Wykłady z podstaw elektrotechniki i elektroniki

Metoda symboliczna analizy
obwodów prądu sinusoidalnego
Wykłady z podstaw
elektrotechniki i elektroniki
Paweł Jabłoński
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki
Co było do tej pory?
2
W zakresie prądów stałych:
 Poznaliśmy podstawy teorii obwodów liniowych
i nieliniowych prądu stałego.
W zakresie prądów sinusoidalnie zmiennych:
 Wprowadziliśmy pojęcia wartości skutecznej,
wskazu, impedancji, kąta fazowego.
 Znamy związki między wskazami prądu i
napięcia na elementach RLC.
 Umiemy rozwiązywać proste obwody.
 Brakuje nam: ogólnej metody rozwiązywania
obwodów prądu sinusoidalnego.
Na tym wykładzie
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki
Cel: Zapoznanie się z symboliczną metodą
analizy obwodów prądu sinusoidalnego.
Zakres:
 Liczby zespolone (przypomnienie),
 Fazory
 Prawa Ohma i Kirchhoffa w postaci zespolonej
 Impedancja zespolona, zespolona moc
pozorna
 Wybrane zagadnienia
3
Liczby zespolone (przypomnienie) 1
Liczby zespolone

Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki


Liczbą zespoloną nazywamy uporządkowaną parę liczb
rzeczywistych (a, b).
Liczby rzeczywiste a i b stanowią odpowiednio część
rzeczywistą oraz urojoną liczby zespolonej (a, b).
Liczbę zespoloną z = (a, b) zapisujemy zwykle w postaci
kanonicznej
z  a  jb
gdzie
4
j  1
jest jednostką urojoną (w matematyce stosujemy
symbol i, ale w elektrotechnice i oznacza prąd, dlatego
używamy wyjątkowo j).
Liczby zespolone
Działania arytmetyczne
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki
Działania arytmetyczne na liczbach zespolonych
wykonuje się tak samo, jak na liczbach rzeczywistych
z uwzględnieniem, że j2 = −1:
(a  j b)  (c  j d )  (a  c)  j(b  d )
(a  j b)  (c  j d )  (a  c)  j(b  d )
(a  j b)(c  j d )  (ac  bd )  j(bc  ad )
5
a  j b (a  j b)(c  j d ) (ac  bd )  j(bc  ad )


c  j d (c  j d )(c  j d )
c2  d 2
1
j
j
Liczby zespolone
Interpretacja geometryczna
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki



6
Część rzeczywistą liczby
zespolonej z oznaczamy Rez, zaś
część urojoną Imz.
Jeżeli w układzie współrzędnych
(x, y) będziemy na osi Ox odkładać
części rzeczywiste, zaś na osi Oy
– części urojone, to otrzymamy
tzw. płaszczyznę zespoloną.
Liczbę zespoloną (a, b) interpretuje
się geometrycznie jako punkt na
płaszczyźnie zespolonej.
Imz
b
a + jb
a
Rez
Liczby zespolone
Moduł liczby zespolonej
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki


Długość odcinka pomiędzy
punktem (a, b) a początkiem
układu współrzędnych nazywamy
modułem liczby zespolonej a + jb
i oznaczamy |a + jb|.
Z rysunku wynika, że
z  a  j b  a 2  b2
7
Imz
b
a + jb
a
Rez
Liczby zespolone
Argument liczby zespolonej
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki



Kąt α pomiędzy odcinkiem
łączącym punkt (a, b) z początkiem
układu współrzędnych a osią
rzeczywistą nazywamy
argumentem liczby zespolonej i
oznaczamy arg(a + jb).
Umownie argument przyjmuje
wartości z przedziału od −π do π.
Z rysunku otrzymujemy
a
cos α 
z
8
b
sin α 
z
Imz
b
tg α 
a
b
a + jb
α
a
Rez
Liczby zespolone
Zapis trygonometryczny i wykładniczy
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki

Z powyższego wynika, że liczbę
zespoloną z = a + jb można zapisać
w tzw. postaci trygonometrycznej
z  z (cos α  j sin α)

gdzie α = arg(a + jb).
Korzystając ze wzoru Eulera,
dostajemy postać wykładniczą
liczby zespolonej
z  ze
9
jα
Imz
b
a + jb
α
a
Rez
cos α  j sin α  e j α
Wzór Eulera
Liczby zespolone
Działania na liczbach zespolonych
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki

Dodawanie i odejmowanie liczb zespolonych
najwygodniej przeprowadza się, jeżeli zapiszemy je
w postaci kanonicznej:
z1  z2  (a  j b)  (c  j d )  (a  c)  j(b  d )
z1  z2  (a  j b)  (c  j d )  (a  c)  j(b  d )

