Rozkłady - Wydział Leśny SGGW
advertisement
Doświadczalnictwo leśne Wydział Leśny SGGW Studia II stopnia Wykład 8 • Rozkłady statystyczne – Rozkłady empiryczne – Po co rozkłady? – Typy zmiennych – Przykładowe rozkłady • Rozkład normalny • Rozkład dwumianowy Rozkłady empiryczne • Graficzna reprezentacja danych w formie rozkłady liczebnosci, wieloboku liczebności, histogramu, itp. Graficzna prezentacja danych Histogram for dk 100 frequency 80 60 40 20 0 0 3 6 9 dk 12 15 18 Graficzna prezentacja danych polygon 100 frequency 80 60 40 20 0 0 3 6 9 dk 12 15 18 Po co rozkłady? • Niekiedy konieczne jest załoŜenie, Ŝe badana cecha posiada określony rozkład – np. moŜemy załoŜyć, Ŝe rozkład cechy „gęstość drewna” jest zgodny z rozkładem normalnym i wykorzystać później tę informację do estymacji, testowania hipotez lub modelowania Po co rozkłady? • Stwierdzenie zgodności cechy z danym rozkładem pozwala na zrozumienie zaleŜności istniejących w zbiorze danych • W takiej sytuacji zwykle buduje się rozkład teoretyczny na bazie danych pomiarowych i porównuje otrzymane rozkłady Po co rozkłady? • Do dopasowania rozkładów stosuje się zwykle metodę momentów lub metodę największej wiarygodności • Rozkłady teoretyczne są podstawą wielu metod statystycznych (estymacji, testów, ...), stąd konieczne jest sprawdzenie, czy dane mają rozkład zgodny np. z rozkładem normalnym Typy zmiennych • Jakościowe (określające przynaleŜność do określonej grupy lub kategorii, np. płeć, kolor, gatunek drewna, ...0 • Ilościowe (moŜliwe do pomierzenia z wykorzystaniem skali pomiarowych, dla których moŜliwe jest dodawania czy uśrednianie, np. miąŜszość kłody, gęstość drewna, ...) Zmienna a typ rozkładu • JeŜeli zmienna ma postać skończonego zbioru - jest to zmienna skokowa (np. wiek, klasa grubości, ...) moŜliwa do opisania rozkładem prawdopodobieństwa Zmienna a typ rozkładu • JeŜeli zmienna moŜe przyjąć dowolna wartość (lub dowolną wartość z określonego przedziału) - mówimy o zmiennej ciągłej (np. długość, grubość, ...) moŜliwej do opisania gęstością prawdopodobieństwa Zmienna a typ rozkładu • W wielu przypadkach (z powodu technicznych ograniczeń pomiarów lub z powodów praktycznych) zmienne ciągłe traktowane są ja dyskretne (np. kiedy grubość mierzona jest z zaokrągleniem do 1mm czy długość do 1cm) Przykładowe rozkłady • Rozkład Beta uŜywany jest do modelowania rozkładów wielkości uporządkowanych, mających naturalny limit dolny i górny • Rozkład dwumianowy uŜywany jest do opisu takich zjawisk, jak np. liczba K/M czy liczba elementów wadliwych w próbie złoŜonej z n elementów pobranych z populacji Przykładowe rozkłady • Rozkład chi-kwadrat uŜywany jest do modelowania zmiennych reprezentujących częstości • Rozkład wykładniczy uŜywany jest często do modelowania czasu między zdarzeniami • Rozkład Poisson’a uŜywany jest do modelowania zjawisk rzadkich Przykładowe rozkłady • Rozkład normalny jest najczęściej stosowany w estymacji statystycznej • Rozkład Weibull’a stosuje się często do modelowania czasu, który mija do momentu wystąpienia awarii • ... Rozkład normalny • Najczęściej stosowany rozkład w statystyce • Podstawa wielu metod statystycznych: estymacji, testów, regresji, korelacji, analizy wariancji, ... Rozkład normalny • Opisuje zmienne, które mogą przybierać postać nieskończonej liczby niezaleŜnych zdarzeń losowych • Przykład rozkładu zmiennej ciągłej • Jego funkcję gęstości prawdopodobieństwa moŜna opisać następująco: Rozkład normalny • gdzie: – x - zmienna – µ - średnia arytmetyczna – σ - odchylenie standardowe Rozkład normalny Własności (r-d normalny) • Wartość funkcji gęstości rośnie dla x<µ i maleje dla x>µ • Funkcja gęstości ma maksimum w punkcie x=µ • Wartość oczekiwana zmiennej X wynosi E(X)=µ • Wariancja zmiennej X równa jest D2X = σ2 Własności (r-d normalny) • dla x = µ funkcja gęstości ma wartość • rozkład ma 2 punkty przegięcia dla x=µ σix=µ+σ • rozkład normalny jest symetryczny, a oś symetrii zdefiniowana jest jako x = µ Własności (r-d normalny) • Im wariancja / odchylenie standardowe jest mniejsze, tym funkcja gęstości jest węŜsza • funkcja prawdopodobieństwa jest całką z funkcji gęstości prawdopodobieństwa Własności (r-d normalny) Standaryzowany r.n. • KaŜdy rozkład normalny moŜe być znormalizowany, tj. doprowadzony do postaci rozkładu o średniej 0 i odchyleniu standardowym 1: N(0,1). • Wartość oczekiwana standaryzowanego rdu normalnego równa jest zero (EZ = 0) a odchylenie standardowe równe jest 1 (D2Z = 1). Standaryzowany r.n. • Standaryzacja to zamiana zmiennej x na z, gdzie: • Funkcja gęstości prawdopodobieństwa tej funkcji: Standaryzowany r.n. Własności (r-d normalny) • Pomiędzy µ - σ i µ + σ znajduje się około 68% wszystkich wartości zmiennej • W przedziale od µ - 2*σ do µ + 2*σ jest około 95% wszystkich wartości zmiennej • W przedziale od µ - 3*σ do µ + 3*σ mamy około 99,7% wszystkich obserwacji Rozkład skumulowany cumulative histogram frequency 250 200 150 100 50 0 0 3 6 9 dk 12 15 18 Rozkład skumulowany Rozkład skumulowany Rozkład skumulowany Rozkład skumulowany Rozkład dwumianowy • Przykład funkcji rozkładu prawdopodobieństwa • Opisuje prawdopodobieństwo uzyskania k sukcesów w n niezaleŜnych próbach, gdzie prawdopodobieństwo sukcesu w jednej próbie wynosi p Rozkład dwumianowy Rozkład dwumianowy Własności (r-d dwum.) • Wykres funkcji rozkładu jest symetryczny dla p = 0.5 • dla p < 0.5 rozkład jest skośny dodatnio • dla p > 0.5 rozkład jest skośny ujemnie Własności (r-d dwum.) • Wartość oczekiwana E(X) = n * p • Wariancja D2X = n p q • Odchylenie standardowe Dziekuje za uwagę!
