1. wielokąty i okręgi część i
advertisement
CZĘŚĆ I 1. WIELOKĄTY I OKRĘGI 1.1. Okrąg opisany na wielokącie (s. 10) Zadania utrwalające (s. 22) 1.2. Okrąg wpisany w wielokąt (s. 24) Zadania utrwalające (s. 35) 1.3. Wielokąty foremne (s. 37) Zadania utrwalające (s. 43) Zadania do rozwiązywania w grupie (s. 45) IKONY 1.4. Krok do egzaminu (s. 46) zadanie trudniejsze kalkulator 1.1. Okrąg opisany na wielokącie Moja klasa organizuje biwak i mamy problem, jak rozstawić nasze namioty, aby z każdego namiotu była taka sama odległość do wspólnego namiotu, który nazwaliśmy świetlicą. Jeżeli odległość ma być taka sama, należy narysować okrąg, którego środkiem będzie namiot świetlica, a namioty uczestników trzeba umieścić na tym okręgu. Odległość między każdym namiotem a świetlicą będzie równa długości promienia narysowanego okręgu. Wszyscy będą mieli do pokonania taką samą odległość. namiot 1 namiot 2 świetlica namiot 3 namiot 5 namiot 4 Przykład 1.1. Narysuj trzy niewspółliniowe punkty K, L, M. Znajdź punkt T, którego odległość od każdego z punktów K, L i M jest taka sama. M Zaznaczyliśmy punkty K, L i M. Te punkty nie są współliniowe. Musimy znaleźć punkt T, którego odległość od każdego z punktów K, L i M będzie taka sama. K L M Rysujemy odcinek KM, a następnie symetralną tego odcinka. Na symetralnej odcinka KM leżą wszystkie punkty, których odległość od punktu K jest równa odległości od punktu M. K L 10 Rozdział 1. Wielokąty i okręgi M K Rysujemy odcinek KL oraz symetralną tego odcinka. Na symetralnej odcinka KL leżą wszystkie punkty, których odległość od punktu K jest równa odległości od punktu L. L M K Wyznaczyliśmy punkt T, którego odległość od punktów K, M i L jest taka sama. T L M K Możemy zauważyć, że symetralna odcinka ML też przechodzi przez punkt T. T L Punkt T, którego odległość od punktów K, L i M jest taka sama, jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie KLM. M K T Punkt T, którego odległość od punktów K, L i M jest taka sama, jest środkiem koła opisanego na trójkącie KLM. Jeżeli wszystkie wierzchołki trójkąta leżą na okręgu, to mówimy, że okrąg jest opisany na tym trójkącie. L Jeżeli wszystkie wierzchołki trójkąta leżą na okręgu, to możemy powiedzieć, że trójkąt jest wpisany w ten okrąg. 1.1. Okrąg opisany na wielokącie 11 Jeżeli odległość wszystkich wierzchołków trójkąta od środka koła jest równa promieniowi tego koła, to możemy powiedzieć, że trójkąt jest wpisany w to koło. M K T L Jeżeli odległość wszystkich wierzchołków trójkąta od środka koła jest równa promieniowi tego koła, to mówimy, że koło jest opisane na trójkącie. Jeżeli punkt T jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie KLM, to długość promienia tego okręgu jest równa odległości każdego z punktów K, L i M od punktu T. M K T L M K Jeżeli punkt T jest środkiem koła opisanego na trójkącie KLM, to długość promienia tego koła jest równa odległości każdego z punktów K, L i M od punktu T. T L Przykład 1.2. Narysuj dowolny trójkąt ABC. Skonstruuj okrąg opisany na tym trójkącie. Konstruujemy symetralne dwóch boków trójkąta ABC. Punkt przecięcia symetralnych boków oznaczamy literą S. Punkt S jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie. 12 Rozdział 1. Wielokąty i okręgi Punkt S łączymy z wierzchołkiem B. Odcinek BS jest promieniem okręgu opisanego na trójkącie ABC. Kreślimy okrąg o środku w punkcie S opisany na trójkącie ABC. Przykład 1.3. Narysuj trójkąt: a) ostrokątny, b) prostokątny, c) rozwartokątny. Narysuj symetralne boków w każdym z tych trójkątów. Wyznacz promień okręgu opisanego na danym trójkącie i narysuj ten okrąg. a) b) c) Środek okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym leży wewnątrz tego trójkąta. Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym leży na przeciwprostokątnej tego trójkąta. Środek okręgu opisanego na trójkącie rozwartokątnym leży na zewnątrz tego trójkąta. Na każdym trójkącie można opisać okrąg. 