Mnożenie i dzielenie liczb zespolonych najwygodniej
przeprowadza się, jeżeli zapiszemy je w postaci
wykładniczej:
z1 z2  z1 e j α1 z2 e j α2  z1 z2 e j(α1 α2 )
z1 e j α1
10
z1 j(α1 α2 )
z1


e
j α2
z2 z2 e
z2
Liczby zespolone
Operator obrotu
Imz
Liczbę zespoloną
zejψ
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki
e jψ
nazywamy operatorem obrotu o kąt ψ,
gdyż w wyniku mnożenia liczby |z|ejα przez
ejψ dostajemy liczbę niezmienionym
module lecz argumencie α + ψ, czyli
Imz
obróconą o kąt ψ.
jz
Wnioski: ponieważ j = ej90°, to
–
–
–
11
Liczba j jest operatorem obrotu o 90°, zaś
liczba –j jest operatorem obrotu o −90°.
Mnożenie przez j obraca liczbę o 90°,
Dzielenie przez j obraca liczbę o −90°.
z
ψ
α
Rez
z
α
Rez
−jz
Liczby zespolone
Sprzężenie zespolone
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki


Sprzężeniem zespolonym
nazywamy zmianę znaku części
urojonej.
Operację sprzężenia oznaczamy
gwiazdką:
Imz
α
α
( a  j b)  a  j b
( z e j α )  z e  j α

12
Liczby zespolone wzajemnie
sprzężone mają jednakowe części
rzeczywiste i moduły, ale ich części
urojone oraz argumenty są
przeciwnego znaku.
z
b
−b
a + jb
a
z*
Rez
a – jb
Liczby zespolone
Pomocne zależności

Następujące zależności okazują się bardzo przydatne
w operowaniu na liczbach zespolonych:
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki
( z  )  z
z  z   2 Re z
bo (a  jb)  (a  jb)  2a
z  z   2 j Im z
bo (a  jb)  (a  jb)  2 j b

zz  z
13
2
bo z e
jα
j  e j 90
1
  j  e  j 90
j
j z  z e j( α 90)
 j z  z e j( α 90)
ze
 jα
2 j0
 z e
 z
2
Fazory
2
Przebieg sinusoidalny a liczba zespolona

Każdemu przebiegowi sinusoidalnemu
o postaci
Am
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki
a(t )  2 A sin( ωt  ψ )



14
odpowiada wskaz, który może być
rozpatrywany jako odcinek łączący
początek układu współrzędnych z
pewnym punktem płaszczyzny.
Płaszczyznę tę możemy rozpatrywać
jako płaszczyznę zespoloną.
Każdemu punktowi na tej płaszczyźnie
odpowiada pewna liczba zespolona.
Wniosek: każdemu przebiegowi
sinusoidalnemu odpowiada pewna
liczba zespolona.
A
–ψ
ωt
a(t)
Im
A = Aejψ
A
ψ
Re
Fazory
Fazor

Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki

Tę liczbę zespoloną nazywa się
zespoloną wartością skuteczną
albo fazorem.
Fazor przebiegu
Am
A
–ψ
ωt
a(t)
a(t )  2 A sin( ωt  ψ )
ma postać
A  Ae


15
jψ
Wielkości zespolone podkreślamy.
Uwaga: Należy odróżniać A i A, gdyż A
to fazor przebiegu a(t), zaś A to wartość
skuteczna (moduł fazora), tzn. A = |A|.
Im
A = Aejψ
A
ψ
Re
Fazory
Przejście od fazora do wartości chwilowej

Mając fazor A, możemy otrzymać wartość
chwilową a(t) jako
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki
a(t )  Im[ 2 Ae j ωt ]

Wyprowadzenie:
a (t )  2 A sin( ωt  α ) 
 2 A Im[cos( ωt  α )  j sin( ωt  α )] 
 2 A Im[ e j( ωt  α ) ] 
 Im[ 2 
Ae j α e j ωt ]  Im[ 2 Ae j ωt ]
16
A
Fazory
Fazor pochodnej i całki
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki
Jeżeli przebieg sinusoidalny a(t) ma fazor A, to
pochodna czasowa tego przebiegu ma fazor
jωA, zaś całka z a(t) ma fazor A/jω.
Wyprowadzenie:
a(t )  2 A sin( ωt  ψ )

