Wstep do astrofizyki I

Wst˛ep do astrofizyki I
Wykład 2
Tomasz Kwiatkowski
Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu
Wydział Fizyki
Instytut Obserwatorium Astronomiczne
Tomasz Kwiatkowski, shortinst
Wst˛ep do astrofizyki I, Wykład 2
1/20
Plan wykładu
Promieniowanie ciała doskonale czarnego
Zwiazek
˛
temperatury ciała z barwa˛
Prawo przesuni˛eć Wiena
Prawo Stefana-Boltzmanna
Słońce jako ciało doskonale czarne
Równanie Plancka
Kat
˛ bryłowy
Monochromatyczna moc promieniowania
Monochromatyczny strumień promieniowania
Jasności widome gwiazd
Jasność bolometryczna
Wykres kolor-kolor
Tomasz Kwiatkowski, shortinst
Wst˛ep do astrofizyki I, Wykład 2
2/20
Par˛e słów o pomieszaniu poj˛eć
Ze wzgl˛edów historycznych w różnych naukach badajacych
˛
światło (fizyka, astronomia, meteorologia) pod nazwa˛ strumień
promieniowania rozumie si˛e co innego
Dla fizyka
to moc promieniowania, przechodzacego
˛
przez dana˛
powierzchni˛e, wyrażana w [W]
Dla astronoma
to moc promieniowania przechodzacego
˛
przez powierzchni˛e,
podzielona przez pole tej powierzchni [W/m2 ]
Dla zatwardziałego astrofizyka-teoretyka
to moc promieniowania przechodzacego
˛
przez powierzchni˛e,
podzielona przez pole tej powierzchni i dodatkowo podzielona
przez π [W/m2 ]
My b˛edziemy stosować wersj˛e druga˛
Tomasz Kwiatkowski, shortinst
Wst˛ep do astrofizyki I, Wykład 2
3/20
Zwiazek
˛
temperatury ciała z barwa˛
Betelgeza (Te = 3400 K), Rigel (Te = 10100 K)
Tomasz Kwiatkowski, shortinst
Wst˛ep do astrofizyki I, Wykład 2
4/20
Ciało doskonale czarne
Ciało doskonale czarne (CDC) pochłania cała˛ energi˛e świetlna,˛
która na nie pada i wypromieniowuje ja˛ w widmie ciagłym
˛
Planety i gwiazdy w pierwszym przybliżeniu sa˛ CDC
Rozkład energii w widmie CDC
Rozkład ciagły
˛ (bez przerw)
Wyst˛epuje maksimum na
λmax
Im wyższa temperatura T,
tym mniejsza λmax
Im wyższa T, tym wi˛ecej
energii emitowane na
wszystkich λ (pole pod
krzywa)
˛
Tomasz Kwiatkowski, shortinst
Wst˛ep do astrofizyki I, Wykład 2
5/20
Prawo przesuni˛eć Wiena
Prawo przesuni˛eć Wiena (obowiazuje
˛
dla CDC):
λmax T = 0.0029 m K
Betelgeza: temp. powierzchni T = 3400 K, maksimum energii
emituje na fali
λmax =
0.0029 m K
= 8.53 × 10−7 m = 8530 Å
3400 K
Rigel: temp. powierzchni T = 10100 K, maksimum energii
emituje na fali
λmax =
Tomasz Kwiatkowski, shortinst
0.0029 m K
= 2.87 × 10−7 m = 2870 Å
10100 K
Wst˛ep do astrofizyki I, Wykład 2
6/20
Prawo Stefana-Boltzmanna (Stefan to nazwisko!)
Josef Stefan i Ludwig Boltzmann stwierdzili, że CDC o
powierzchni A i temperaturze T wypromieniowuje moc L równa:
˛
L = AσT 4 ,
gdzie: σ = 5.67 × 10−8 W m−2 K−4
Pole powierzchni sferycznej gwiazdy o promieniu R, A = 4πR2 i
prawo Stefana-Boltzmanna przyjmuje postać:
L = 4πR2 σT 4 .