1.1. Okrąg opisany na wielokącie 13 Promieniem okręgu opisanego na trójkącie jest odcinek łączący środek tego okręgu z dowolnym wierzchołkiem tego trójkąta. a) b) c) rO r r rO r rO r r r Przykład 1.4. Narysuj trójkąt równoboczny o boku długości 6 cm. Oblicz pole i obwód koła opisanego na tym trójkącie. Aby obliczyć pole i obwód koła opisanego na trójkącie równobocznym o boku długości 6 cm musimy wyznaczyć długość promienia tego koła. Narysowałem trójkąt równoboczny i wyznaczyłem środek koła opisanego na tym trójkącie, a następnie narysowałem koło. 6 cm 6 cm r Poprowadzone symetralne boków tego trójkąta zawierają wysokości trójkąta. 6 cm :\VRNRğýG]LHOLWUyMNĆWUyZQRERF]Q\ QDGZDSU]\VWDMĆFHWUyMNĆW\SURVWRNĆWQH RNĆWDFKRVWU\FKL -HīHOLGâXJRğýNUyWV]HMSU]\SURVWRNĆWQHM R]QDF]\P\SU]H]x, WRGUXJDSU]\SUR VWRNĆWQDPDGâXJRğý x 3 DGâXJRğý SU]HFLZSURVWRNĆWQHMMHVWUyZQDx 30° 30° a 30° a h 2x x 3 60° 60° a 2 a 2 60° x 14 Rozdział 1. Wielokąty i okręgi Wysokość trójkąta równobocznego zawiera się w dwusiecznej kąta wewnętrznego tego trójkąta. 6 cm 6 cm 60° r 30° 6 cm Korzystając ze wskazanej wyżej zależności między długościami boków trójkąta prostokątnego o kątach ostrych 30o, 60o, wyznaczyłam długość przeciwprostokątnej tego trójkąta, która jest długością promienia koła opisanego na tym trójkącie. r 60° r 60° 1r 2 30° 30° 3 cm 1r 3 2 Jeżeli w trójkącie prostokątnym o kątach ostrych 30°, 60° długość przeciwprostokątnej 1 1 jest równa r wówczas długości przyprostokątnych są odpowiednio równe r 3 i r . 2 2 1 r 3 =3 /⋅ 2 2 r 3 =6 /⋅ 3 3r = 6 3 / : 3 r =2 3 Długość promienia koła opisanego na tym trójkącie równobocznym jest równa 2 3 cm. Korzystając z wzoru oraz pamiętając, że obwód wynosi obliczymy pole i obwód koła. 1.1. Okrąg opisany na wielokącie 15 P = πr2 obwód = 2π r ( ) P =π 2 3 2 obwód = 2π ⋅ 2 3 obwód = 4π 3 P = 12π Pole koła opisanego na trójkącie równobocznym o boku długości 6 cm jest równe 12π cm2, a obwód tego koła wynosi 4π 3 cm. Przykład 1.5. Wyznacz długość promienia okręgu opisanego na trójkącie równobocznym o boku długości a. a Wykorzystujemy zależność między długościami boków trójkąta prostokątnego a r o kątach ostrych 30°, 60° do wyznaczenia długości promienia okręgu opisanego na trójkącie równobocznym. 60° 30° 1a 2 r 1a 2 60° 1r 2 30° 1r 3 2 1 1 r 3 = a /⋅ 2 2 2 r 3 =a /⋅ 3r = a 3 / : 3 r= 16 Rozdział 1. Wielokąty i okręgi 3 a 3 3 Długość promienia okręgu opisanego na trójkącie równobocznym o boku a 3 . długości a jest równa 3 Przykład 1.6. Narysuj kwadrat, prostokąt, równoległobok, romb i trapez. Sprawdź, na którym z tych czworokątów można opisać okrąg. Jeżeli wszystkie wierzchołki czworokąta leżą na okręgu, to okrąg ten jest opisany na tym czworokącie. Jeżeli wszystkie wierzchołki czworokąta leżą na okręgu, to czworokąt ten jest wpisany w okrąg. Należy sprawdzić, czy symetralne boków czworokąta przecinają się w jednym punkcie. Czworokąt Czworokąt i symetralne jego boków Wniosek Na tym kwadracie można opisać okrąg. S S Na tym prostokącie można opisać okrąg. Na tym równoległoboku nie można opisać okręgu. Na tym rombie nie można opisać okręgu. Na tym trapezie nie można opisać okręgu. 1.1. Okrąg opisany na wielokącie 17 Przykład 1.7. Narysuj kwadrat o boku długości 8 cm. Oblicz długość promienia okręgu opisanego na tym kwadracie. Narysowałam kwadrat i wyznaczyłam środek S okręgu opisanego na nim — środek tego okręgu jest punktem przecięcia symetralnych boków kwadratu. S Punkt S jest środkiem koła opisanego na tym kwadracie. Jeżeli punkt S jest środkiem koła opisanego na kwadracie, to długość promienia tego koła jest równa odległości każdego z wierzchołków tego kwadratu od punktu S. r Narysowałam okrąg opisany na kwadracie — odcinek łączący wyznaczony środek okręgu z jednym z wierzchołków tego kwadratu jest promieniem tego okręgu. 45° 4 cm 45° 8 cm 4 cm 8 cm 3U]HNĆWQDG]LHOLNZDGUDWQDGZDSU]\VWD MĆFHWUyMNĆW\SURVWRNĆWQHUyZQRUDPLHQQH RNĆWDFKRVWU\FKUyZQ\FKL -HīHOLGâXJRğýNDīGHM]SU]\SURVWRNĆWQ\FK R]QDF]\P\MDNRaWRGâXJRğýSU]HFLZSUR VWRNĆWQHMMHVWUyZQDa 2 a a 45° 45° d a 45° 45° a a 2 a 45° 45° a 18 45° 45° Rozdział 1. Wielokąty i okręgi a a Korzystając z powyższej zależności między długościami boków trójkąta prostokątnego o kątach ostrych 45o, 45o, wyznaczyłam długość promienia okręgu opisanego na kwadracie. 