A  Ae jψ
d a(t )
 2 Aω cos(ωt  ψ )  2 Aω sin( ωt  ψ  90)
dt
 a(t ) dt  
17
2A
2A
cos(ωt  ψ ) 
sin( ωt  ψ  90)
ω
ω

j 90
Aωe j(ψ 90)  e
ω
Ae jψ  j ω A
j

A
A j(ψ 90)
A
 j 90 1
jψ
e
 e
Ae

 ω  j ω
ω
A
1
 j
j
Fazory
Wnioski
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki


Różniczkowanie i całkowanie w dziedzinie czasu
zostaje sprowadzone do mnożenia i dzielenia w
dziedzinie fazorów.
Równania różniczkowo-całkowe opisujące obwody
elektryczne stają się równaniami algebraicznymi w
dziedzinie fazorów, np.
L


18
di
1
 Ri   i dt  2U sin( ωt  α )
dt
C

L j ωI  R I 
1 I
 Ue j α
C jω
Zaleta: nie musimy rozwiązywać równań różniczkowocałkowych, a tylko algebraiczne!
Cena: obliczenia trzeba wykonywać na liczbach
zespolonych.
Fazory dla elementów obwodu
Uwagi ogólne
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki



19
Zakładamy, że wszystkie źródła napięciowe i
prądowe mają jednakową częstotliwość,
chociaż mogą mieć różne fazy.
Jednakowa częstotliwość oznacza, że ich
wskazy wirują z tą samą prędkością kątową,
zatem pozostają one względem siebie w
ustalonej pozycji.
Zakładamy też, że wszystkie elementy są
liniowe – tylko wtedy sinusoidalne napięcia
powodują przepływ sinusoidalnego prądu.
3
Fazory dla elementów obwodu
Źródło napięcia

Każdemu źródłu napięcia o przebiegu
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki
e(t )  E 2 sin( ωt  α )
e(t)
przyporządkowujemy fazor
E  Ee j α

20
Na schemacie elektrycznym źródło
zaznaczamy zazwyczaj tylko wartość
skuteczną, pamiętając, że źródło to ma
pewien kąt fazowy α.
E
E
Fazory dla elementów obwodu
Źródło prądu

Każdemu źródłu prądu o przebiegu
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki
j (t )  J 2 sin( ωt  β )
j(t)
przyporządkowujemy fazor
J  Je j β

21
Na schemacie elektrycznym źródło
zaznaczamy zazwyczaj tylko wartość
skuteczną, pamiętając, że źródło to ma
pewien kąt fazowy β.
J
J
Fazory dla elementów obwodu
Fazorowe prawo Ohma dla rezystora
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki

Niezależnie od kształtu przebiegu
czasowego prądu i napięcia, dla rezystora
liniowego zachodzi zależność
u  Ri

i
u
Jeżeli sinusoidalny prąd i(t) ma fazor I, zaś
sinusoidalne napięcie u(t) ma fazor U, to
I
U  RI

22
Na schemacie dla fazorów rezystor
zaznacza się tak samo, jak dla prądów
stałych.
R
R
U
I
R
U
Fazory dla elementów obwodu
Fazorowe prawo Ohma dla cewki
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki


Niezależnie od kształtu przebiegu
czasowego prądu i napięcia, dla cewki
liniowej zachodzi zależność
di
uL
dt
Jeżeli sinusoidalny prąd i(t) ma fazor I, zaś
sinusoidalne napięcie u(t) ma fazor U, to
U  j XL I

23


U  L(j ω I )  jω
LI 



X
L


Na schemacie dla fazorów cewkę zaznacza
się jako reaktancję XL.
i
L
u
I
jXL
U
I
XL
U
Fazory dla elementów obwodu
Fazorowe prawo Ohma dla kondensatora
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki


Niezależnie od kształtu przebiegu
czasowego prądu i napięcia, dla
kondensatora liniowego zachodzi zależność
1
u   i dt
C
Jeżeli sinusoidalny prąd i(t) ma fazor I, zaś
sinusoidalne napięcie u(t) ma fazor U, to
U   j XC I
24
Na schemacie dla fazorów kondensator
zaznacza się jako reaktancję XC.
C
u
I
1 I
1


U



j
I


C jω
ωC 


XC

i
–jXC
U
I
XC
U
Fazory dla elementów obwodu
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki
Elementy RLC – podsumowanie
R
L
R
j XL
U  RI
U
I
25
C
 j XC
1
ωC
X L  ωL
XC 
U  j XL I
U   j XC I
I
U
I
U
Prawa Kirchhoffa dla fazorów
4
Pierwsze prawo Kirchhoffa

Pierwsze prawo Kirchhoffa dla fazorów
przyjmuje postać
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki
 (I k )  0
k
tzn. sumujemy algebraicznie fazory prądów w
węźle z uwzględnieniem, czy prąd wpływa czy
wypływa.

