża się wzorem:
3 S S  1  L L  1
gJ  
2
2 J  J  1
gdzie całkowity moment pędu J wyrażony jest jako
suma momentu orbitalnego L oraz spinowego S:
J  LS
Paramagnetyzm
Podatność magnetyczną paramagnetyków opisuje
prawo Curie: (dla słabych pól: y<<1)
C

T
gdzie:
nm0 m
C
3k B
2
eff
meff  g J m B J  J  1.
Ferromagnetyzm
Materiały ferromagnetyczne charakteryzują się
nieliniową zależnością B(H):
Paramagnetyzm
Materiały ferromagnetyczne dzielimy na:
- twarde (do budowy magnesów trwałych);
- miękkie (do budowy rdzeni silników i transformatorów)
Ferromagnetyzm
Możemy otrzymać związek:
M
 BJ  y 
MS
g J m B J  B  lM 
y
k BT
gdzie BJ jest funkcją Brillouina zaś l jest tzw. stałą
Weissa.
Ferromagnetyzm
Podatność magnetyczna ferromagnetyków
wyrażona jest prawem Curie-Weissa (dla słabych pól
magnetycznych):
1

T  TC
gdzie TC to tzw. ferromagnetyczna temperatura
Curie.
Jest to temp., powyżej której materiał
ferromagnetyczny traci swe własności i staje się
paramagnetykiem.
Obwody magnetyczne
Obwód magnetyczny to zamknięty obszar
przestrzenny, w którym przebiega strumień
magnetyczny.
Pole magnetyczne w każdym punkcie obwodu jest
scharakteryzowane dwiema wielkościami:
indukcją magnetyczną B oraz
natężeniem pola magnetycznego H.
B  mH
Obwody magnetyczne
Przykładowe obwody magnetyczne
Obwody magnetyczne
Przepływem nazywamy iloczyn natężenia prądu
elektrycznego przepływającego przez cewkę oraz
liczby jej zwojów:
  NI
Obwody magnetyczne
Napięciem magnetycznym nazywamy iloczyn
natężenia pola magnetycznego Hi oraz długości
odcinka li obwodu magnetycznego, wzdłuż którego
natężenie pola oraz przenikalność magnetyczna mi
pozostają stałe:
U m  H i li
Siła magnetomotoryczna jest źródłem strumienia
magnetycznego. Liczbowo jest równa sumie napięć
magnetycznych dla obwodu zamkniętego:
n
Fm   H i li  
i 1
Obwody magnetyczne
Reluktancję (opór magnetyczny) elementu obwodu
magnetycznego liczymy jako stosunek długości
elementu obwodu do iloczynu przenikalności
magnetycznej i pola powierzchni przekroju
poprzecznego tego elementu:
l
Rm 
mS
Reluktancja materiałów ferromagnetycznych jest
nieliniowa
Obwody magnetyczne
Prawo przepływu
Suma iloczynów natężenia pola magnetycznego Hi
i elementów drogi zamkniętej li jest równa
przepływowi :
n
   H i li
i 1
lub w postaci równoważnej:
W obwodzie zamkniętym siła magnetomotoryczna
jest równa przepływowi.
Obwody magnetyczne
Prawo Ohma
dla obwodu magnetycznego
Strumień magnetyczny jest równy
ilorazowi siły magnetomotorycznej
przez sumę reluktancji elementów obwodu:
n

 H i li
i 1
n
 Rmi
i 1
Obwody magnetyczne
I prawo Kirchhoffa
dla obwodu magnetycznego
Algebraiczna suma strumieni magnetycznych
w węźle obwodu magnetycznego jest równa zeru:
n
 i  0
i 1
Obwody magnetyczne
II prawo Kirchhoffa
dla obwodu magnetycznego
Dla oczka obwodu magnetycznego suma napięć
magnetycznych jest równa przepływowi:
n
  i Rmi  
i 1
Obwody magnetyczne
Siła nośna elektromagnesu
Można wykazać (ćwiczenia), że siła nośna
elektromagnesu wyraża się wzorem:
2
BS
F
2 m0