45° a 2 r a 45° 45° 4 cm 45° a 4 cm Długość promienia okręgu opisanego na tym kwadracie jest równa 4 2 cm. Przykład 1.8. Wyznacz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o boku długości a. 45° r 1 2 45° a 1 2 a a Rysujemy okrąg opisany na kwadracie — promieniem tego okręgu jest odcinek łączący wyznaczony środek okręgu z jednym z wierzchołków tego kwadratu. a 45° r 1 2 45° 1 2 a r d r a Z przypomnianej w poprzednim przykładzie własności dotyczącej zależności między długościami boków trójkąta prostokątnego o kątach ostrych 45°, 45° wynika, że długość promienia okręgu opisanego na kwaa 2 . dracie jest równa 2 Długość średnicy okręgu opisanego na kwadracie jest równa długości przekątnej tego kwadratu. 2r = d d r= 2 Długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o boku długości a a 2 . jest równa 2 1.1. Okrąg opisany na wielokącie 19 Jeżeli wszystkie wierzchołki wielokąta leżą na okręgu, mówimy, że ten okrąg jest opisany na tym wielokącie. Jeżeli wszystkie wierzchołki wielokąta leżą na okręgu, to można też powiedzieć, że ten wielokąt jest wpisany w okrąg. Przykład 1.9. Uzasadnij, że jeżeli okrąg można opisać na czworokącie, to sumy miar przeciwległych kątów tego czworokąta są równe. Okrąg jest opisany na czworokącie, jeżeli wszystkie wierzchołki czworokąta leżą na tym okręgu. r r r r 20 Rozdział 1. Wielokąty i okręgi Promienie okręgu opisanego na czworokącie poprowadzone do wierzchołków tego czworokąta dzielą go na cztery trójkąty równoramienne. γ β r W trójkątach równoramiennych oznaczamy kąty o równych miarach. γ β γ δ r rα δ δ r r β α rα Suma miar przeciwległych kątów czworokąta oznaczonych r δ γ kolorem żółtym i pomarańczowym jest równa α + β + γ + δ . r β α Suma miar przeciwległych kątów czworokąta oznaczonych kolorem zielonym i niebieskim jest równa α + β + γ + δ . Jeżeli okrąg można opisać na czworokącie, to sumy miar przeciwległych kątów tego czworokąta są równe. Można także pokazać, że jeżeli sumy miar przeciwległych kątów czworokąta są równe, to na tym czworokącie można opisać okrąg. Przykład 1.10. Wykorzystując własność dotyczącą miar kątów czworokąta, na którym można opisać okrąg, uzasadnij, że na równoległoboku, który nie jest prostokątem, nie można opisać okręgu. ʂ ʃ W równoległoboku miary przeciwległych kątów są równe. ʂ ʃ ʂ α = 180° − β 1.1. Okrąg opisany na wielokącie 21 Zatem prawdziwa byłaby równość: α + α = β + β (180° − β ) + (180° − β ) = β + β 180° − β + 180° − β = β + β 360° − 2 β = 2 β 4 β = 360° β = 90° Suma miar kątów wewnętrznych równoległoboku leżących przy jednym boku jest równa 180° . α = 180° − β = 180° − 90° = 90° Z obliczeń wynika, że miara każdego kąta równoległoboku musi być równa 90º, zatem okrąg można opisać tylko na takim równoległoboku, który jest prostokątem. Na równoległoboku, który nie jest prostokątem, nie można opisać okręgu. Zadania utrwalające 1 Wskaż, na którym z wielokątów opisano okrąg. Uzasadnij odpowiedź. a) b) c) d) 22 Rozdział 1. Wielokąty i okręgi e) f) 2 Skonstruuj okrąg opisany na trójkącie: a) o bokach długości 3 cm, 4 cm i 5 cm, b) prostokątnym o przyprostokątnych długości 5 cm i 6 cm, c) równoramiennym o bokach długości 4 cm, 4 cm i 6 cm. 3 Oceń prawdziwość poniższych zdań. a) Środek okręgu opisanego na trójkącie o bokach długości 3 cm, 3 cm, 3 cm leży na zewnątrz tego trójkąta. 4 TAK NIE b) Środek okręgu opisanego na trójkącie, którego miary dwóch kątów wynoszą 30° i 50°, leży na zewnątrz tego trójkąta. TAK NIE c) Środek okręgu opisanego na trójkącie, którego miary dwóch kątów wynoszą 60° i 50°, leży na boku tego trójkąta. TAK NIE d) Środek okręgu opisanego na trójkącie, którego miary dwóch kątów wynoszą 45° i 45°, leży wewnątrz tego trójkąta. TAK NIE TAK NIE TAK NIE c) Długość okręgu opisanego na prostokącie o bokach długości 4 cm i 8 cm wynosi 8π 10 cm. TAK NIE d) Długość okręgu opisanego na trójkącie równobocznym o boku długości 12 cm jest równa 8π 2 cm. TAK NIE Oceń prawdziwość poniższych zdań. a) Długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o boku długości 10 cm jest równa 5 2 cm. b) Długość promienia okręgu opisanego na trójkącie równobocznym o boku długości 1,2 cm jest równa 0, 4 3 cm. 5 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na trójkącie równobocznym o boku długości: a) 4 cm, b) 15 cm, c) 6 3 cm, d) 3 6 cm. 6 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na trójkącie równobocznym o polu równym: a) 16 3 cm2 , 7 b) 9 3 cm2, c) 3 3 cm2, d) 6 3 cm2. Oblicz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o boku długości: a) 5 cm, b) 15 cm, c) 3 2 cm, d) 5 6 cm. 8 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o polu równym: d) 108 cm2 . c) 48 cm2 , a) 36 cm2, b) 49 cm2 , 9 Oblicz długość okręgu opisanego na trójkącie równobocznym o boku długości: a) 6 cm , b) 21 cm, c) 8 3 cm, d) 4 6 cm . 