26
Uwagi: Pamiętamy, że nie wolno dodawać
wartości skutecznych, lecz tylko wskazy. Ale
fazory, to nic innego, jak algebraiczne
oznaczenia wskazów. Dlatego dodawanie
algebraiczne fazorów jest równoważne
geometrycznemu dodawaniu wskazów.
I1
I5
I2
I4
I3
I1  I 2  I 3  I 4  I 5  0
Prawa Kirchhoffa dla fazorów
Wyprowadzenie

Pierwsze prawo Kirchhoffa dla wartości chwilowych:
(*)
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki

 (ik )  0
Wyrażamy wartości chwilowe przez fazory:
ik (t )  2 I k sin( ωt  αk )  2 I k Im[ e j(ωt αk ) ]  Im[ 2 I k e j αk e j ωt ]  Im[ 2 I k e j ωt ]

(**)

27
)]  0
Ik
Równania (*) i (**) są częściami urojonymi równania (***)
(***)

Im[  ( 2 I k e
j ωt
(
2 I k e j ωt )  0
Jeżeli równanie (***) jest spełnione, to spełnione jest i równanie (*),
zatem możemy rozpatrywać to ostanie. Po uproszczeniu
 (I k )  0
Prawa Kirchhoffa dla fazorów
Drugie prawo Kirchhoffa

Drugie prawo Kirchhoffa dla fazorów
przyjmuje postać
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki
 (U k , E k )  0
k
tzn. sumujemy algebraicznie fazory
napięć i sił elektromotorycznych w
oczku z uwzględnieniem, zgodności
zwrotów strzałek.
U2
U3
E1
U1
U4
E2

28
Wyprowadzenie tego równania jest
analogiczne jak w przypadku
pierwszego prawa Kirchhoffa dla
fazorów.
E1  U 2  U 3  U 4  E 2  U 1  0
Prawa Kirchhoffa dla fazorów
II prawo Kirchhoffa – c.d.
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki

Zapisując równanie wg
drugiego prawa Kirchhoffa,
korzystamy często od razu z ze
związków pomiędzy fazorami
prądu i napięcia na
poszczególnych elementach.
I2 X 2
R3
E1
I3
I1
R1
X4
I4
E2
E1  j X 2 I 2  R3 I 3  ( j X 4 I 3 )  E 2  R1 I 1  0
29
Prawa Kirchhoffa dla fazorów
Przykład
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki

Obliczyć prąd w obwodzie
i
e(t )  50 2 sin( ωt  45) V
R
rad
ω  10
s
R5 3Ω
6
e
L
C
L  9 μH
C  250 nF
30
Prawa Kirchhoffa dla fazorów
Przykład

Obliczamy potrzebne wielkości
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki
E  50e j 45 V
X L  ωL  106  9 10 6  9 Ω
i
e
1
1
103
XC 
 6

4Ω
9
ωC 10  250 10
250

Rysujemy schemat dla wartości
skutecznych (lub dla fazorów).
R
L
C
I
R
UR
E
UC
XC
31
UL
XL
Prawa Kirchhoffa dla fazorów
Przykład

Układamy równania (tutaj jest tylko jedno)
I
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki
E U R U L U C  0

UR
Wyznaczamy z niego fazor prądu
E
E  R I  j X L I  ( j X C I )  0
E
50e j45
50e j45
I


R  j( X L  X C ) 5 3  j(9  4) 5 3  j 5
5 3  j 5  (5 3 ) 2  52 e
5
jarctg
5 3
 10e j 30
50e j45
I
 5e j15 A
j 30
10e

32
Wartość chwilowa wynosi
R
i (t )  5 2 sin( ωt  15) A
UC
XC
UL
XL
Impedancja zespolona
5
Impedancja zespolona
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki

Impedancją (zespoloną) dwójnika pasywnego
nazywamy iloraz fazorów napięcia na jego
zaciskach i pobieranego przez niego prądu:
U
Z 
def I



33
Jednostką impedancji zespolonej jest om.
Impedancja jest liczbą zespoloną
charakteryzującą właściwości dwójnika dla prądu
sinusoidalnego.
Uwaga: Z nie jest fazorem, ale podkreślamy ten
symbol dla odróżnienia od Z = |Z|.
I
Dwójnik
pasywny
U
Impedancja zespolona
Moduł i kąt fazowy impedancji