(1)
Temperatura wyst˛epujaca
˛ w równaniu (1) nazywa si˛e
temperatura˛ efektywna˛ Te powierzchni gwiazdy
Strumień promieniowania na powierzchni gwiazdy F = L/4πR2 ,
stad:
˛
F = σTe4
(2)
Tomasz Kwiatkowski, shortinst
Wst˛ep do astrofizyki I, Wykład 2
7/20
Słońce jako ciało doskonale czarne
Moc promieniowania Słońca L = 3.826 × 1026 W
Promień Słońca R = 6.960 × 108 m
Temperatura efektywna fotosfery:
!1/4
L
= 5770 K
Te =
4πR2 σ
Z prawa Wiena, maks. energii Słońce wypromieniowuje na fali:
λmax =
0.0029 m K
= 5.03 × 10−7 m = 5030 Å
5770 K
Zaokraglaj
˛ ac:
˛ 5770 ≈ 5800, 5030 ≈ 5000 mamy:
λmax T = (5000 Å)(5800 K)
Tomasz Kwiatkowski, shortinst
Wst˛ep do astrofizyki I, Wykład 2
8/20
Porównanie widma Słońca i ciała doskonale czarnego
Tomasz Kwiatkowski, shortinst
Wst˛ep do astrofizyki I, Wykład 2
9/20
Promieniowanie termiczne
Zero bezwzgl˛edne to temp. T = 0 K = −273◦ C
Wszystkie ciała o temp. powyżej zera bezwzgl˛ednego „świeca”
˛
Człowiek o temp. 36◦ C świeci w dalekiej podczerwieni
(λmax ≈ 10 µm); w zakresie widzialnym jest widoczny, gdyż
odbija światło; podobnie planety
Chłodny gaz w kosmosie świeci w zakresie mikrofalowym i
radiowym
Bardzo goracy
˛ gaz świeci w zakresie UV, X i γ
Tomasz Kwiatkowski, shortinst
Wst˛ep do astrofizyki I, Wykład 2
10/20
Równanie Plancka
Max Planck podał empiryczny wzór, opisujacy
˛ widmo CDC:
a/λ5
Bλ (T) = b/λT
,
e
−1
(3)
gdzie Bλ to moc wypromieniowywana w temp. T z jednostki
powierzchni na fali λ, a a, b to stałe
By wyznaczyć stałe, Planck założył, że światło składa si˛e ze
skończonej ilości fotonów o energii hν lub hc/λ, gdzie c jest
pr˛edkościa˛ światła w próżni
Przy tym założeniu równanie (3) przybiera postać:
2hc2 /λ5
Bλ (T) = hc/λkT
,
e
−1
(4)
gdzie k = 1.380 × 10−23 J K−1 to stała˛ Boltzmanna, a
h = 6.625 × 10−34 J s to stała Plancka
Tomasz Kwiatkowski, shortinst
Wst˛ep do astrofizyki I, Wykład 2
11/20
Kat
˛ bryłowy
Kat
˛ bryłowy: Ω = A/r2 , jednostka˛ jest steradian [sr]
dΩ = dA/r2
Tomasz Kwiatkowski, shortinst
Wst˛ep do astrofizyki I, Wykład 2
12/20
W układzie współrz˛ednych sferycznych φ, θ mamy:
dΩ = sin θdθdφ
Tomasz Kwiatkowski, shortinst
Wst˛ep do astrofizyki I, Wykład 2
13/20
Ilość energii na jednostk˛e czasu dL, wypromieniowywana przez
CDC prostopadle z powierzchni dA na falach od λ do dλ w kat
˛
bryłowy dΩ wynosi:
Bλ dλdAdΩ
(5)
Jeśli kierunek świecenia jest nachylony o θ do normalnej do
powierzchni dA, wówczas:
Bλ dλdA cos θdΩ,
(6)
dΩ = sin θdθdφ,
(7)
Bλ dλdA cos θ sin θdθdφ,
(8)
jednak
wi˛ec
Tomasz Kwiatkowski, shortinst
Wst˛ep do astrofizyki I, Wykład 2
14/20
Monochromatyczna moc promieniowania Lλ
Monochromatyczna moc promieniowania to ilość energii,
wypromieniowywana w ciagu
˛ sekundy na fali od λ do λ + dλ
Sferyczna gwiazda o promieniu R i temp. powierzchni T wysyła
w jednostce czasu na fali λ energi˛e:
Z
2π
Z
π/2 Z
Lλ dλ =
Bλ dλdA cos θ sin θdθdφ.