1.1. Okrąg opisany na wielokącie 23 10 Oblicz pole koła opisanego na trójkącie równobocznym o boku długości: a) 9 cm, 11 c) 5 3 cm , d) 5 6 cm. Oblicz długość okręgu opisanego na kwadracie o boku długości: a) 3 cm, 12 b) 4 cm , c) 6 2 cm, b) 10 cm , d) 2 6 cm. Oblicz pole koła opisanego na kwadracie o boku długości: a) 5 cm, c) 8 2 cm, b) 8 cm, d) 3 3 cm . Oblicz pole koła i długość okręgu opisanego na prostokącie, w którym długość krótszego boku jest równa 7 cm. Kąt między przekątnymi tego prostokąta ma miarę 60° . 13 Koło o promieniu długości 10 cm opisano na trójkącie prostokątnym. Oblicz pole tego trójkąta, jeżeli jedna przyprostokątna jest trzy razy dłuższa od drugiej. 14 W okręgu o środku w punkcie O i średnicy długości 8 cm poprowadzono średnicę KL oraz cięciwę MN równoległą do niej. Kąt środkowy NOM ma miarę 60° . Oblicz pole czworokąta KLMN. 15 W okrąg o promieniu długości 5 cm wpisano prostokąt, w którym stosunek dłu1 gości boków jest równy 1 . Oblicz pole i obwód tego prostokąta. 3 16 W koło o promieniu długości 5 cm wpisano trójkąt, którego jednym z boków jest średnica tego koła. Oblicz pole trójkąta, jeżeli jeden z jego kątów ma miarę 45°. 17 18 Uzasadnij, że na każdym trapezie równoramiennym można opisać okrąg. 1.2. Okrąg wpisany w wielokąt Model jachtu ma trójkątny żagiel typu bermudzkiego — na tym żaglu chciałbym narysować jak największe logo mojego klubu. Y GDYNIA 24 Rozdział 1. Wielokąty i okręgi Logo ma kształt koła. Aby na trójkątnym żaglu to logo było jak największe, musi być styczne do wszystkich brzegów tego żagla. Jeżeli koło jest styczne do wszystkich boków trójkąta, mówimy, że koło jest wpisane w ten trójkąt. : (%:/*" Jeżeli koło jest styczne do wszystkich boków trójkąta, mówimy, że trójkąt jest opisany na kole. Odległość środka koła wpisanego w trójkąt musi być jednakowa od wszystkich boków tego trójkąta. C Na dwusiecznej kąta CAB leżą wszystkie punkty, których odległość od boków AB i AC jest taka sama. ° C A B Na dwusiecznej kąta ABC leżą wszystkie punkty, których odległość od boków AB i BC jest taka sama. A B C Wyznaczyliśmy punkt S, którego odległość od wszystkich boków trójkąta jest taka sama. S A B 1.2. Okrąg wpisany w wielokąt 25 C Możemy zauważyć, że dwusieczna kąta ACB też przechodzi przez punkt S. S A B Okrąg wpisany w trójkąt jest styczny do wszystkich boków tego trójkąta. Promieniem okręgu wpisanego w trójkąt jest odcinek, którego jednym końcem jest środek okręgu wpisanego w ten trójkąt, a drugim punkt styczności okręgu z bokiem tego trójkąta. Długość tego promienia jest równa odległości środka S okręgu wpisanego w ten trójkąt od każdego z boków tego trójkąta. Promień ten jest także promieniem koła wpisanego w ten trójkąt. Zatem poprowadzimy prostą prostopadłą do jednego z boków trójkąta, przechodzącą przez wyznaczony środek okręgu wpisanego w trójkąt i zaznaczymy na niej promień szukanego okręgu. A następnie zakreślimy okrąg o środku w punkcie S i tym promieniu, styczny do wszystkich boków trójkąta. C A 26 C C S S r r B Rozdział 1. Wielokąty i okręgi A S r B A B Promienie okręgu wpisanego w trójkąt, poprowadzone do punktów styczności, są prostopadłe do boków tego trójkąta. Odcinki, których jednym końcem jest środek okręgu wpisanego w ten trójkąt, a drugim punkt styczności okręgu z bokami trójkąta, są promieniami okręgu wpisanego w ten trójkąt. Długość tego promienia jest równa odległości środka S okręgu wpisanego w trójkąt od każdego z boków tego trójkąta. Przykład 1.11. Narysuj dowolny trójkąt ABC. Skonstruuj okrąg wpisany w ten trójkąt. C Konstruujemy dwusieczne