W ogólności
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki
U  Ue jψu
czyli
I  Ie jψi
Dwójnik
pasywny
φ
j ψu
Ue
U
Z  jψ  e
I
Ie i


j(ψu ψi )
I
 Ze j φ
Z



34
Moduł impedancji Z = |Z| jest zatem ilorazem wartości
skutecznych napięcia i prądu dwójnika.
Kąt fazowy impedancji φ = argZ jest różnicą pomiędzy kątami
fazowymi napięcia i prądu, czyli jest kątem fazowym dwójnika.
Zespolona impedancja Z łączy obydwie wielkości Z i φ, które
dotychczas były rozpatrywane niezależnie.
U
Impedancja zespolona
Admitancja zespolona

Admitancją zespoloną nazywamy odwrotność
impedancji zespolonej:
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki
1
Y 
def Z

Zachodzą oczywiste związki
I
1
1  jφ
Y   j φ  e  Ye  j φ
U Ze
Z
35
Impedancja zespolona
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki
Elementy RLC – impedancja
R
L
R
j XL
U  RI
36
X L  ωL
U  j XL I
U   j XC I
Z  jXL
1
Y  G
R
Y
I
1
ωC
XC 
ZR
U
C
 j XC
1
  j BL
jXL
Z   j XC
Z
1
 j BC
 j XC
I
U
I
U
Impedancja zespolona
Prawo Ohma dla fazorów

Z określenia impedancji wynika prawo
Ohma dla fazorów
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki
U  ZI
U
I   YU
Z
37
Impedancja zespolona
Połączenie szeregowe
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki


Połączeniem szeregowym dwójników
nazywamy takie ich połączenie, w
którym przez wszystkie płynie jeden i
ten sam prąd.
Naszym celem jest wyznaczenie
impedancji zastępczej, tj. zastąpienie
grupy n szeregowo połączonych
dwójników o impedancjach Z1, Z2, …, Zn
za pomocą jednej tylko impedancji Z.
Z1
Z2
Zn
Z
38
Impedancja zespolona
Impedancja zastępcza p. szeregowego

A
Z prawa koła napięć
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki
U  U 1  U 2 U n

Z prawa Ohma dla i-tej impedancji mamy Ui = ZiI;
uwzględniwszy to w poprzednim wzorze
U
I
U1
Z1
U2
Z2
Un
Zn
U  Z1 I  Z 2 I  Z n I

Impedancja z definicji wynosi U/I, czyli
n
Z  Z1  Z 2  Z n   Z i
B
A
i 1

39
Impedancja zastępcza szeregowego połączenia
równa się sumie impedancji.
I
U
B
Z
Impedancja zespolona
Połączenie równoległe
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki


Połączeniem równoległym dwójników
nazywamy takie ich połączenie, w którym na
zaciskach wszystkich dwójników występuje
jedno i to samo napięcie.
Do zaznaczenia, że dwójniki o impedancjach Z1,
Z2, …, Zn połączone są równolegle stosujemy
czasem zapis
Z1
Z2
Zn
Z 1 || Z 2 ||  || Z n

40
Naszym celem jest wyznaczenie impedancji
zastępczej, tj. zastąpienie grupy n równolegle
połączonych dwójników o impedancjach Z1, Z2,
…, Zn za pomocą jednego tylko impedancji Z.
Z
Impedancja zespolona
Impedancja zastępcza p. równoległego

Z pierwszego prawa Kirchhoffa
A
I  I1  I 2  I n
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki

Z prawa Ohma dla i-tej impedancji mamy
Ii = U/Zi, stąd ostatni wzór przyjmuje postać
I
I1
U
In
I2
Z1
Z2
Zn
U U
U
I


Z1 Z 2
Zn

Impedancja z definicji wynosi U/I, czyli
n
1
1
1
1
1




Z Z1 Z 2
Z n i 1 Z i

41
Odwrotność impedancji zastępczej
równoległego połączenia dwójników równa
się sumie odwrotności ich impedancji.
B
A
I
U
B
Z
Impedancja zespolona
Połączenie równoległe dwóch impedancji
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki

W przypadku dwóch impedancji połączonych
równolegle
1
1
1


Z Z1 Z 2

Po przekształceniu
Z1Z 2
Z
Z1  Z 2
42
Z1
Z2
Impedancja zespolona
Redukcja impedancji
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki
Wniosek: Impedancję zastępczą dowolnego połączenia
dwójników wyznacza się za pomocą zależności
analogicznych do tych, które poznaliśmy przy redukcji
połączeń rezystorów.
43
Zatem:
 Cewkę przedstawiamy jako jXL, a kondensator jako –jXC,
 Dla połączenia szeregowego sumujemy impedancje,
 Dla połączenia równoległego sumujemy admitancje,
 Stosujemy ewentualnie wzory na zamianę trójkątgwiazda i gwiazda-trójkąt.
Impedancja zespolona
Przykłady
Z  R  j X L  (  j X C )  R  j( X L  X C )
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki
R
XL
Z  Z  R 2  ( X L  X C )2
φ  arg Z  arctg
XC
Y
R
XL
1
1
1
1  1
1 



  j

R j X L  j XC R  XC X L 
XC
YY 
44
X L  XC
R
1  1
1 




2

R  XC X L 
2
 1
1 

 