φ=0
θ=0
(9)
A
Całka po sferze daje w wyniku π, całka po powierzchni daje
powierzchnie kuli A = 4πR2 , zatem:
Lλ dλ = 4π 2 R2 Bλ dλ
Tomasz Kwiatkowski, shortinst
(10)
Wst˛ep do astrofizyki I, Wykład 2
15/20
Monochromatyczny strumień promieniowania Fλ
Monochromatyczny strumień promieniowania gwiazdy Fλ ,
mierzony w odległości r od gwiazdy, wynosi:
2
Lλ
R
Fλ =
=
π
B
,
λ
4π r2
r
a po podstawieniu wzoru Plancka za Bλ :
2π h c2 /λ5 R 2
Fλ = hc/λkT
e
−1 r
(11)
Fλ dλ to ilość energii na falach od λ do λ + dλ, która pada w
ciagu
˛ sekundy na metr kwadratowy powierzchni, znajdujacej
˛ si˛e
w odległości r od gwiazdy
Na drodze od gwiazdy do obserwatora cz˛eść światła ulega
pochłoni˛eciu lub rozproszeniu w materii mi˛edzygwiazdowej
(ekstynkcja mi˛edzygwiazdowa) oraz w atmosferze ziemskiej
(ekstynkcja atmosferyczna).
Tomasz Kwiatkowski, shortinst
Wst˛ep do astrofizyki I, Wykład 2
16/20
Jasność bolometryczna
Jasność bolometryczna to jasność w magnitudo, mierzona w
całym zakresie długości fali (od λ = 0 do λ = ∞)
Można stosować bolometryczna˛ jasność widoma,˛ mbol i
bolometryczna˛ jasność absolutna˛ Mbol
W praktyce pomiarów dokonuje si˛e w filtrach, np U, B, V
(wykres pokazuje funkcje czułości f (λ) dla filtrów)
Różnica mi˛edzy jasnościa˛
bolometryczna gwiazdy mbol i jej
jasnościa˛ widoma˛ w filtrze V to
poprawka bolometryczna BC:
BC = mbol − V
Tomasz Kwiatkowski, shortinst
(12)
Wst˛ep do astrofizyki I, Wykład 2
17/20
Jasność widoma a strumień
Zwiazek
˛
mi˛edzy jasnościa˛ widoma˛ i strumieniem:
Z ∞
V = −2.5 log
Fλ SV (λ) dλ + CV ,
(13)
0
gdzie SV(λ) to funkcja czułości filtra V, a CV to pewna stała
Podobne równania można napisać dla jasności widomych B i U
Stałe CU , CB , CV dobiera si˛e tak, by gwiazda Vega miała jasność
widoma˛ w filtrach U, B, V równa˛ zeru
Dzi˛eki temu mierzone jasności widome odpowiadaja˛ w
przybliżeniu jasnościom historycznym z katalogu Hipparcha
Tomasz Kwiatkowski, shortinst
Wst˛ep do astrofizyki I, Wykład 2
18/20
Wskaźnik barwy
Jeśli U, B, V to jasności widome gwiazd w filtrach U,B,V, to jej
wskaźniki barwy sa˛ równe: U − B i B − V
Wskaźnik barwy B − V można wyliczyć z wzoru:
R
Fλ SB dλ
B − V = −2.5 log R
+ CB−V
Fλ SV dλ
(14)
gdzie: CB−V = CB − CV
W podobny sposób można otrzymać U − B
Wskaźnik barwy nie zależy od promienia gwiazdy, ani od jej
odległości od obserwatora, a tylko od temperatury gwiazdy
Tomasz Kwiatkowski, shortinst
Wst˛ep do astrofizyki I, Wykład 2
19/20
Wykres kolor-kolor
Wykres kolor-kolor pokazuje zwiazek
˛
mi˛edzy wskaźnikami
barwy U − B i B − V dla gwiazd
Gdyby gwiazdy zachowywały si˛e dokładnie jak CDC, wykres
byłby linia˛ prosta˛
Dla gwiazd ciagu
˛ głównego (ok. 90% wszystkich gwiazd),
wykres jest nierówna˛ krzywa˛
Tomasz Kwiatkowski, shortinst
Wst˛ep do astrofizyki I, Wykład 2
20/20