dwóch kątów trójkąta. Punkt przecięcia dwusiecznych kątów oznaczamy literą S. Punkt S jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt. S B A C Aby wyznaczyć promień okręgu wpisanego w trójkąt ABC, konstruujemy prostą prostopadłą do jednego z boków trójkąta, przechodzącą przez środek S tego okręgu. Rysujemy odcinek łączący środek okręgu z punktem przecięcia boku trójkąta i prostej prostopadłej do tego boku. S B A C S Rysujemy okrąg wpisany w trójkąt ABC. B A 1.2. Okrąg wpisany w wielokąt 27 Przykład 1.12. Narysuj dowolny trójkąt: a) ostrokątny, b) prostokątny, c) rozwartokątny. Wyznacz środek okręgu wpisanego w ten trójkąt. Narysuj okrąg wpisany w ten trójkąt. a) b) c) W każdy trójkąt można wpisać okrąg. Przykład 1.13. Narysuj trójkąt równoboczny o boku długości 6 cm. Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt. Narysowałam trójkąt równoboczny i wyznaczyłam środek okręgu wpisanego w ten trójkąt. DN Poprowadzone dwusieczne kątów tego trójkąta zawierają wysokości trójkąta. DN DN DN DN Promieniem okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny jest część wysokości tego trójkąta. S DN Korzystając z zależności między długościami boków w trójkącie prostokątnym o kątach ostrych 30º, 60º, wyznaczyłam długość drugiej przyprostokątnej tego trójkąta prostokątnego. DN S S S S r 3 =3 /⋅ 3r = 3 3 / : 3 r= 3 28 3 Rozdział 1. Wielokąty i okręgi Długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt równoboczny jest równa 3 cm. Przykład 1.14. Wyznacz stosunek długości promienia okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny do długości promienia okręgu opisanego na tym trójkącie. a a S a W trójkącie równobocznym symetralne boków trójkąta zawierają dwusieczne kątów tego trójkąta i jego wysokości. Środek okręgu opisanego na trójkącie równobocznym i środek okręgu wpisanego w ten trójkąt to ten sam punkt. Zaznaczamy promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny i promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym. a a S ro rw a SP W trójkącie prostokątnym o kątach ostrych 30° i 60° długość przeciwprostokątnej jest równa dwukrotności długości krótszej przyprostokątnej. SX Zatem: ro = 2rw rw 1 = ro 2 ro a a Punkt S, który jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny i środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie, dzieli wysokość trójkąta na dwie części. S rw a 1.2. Okrąg wpisany w wielokąt 29 Przykład 1.15. Oblicz, jaką częścią wysokości trójkąta równobocznego jest promień okręgu wpisanego w ten trójkąt, a jaką częścią wysokości jest promień okręgu opisanego na tym trójkącie. Suma długości promienia okręgu opisanego na trójkącie równobocznym i długości promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równa długości wysokości tego trójkąta. SP B B 4 rw + ro = h SX ro = 2rw B rw + 2rw = h 3rw = h /:3 1 rw = h 3 2 ro = h 3 Przykład 1.16. Wyznacz długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku długości a. a a S Dzięki przeprowadzonym wcześniej obliczeniom wiemy, że w trójkącie równobocznym długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt i długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie są zależne od długości boku tego trójkąta. rw 1a 2 SX 1a 2 SX SX rw 3 = a 2 2rw 3 = a rw = 30 /⋅ 2 /⋅ 3 a 3 6 Rozdział 1. Wielokąty i okręgi Długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt a 3 równoboczny o boku długości a jest równa . 6 Przykład 1.17. Narysuj kwadrat, prostokąt , równoległobok, romb i trapez. Sprawdź, w który z tych czworokątów można wpisać okrąg. Jeżeli wszystkie boki czworokąta są styczne do okręgu, to okrąg jest wpisany w ten czworokąt. Należy sprawdzić, czy dwusieczne kątów tych czworokątów przecinają się w jednym punkcie. Czworokąt Czworokąt Wniosek i dwusieczne jego kątów 4 W ten kwadrat można wpisać okrąg. W ten prostokąt nie można wpisać okręgu. W ten równoległobok nie można wpisać okręgu. 4 W ten romb można wpisać okrąg. W ten trapez nie można wpisać okręgu. 