X
X
R( X C  X L )
L 
φ   arg Y  arctg  C
 arctg
1
X L XC
R
Impedancja zespolona
Przykład
(Wartości rezystancji i reaktancji w omach)
1 j 3
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki
6
1
3
30
10
30 || j10 
30  j10
j
j(3  j)
j3  1
 30
 30 2 2  30
 3  j9
30  j10
3 j
10
3 1
1 – j3
6
6
45
3 + j9
(3  j 9)  (1  j 3)  4  j 6
4 + j6 (4  j 6) || ( j 6) 
(4  j 6)  ( j 6) 36  j 24

 9  j6 Ω
(4  j 6)  ( j 6)
4
Impedancja zespolona
Przykład
Wyznaczyć pulsację rezonansową
C
L
R
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki
j RX L
RX L2  j R 2 X L
Z   j X C  R || j X L   j X C 
  j XC 
R  jXL
R 2  X L2
Im Z  0

R2 X L
 XC  2
0
2
R  XL

R 2 ω 2 L2
ωLR 

0
ωC ωC

ωr 
R2
C
L2
LR 
C

R 2 X L  R 2 X C  X L2 X C  0

2
2
46

1
L2
LC  2
R
2
L2  R 2
ω  LR   
C C

2
Zespolona moc pozorna
6
Zespolona moc pozorna
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki

Zespoloną mocą pozorną nazywamy iloczyn fazora
napięcia i sprzężonego fazora prądu:
S  UI

def

47
Zwróćmy uwagę na to, że fazor prądu jest sprzężony.
Zespolona moc pozorna
Związek z mocą czynną i bierną

W ogólności fazory napięcia i prądu mają postać
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki
U  Ue jψu
I  Ie jψi
czyli
S  Ue jψu Ie  jψi  UIe j(ψu ψi )  UIe j φ  UI cos φ  jUI sin φ

gdzie φ jest kątem fazowym odbiornika,
Ale UIcosφ = P (moc czynna) oraz UIsinφ = Q (moc
bierna), zatem
S  P  jQ
48
Zespolona moc pozorna
Związek z impedancją

Ponieważ
U  ZI
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki
to

S  (Z I ) I  Z I
2
czyli
S  ZI 2

Mamy też
S U
49
U
Z



U2
Z


Y U2
Zespolona moc pozorna
Moc – podsumowanie

Mamy zatem

S  U I  Z I 2  P  jQ
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki
P  UI cos φ  RI 2  Re S
Q  UI sin φ  XI 2  Im S
S  UI  ZI 2  P 2  Q2  S


50
Zespolona moc pozorna jest jedną wielkością, która łączy w sobie
trzy wielkości: moc czynną, moc bierną i moc pozorną.
Zespolona moc pozorna jest wielkością addytywną – można
sumować zespolone moce pozorne różnych elementów, gdyż
wykonujemy wtedy w istocie sumowanie mocy czynnych i biernych.
Zespolona moc pozorna
Bilans mocy
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki

Bilans mocy polega na sprawdzeniu, czy moc oddana
do obwodu przez źródła równa się mocy pobranej
przez odbiorniki:
 S odb   (S źr )
odb


51
źr
Moc odbiornika obliczamy jako
S odb  Z I 2

Moc źródła obliczamy jako S źr  U I
i bierzemy ze znakiem plus, jeżeli strzałki napięcia i
prądu są zgodne, a ze znakiem minus, jeżeli są one
przeciwne.
Analiza obwodów
7
Ogólne uwagi
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki


Wszystkie metody poznane podczas omawiania
liniowych obwodów prądu stałego po niewielkich
zmianach znajdują zastosowanie w analizie obwodów
prądu sinusoidalnego.
Najważniejsze zmiany:
–
–
–
–
52
Używamy wartości skutecznych i fazorów, czyli liczb
zespolonych, a nie rzeczywistych,
Pojęcie rezystancji (R = U/I) jest uogólnione na impedancję
(Z = U/I, moduł impedancji Z = U/I),
Oprócz rezystancji R występuje reaktancja X,
Znany wzór na moc UI określa moc pozorną, oprócz tego
występuje moc czynna UIcosφ, bierna UIsinφ, oraz zespolona
pozorna UI*.
Analiza obwodów
Metody