1.2. Okrąg wpisany w wielokąt 31 Przykład 1.18. Narysuj kwadrat o boku długości 8 cm. Oblicz pole i obwód koła wpisanego w ten kwadrat. Aby obliczyć pole i obwód koła wpisanego w kwadrat o boku długości 8 cm, musimy wyznaczyć długość promienia tego koła. DN Narysowałam kwadrat i wyznaczyłam środek okręgu wpisanego w ten kwadrat. Ten środek jest punktem przecięcia dwusiecznych kątów wewnętrznych tego kwadratu i jednocześnie punktem przecięcia przekątnych kwadratu. DN 8 cm Długość promienia koła wpisanego w kwadrat jest równa połowie długości boku tego kwadratu. P = πr2 P = π · 42 P = 16π rw 4 cm 8 cm obwód = 2πr obwód = 2π · 4 obwód = 8π Pole koła wpisanego w kwadrat o boku długości 8 cm jest równe 16π cm2, a obwód tego koła wynosi 8π cm. Przykład 1.19. Wyznacz stosunek długości promienia okręgu wpisanego w kwadrat do długości promienia okręgu opisanego na tym kwadracie. Długość promienia okręgu opisanego na kwadracie jest równa połowie długości przekątnej tego kwadratu. Długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat jest równa połowie długości boku tego kwadratu. a a d S a ro rw a 32 Rozdział 1. Wielokąty i okręgi 1 1 ro = d rw = a 2 2 1 1 a 2 ro = d = ⋅ a 2 = 2 2 2 1 a rw 1 2 2a 1 = 2 = a⋅ = = ro a 2 2 a 2 2a 2 2 2 rw 1 = ro 2 Jeżeli wszystkie boki wielokąta są styczne do okręgu, mówimy, że okrąg jest wpisany w ten wielokąt. Można również powiedzieć, że jeżeli wszystkie boki wielokąta są styczne do okręgu, to ten wielokąt jest opisany na okręgu. Jeżeli wszystkie boki wielokąta są styczne do koła, mówimy, że koło jest wpisane w ten wielokąt. Można również powiedzieć, że jeżeli wszystkie boki wielokąta są styczne do koła, to ten wielokąt jest opisany na kole. Przykład 1.20. Uzasadnij, że jeżeli okrąg można wpisać w czworokąt, to sumy długości przeciwległych boków tego czworokąta są równe. % " $ Okrąg jest wpisany w czworokąt, jeżeli jest styczny do wszystkich boków tego czworokąta. # % " $ Promienie poprowadzone do punktów styczności są prostopadłe do boków czworokąta. # 1.2. Okrąg wpisany w wielokąt 33 . -HīHOLSURVWHbLaVĆVW\F]QHZSXQNWDFK $L%GRRNUċJXRğURGNX2LSURPLHQLXr RUD]MHğOLWHSURVWHSU]HFLQDMĆVLċZSXQNFLH 0WRSXQNW\VW\F]QRğFL$L%VĆUyZQRRG GDORQHRGSXQNWX0F]\OL_$0_ _%0_ C C 0 C BC = c + d D " D B E E S # AB = a + d % B " S $ CD = c + b AD = a + b AB + CD = a + d + c + b AD + BC = a + b + c + d # AB + CD = AD + BC Jeżeli okrąg można wpisać w czworokąt, to sumy długości przeciwległych boków tego czworokąta są równe. Można także pokazać, że jeżeli sumy długości przeciwległych boków czworokąta są równe, to w ten czworokąt można wpisać okrąg. 34 Rozdział 1. Wielokąty i okręgi B Zadania utrwalające 1 Wskaż, w który z wielokątów wpisano okrąg. Uzasadnij odpowiedź. a) b) c) d) e) f) 2 Wpisz okrąg w trójkąt: a) o bokach długości 4 cm, 5 cm i 6 cm, b) prostokątny o przyprostokątnych długości 4 cm i 6 cm, c) równoramienny o bokach długości 6 cm, 6 cm i 8 cm. 3 Wykonaj odpowiednie obliczenia, a następnie oceń prawdziwość zdań. a) Długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o boku długości 3 dm jest równy 3 dm. TAK NIE b) Długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku długości 9 m jest równy 3 3 m. TAK NIE c) Długość okręgu wpisanego w kwadrat o przekątnej długości 13 2 cm wynosi 13π cm. TAK NIE d) Długość okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny o obwodzie 27 dm jest równa 3π TAK NIE Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku długości: 4 a) 6 cm, b) 15 cm, c) 8 2 cm, d) 4 3 cm . 1.2. Okrąg wpisany w wielokąt 35 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny o polu równym: 5 a) 6 3 cm2, 6 b) 25 3 cm2, c) 4 3 cm2 , d) 24 3 cm2 . Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o boku długości: a) 4 cm, b) 18 cm, c) 6 2 cm, d) 7 6 cm . 7 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o polu równym: a) 64 cm2, b) 144 cm2 , c) 24 cm2, d) 50 cm2. 8 Oblicz długość okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku długości: a) 3 cm, 9 b) 12 cm , c) 12 3 cm , d) 10 6 cm . b) 10 cm , c) 8 2 cm, d) 10 3 cm . Oblicz pole koła wpisanego w kwadrat o boku długości: a) 5 cm, 12 d) 5 6 cm. Oblicz długość okręgu wpisanego w kwadrat o boku długości: a) 4 cm , 11 c) 9 3 cm, Oblicz pole koła wpisanego w trójkąt równoboczny o boku długości: a) 4 cm , 10 b) 7 cm, b) 16 cm , c) 14 3 cm , d) 6 6 cm. Oblicz pole koła wpisanego w trójkąt prostokątny równoramienny o przeciw- prostokątnej długości 12 2 cm . 