Używa się następujących znanych już metod:
–
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki
–
–
–


53
Metoda równań Kirchhoffa,
Metoda oczkowa,
Metoda potencjałów węzłówych,
Metoda superpozycji.
Prawdziwe są znane twierdzenia Thevenina, Nortona,
o zamianie źródła rzeczywistego, o włączaniu
dodatkowych źródeł, o wzajemności, o kompensacji.
Należy pamiętać, że równania zapisujemy zawsze dla
fazorów, a zamiast rezystancji występuje w ogólności
impedancja.
Analiza obwodów
Przykład
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki
Rozwiązać podany obwód:
a) Metodą równań Kirchhoffa,
b) Metodą oczkową,
c) Metodą węzłową,
d) Metodą superpozycji,
Przeprowadzić bilans mocy.
R
e(t)
54
C
L
j(t)
e(t )  40 sin( ωt  45) V
j (t )  210 cos ωt A
rad
ω  1000
s
R 1Ω
L  3 mH
C  500 μF
Analiza obwodów
Co mamy obliczyć?
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki
Mamy obliczyć wszystkie prądy i wszystkie napięcia na
elementach.
R
e(t)
55
i1(t)
i2(t) C
i3(t)
uR(t)
uL(t)
L
uC(t)
j(t)
uj(t)
Analiza obwodów
Obwód dla fazorów
Obliczamy fazory elementów
źródłowych:
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki
j (t )  10 2 cos ωt  10 2 sin( ωt  90) A
R
I1
I3
UR
E
UL
XL
J  10e j 90  j10 A
e(t )  40 sin( ωt  45) V
E
40 j 45 40
40
e

(cos 45  j sin 45) 
(
2
2
2
Obliczamy reaktancje:
X L  ωL  1000  3 103  3 Ω
XC 
56
1
1
1


2Ω
ωC 1000  500 10 6 0,5
1
2
j
1
)
2
XC
I2
 (20  j 20) V
UC
J
UJ
Analiza obwodów
Metoda równań Kirchhoffa
Układamy równania:
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki
I 2  J  j10 A
R
E
I1
I3
UR
I 1  I 2  I 3

E  R I 1  j X L I 3  0
U  (  j X ) I  j X I  0
C
L 3
2
 J
UL
XC
I2
XL
UC
J
E  20  j 20 V
J  j10 A
R 1Ω
XC  2 Ω
XL  3Ω
Po rozwiązaniu:
57
I 1  (11  j13) A
I 2  j10 A
I 3  (11  j 3) A
U J  (29  j 33) V
UJ
Analiza obwodów
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki
Wartości chwilowe prądów i napięć
Prądy:
I 1  (11  j13) A  17,0e  j 50 A
i1 (t )  17 2 sin( ωt  50) A
I 2  j10  10e j 90 A
i2 (t )  j (t )  10 2 cos ωt A
I 3  (11  j 3) A  11,4e  j15 A
i3 (t )  11,4 2 sin( ωt  15) A
Napięcia:
58
U J  (29  j 33) V  43,9e j 49 V
u j (t )  43,9 2 sin( ωt  49) V
U R  R I 1  17e  j 50 V
u R (t )  17 2 sin( ωt  50) V
U C   j X C I 2  20 V
uC (t )  20 2 sin ωt V
U L  j X L I 3  34,2e j 75 V
u L (t )  34,2 2 sin( ωt  75) V
Analiza obwodów
Metoda oczkowa
Układamy równania:
R
XC
I2
I3
I 2  J  j10 A
E
I II   I 2   j10 A
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki
I1
 I I ( R  j X L )  I II j X L  E

 I II (j X L  j X C )  I I j X L  U J
II
XL
III
J
E  20  j 20 V
J  j10 A
R 1Ω
XC  2 Ω
XL  3Ω
Po rozwiązaniu:
I I  (11  j13) A
59
I II   j10 A
U J  (29  j 33) V
UJ
Analiza obwodów
Metoda węzłowa
Układamy równania:
I 2  J  j10 A
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki
1
1 
1
  E  J
V A  
R
 R jXL 
E V A
VA
I1 
I3 
R
 jXL
R
I1 A
I2
I3
E
XL
J
UJ
B
E  20  j 20 V
J  j10 A
R 1Ω
U J  V A  ( j X C ) J
Po rozwiązaniu:
60
XC
XC  2 Ω
XL  3Ω
V A  (9  j 33) V
I 1  (11  j13) A
I 3  (11  j 3) A
U J  (29  j 33) V
Analiza obwodów
Metoda superpozycji
R
Wyznaczamy prądy składowe:
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki
E
I 1  I 3 
 (8  j 4) A
R  jXL
I 2  J  j10 A
I 3 
E
XC
XL
R
I″1
I″2
XC
I″3
jXL
J  (3  j 9) A
R  jXL
XL
R
J  (3  j) A
R  jXL
J
E  20  j 20 V
J  j10 A
Po rozwiązaniu:
61
I′2
I′3
I 2  0
I 1  
I′1
I 1  (11  j13) A
I 2  j10 A
I 3  (11  j 3) A
U J  (29  j 33) V
R 1Ω
XC  2 Ω
XL  3Ω
Analiza obwodów
Bilans mocy
R
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki
Mamy:
I 1  (11  j13) A
I 2  j10 A
I 3  (11  j 3) A
U J  (29  j 33) V
E
S źr 