13 Oblicz długość okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 6 cm i 8 cm. 36 Rozdział 1. Wielokąty i okręgi 1.3. Wielokąty foremne Zamek Krzyżtopór został zbudowany na planie pięciokąta foremnego. Plaster miodu przypomina Wieża widokowa w Do- ułożone obok siebie grabromierzu została zbudo- niastosłupy o podstawie wana na planie ośmiokąta będącej sześciokątem foforemnego. remnym. Obiekt w Ludwikowicach Kłodzkich — pozostałość po niemieckiej zabudowie przemysłowej — został zbudowany na planie wielokąta foremnego. Wielokątem foremnym nazywamy taki wielokąt, którego wszystkie boki są jednakowej długości i wszystkie kąty wewnętrzne mają równe miary. Oczka w siatce bramki mają kształt sześciokąta foremnego. Na każdym wielokącie foremnym można opisać okrąg i w każdy wielokąt foremny można wpisać okrąg. W wielokącie foremnym środek okręgu wpisanego w ten wielokąt jest także środkiem okręgu opisanego na tym wielokącie. 1.3. Wielokąty foremne 37 Przykład 1.21. Oblicz miarę kąta wewnętrznego ośmiokąta foremnego. Każdy wielokąt foremny jest zbudowany z przystających trójkątów równoramiennych. Ramiona tych trójkątów zawierają się w dwusiecznych kątów wewnętrznych (które wyznaczają środek okręgu wpisanego i opisanego). ʂ ʃ ʂ ʂ ʃ ʂ ʂ ʂ ʂ ʂ ʂ Zatem kąt β jest równy 360° : 8 = 45°. α Kąty przy podstawie trójkąta są równe = (180° − 45° ) : 2 = 67,5° . 2 Kąt α ma miarę 135°. 360° Miara kąta wewnętrznego wielokąta foremnego jest równa 180° − , gdzie n n oznacza liczbę boków tego wielokąta. Przykład 1.22. Oblicz miarę kąta wewnętrznego dwudziestokąta foremnego. 360° n 360° α = 180° − 20 α = 180° − 18° α = 162° α = 180° − Miara kąta wewnętrznego dwudziestokąta foremnego wynosi 162°. Przykład 1.23. Oblicz, ile boków ma wielokąt foremny, którego kąt wewnętrzny ma miarę 150°. 360° n 360° 150° = 180° − n 360° 150° − 180° = − n α = 180° − 38 Rozdział 1. Wielokąty i okręgi −30° = − 360° / ⋅n n −30°⋅ n = −360° / : ( −30° ) n = 12 Wielokąt foremny, którego kąt wewnętrzny ma miarę 150°, ma 12 boków. Przykład 1.24. Narysuj pięciokąt foremny o boku długości a. Pięciokąt foremny można podzielić na pięć przystających trójkątów równoramiennych o kątach: 72°, 54°, 54°. Odmierzamy odcinek AB o długości a. " # Rysujemy trójkąt równoramienny ABC o podstawie AB i kącie przy podstawie o mierze 54°. $ " # C 72° Odmierzamy za pomocą kątomierza kąt o mierze 72° o wierzchołku C i ramieniu CB. 72° A Rysujemy kolejne trzy kąty B 72° 72° C 72° 72° o mierze 72° . 72° A B Rysujemy okrąg o środku w punkcie C i promieniu długości odcinka AC. Wierzchołki pięciokąta to punkty przecięcia się okręgu z ramionami kątów. 72° 72° C 72° 72° 72° A Łączymy odcinkami kolejne wierzchołki pięciokąta. B $ " # 1.3. Wielokąty foremne 39 Przykład 1.25. Narysuj okrąg o promieniu r. Korzystając z cyrkla i linijki, skonstruuj ośmiokąt foremny wpisany w ten okrąg. Wierzchołki ośmiokąta foremnego wpisanego w okrąg leżą na tym okręgu. W narysowanym okręgu poprowadziłem prostopadłe średnice, a następnie dwusieczne otrzymanych kątów prostych. Narysowane odcinki i proste przecinają okrąg w ośmiu punktach, które są wierzchołkami ośmiokąta. r r Przykład 1.26. Narysuj sześciokąt foremny o boku długości 3 cm. Oblicz długości jego przekątnych. a a a a a a a a a Sześciokąt foremny jest zbudowany z sześciu przystających trójkątów równobocznych. a a a A Ponieważ długość promienia okręgu opisanego na sześciokącie foremnym jest równa długości boku tego sześciokąta, rysujemy okrąg o promieniu długości 3 cm. Na okręgu zaznaczamy dowolny punkt A, który będzie wierzchołkiem sześciokąta. A B 40 Rozdział 1. Wielokąty i okręgi Przy użyciu cyrkla, począwszy od punktu A, rysujemy łuk okręgu o promieniu długości 3 cm i otrzymujemy drugi wierzchołek sześciokąta (B). A F W ten sam sposób znajdujemy pozostałe cztery wierzchołki wielokąta, rysując łuk okręgu o promieniu długości 3 cm z kolejno otrzymywanych wierzchołków C, D i E. B E C A D F B Łączymy odcinkami wierzchołki sześciokąta. E C D " Sześciokąt ma dziewięć przekątnych. Trzy z nich mają długość równą długości średnicy okręgu opisanego na tym sześciokącie (łączą co trzeci wierzchołek, tworząc przekątne: AD, BE, CF). Pozostałe przekątne są krótsze (łączą co drugi wierzchołek, tworząc przekątne: AE, AC, BE, BD, CE, DF). ' # & $ % " ' # AD = BE = CF = 6 cm Długość dłuższej przekątnej tego sześciokąta foremnego jest równa 6 cm. & $ % " Odcinek AE jest sumą długości dwóch wysokości trójkątów równobocznych, z których zbudowany jest sześciokąt foremny. 