 U J J  (20  j 20)(11  j13)  (29  j 33)(  j10) 
 220  260  j 220  j 260  j 290  330  (290  j190) VA
UL
XC
I2
I3
UR
Moc źródeł:
E I 1
I1
XL
UC
J
E  20  j 20 V
J  j10 A
R 1Ω
XC  2 Ω
Moc odbiorników:
XL  3Ω
S odb  RI 12  ( j X C ) I 22  j X L I 32  1 (112  132 )  j 2  (102 )  j 3  (112  32 ) 
 121  169  j 200  j 3(121  9)  (290  j190) VA
62
UJ
Analiza obwodów
Twierdzenie Thevenina

Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki


63
Dwójnik aktywny można zastąpić
rzeczywistym źródłem napięcia (E0, Zw).
Napięcie źródłowe E0 wyznacza się jako
równe napięciu na jego zaciskach w
stanie jałowym.
Impedancję wewnętrzną Zw wyznacza
się jako równą impedancji zastępczej
dwójnika widzianej z jego zacisków po
usunięciu z niego wszystkich źródeł
(zwarciu źródeł napięciowych i
rozwarciu źródeł prądowych).
A
Dwójnik
aktywny
B
A
E0
Zw
B
Analiza obwodów
Rzeczywiste źródła napięcia i prądu
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki

Rzeczywiste źródło napięcia o SEM
równej E i impedancji wewnętrznej Zw
jest równoważne (w stosunku do
pozostałej części obwodu)
rzeczywistemu źródłu prądowemu o
wydajności J i takiej samej
impedancji wewnętrznej, przy czym
E
J
Zw

64

I
Zw
U
E
E  ZwJ
Rozpływ prądów i rozkład napięć w
pozostałej części obwodu nie ulegnie
przy tym zmianie.
I
J
Zw
U
Analiza obwodów
Stan dopasowania energetycznego

Stanem dopasowania energetycznego nazywamy stan, w którym
na odbiorniku wydziela się maksymalna moc czynna przy stałych
parametrach źródła zasilania.
I
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki
P  Pmax

Zachodzi to wtedy, gdy
Zw
E0
U
Z=Zw*

Z  Zw

Moc czynna wydzielana na odbiorniku wynosi wtedy
E02
Pmax 
4 Re Z w
65

Taka sama moc czynna wydziela się na rezystancji wewnętrznej.
Analiza obwodów
Stan dopasowania – wyprowadzenie
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki
I
E0
E0

Z Zw
( R  Rw ) 2  ( X  X w ) 2
P  RI 2  E02
P  Pmax
Zw
R
( R  Rw ) 2  ( X  X w ) 2

dP
 0,
dX
E0
dP
0
dR
E02
 2 R( X  X w )
0
2
2 2
[( R  Rw )  ( X  X w ) ]
E02
( R  Rw ) 2  ( X  X w ) 2  2 R ( R  Rw )
0
[( R  Rw ) 2  ( X  X w ) 2 ]2
Pmax  P Z  Z 
66
I
w

Xw  X

R  Rw
E02
E02
E02
 Rw


2
2
4 Rw 4 Re Z w
( Rw  Rw )  ( X w  X w )
Z
Podsumowanie
Czego się nauczyliśmy?

Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki



67
Poznaliśmy bardzo wygodną i ogólną metodę analizy
liniowych obwodów prądu sinusoidalnego.
Metoda symboliczna jest algebraicznym zapisem tego,
co można zrobić na wskazach (geometrycznie).
Wiemy, co to jest fazor, zespolona impedancja,
zespolona moc pozorna.
Wszystkie znane już metody analizy obwodów prądu
stałego prawie bez zmian stosuje się do analizy
obwodów prądu sinusoidalnego, z tym, że obliczenia
wykonuje się na fazorach (liczbach zespolonych).