3 3 h= 2 3 3 AE = 2h = 2 ⋅ =3 3 2 Długość krótszej przekątnej tego sześciokąta foremnego ' # & $ % jest równa 3 3 cm . 1.3. Wielokąty foremne 41 Przykład 1.27. Oblicz obwód i pole sześciokąta foremnego o boku długości 12 cm. Sześciokąt foremny jest zbudowany z sześciu przystających trójkątów równobocznych. a2 3 Pole sześciokąta foremnego jest równe 6 ⋅ 4 Obwód sześciokąta foremnego jest równy 6a Obliczyłem pole sześciokąta foremnego o boku długości 12 cm. P = 6⋅ a2 3 4 P = 6⋅ 122 3 144 3 = 6⋅ = 6 ⋅ 36 3 = 216 3 4 4 Obliczyłem obwód tego sześciokąta foremnego. obwód = 6 ⋅12 = 72 Pole tego sześciokąta foremnego jest równe 216 3 cm2, a jego obwód wynosi 72 cm. Przykład 1.28. Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku długości 6 cm. r 42 Rozdział 1. Wielokąty i okręgi Długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku długości a jest równa długości wysokości trójkąta równobocznego o boku długości a. h= r =h r= a 3 2 6 3 =3 3 2 Długość promienia okręgu wpisanego w ten sześciokąt foremny jest równa 3 3 cm . Dla trójkąta równobocznego, kwadratu i sześciokąta foremnego wyznaczyłam zależności pomiędzy długością promienia okręgu opisanego na tych wielokątach oraz długością promienia okręgu wpisanego w te wielokąty a długością ich boków. Trójkąt równoboczny rw = a 3 6 ro = Kwadrat 1 rw = a 2 a 3 3 Sześciokąt foremny ro = a 2 2 rw = a 3 2 B B B SP B SP B B SX B SP B SX B ro = a B B SX B B Zadania utrwalające 1 Oblicz miary kątów wewnętrznych: a) pięciokąta foremnego, b) dwunastokąta foremnego, c) piętnastokąta foremnego. 2 Podaj, ile boków ma wielokąt foremny, którego kąt wewnętrzny ma miarę: a) 120°, 3 b) 144°, c) 168°, d) 174°. Oblicz długość krótszej przekątnej sześciokąta foremnego o boku długości: a) 12 cm, b) 15 cm, c) 27 cm. 1.3. Wielokąty foremne 43 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o boku długości: 4 a) 4 cm , 5 b) 10 cm , c) 2 3 cm, d) 3 6 cm, Oblicz długość okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o boku długości: a) 4 cm , b) 3 3 cm , c) 2 5 cm, d) 5 6 cm. 6 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w okrąg, którego długość jest równa: a) 4π cm , b) 6π cm, c) 14π cm , d) 24π cm . 7 Oblicz pole koła opisanego na sześciokącie foremnym o boku długości: a) 7 cm, 8 b) 13 cm , c) 4 2 cm , d) 5 3 cm . Oblicz długość boku sześciokąta foremnego opisanego na kole o polu równym: a) 9π cm2 , b) 36π cm2 , c) 84π cm2 , d) 150π cm2 . Oblicz długość promienia okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o polu równym: 27 3 d) 36 3 cm2. c) 12 3 cm 2 , a) 24 3 cm2 , b) cm2, 2 9 10 Oblicz pole koła wpisanego w sześciokąt foremny o boku długości: a) 6 cm, 11 c) 3 3 cm , d) 6 cm . Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na kole o promieniu długości: a) 6 cm, 12 b) 8 cm, b) 15 cm , c) 3 6 cm, d) 4 3 cm . Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na kole o polu: a) 16π cm2 , b) 144π cm2 , c) 80π cm2 , d) 36π cm2. Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na okręgu, którego długość jest równa: 13 a) 2π cm , 14 c) 12π cm, d) 16π cm. Oblicz długość okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku długości: a) 2 cm, 44 b) 8π cm , Rozdział 1. Wielokąty i okręgi b) 8 cm, c) 2 3 cm, d) 4 7 cm . Oblicz pole sześciokąta foremnego, gdy krótsza przekątna tego sześciokąta jest równa: 15 a) 6 cm, b) 15 cm , c) 3 3 cm , d) 3 6 cm. Oblicz długość średnicy okręgu opisanego na sześciokącie foremnym, gdy długość krótszej przekątnej tego sześciokąta jest równa: 16 a) 4 3 cm , b) 9 cm , c) 2 6 cm, d) 21 cm . Oblicz obwód sześciokąta foremnego opisanego na okręgu, którego długość jest równa: b) 26π cm , c) 12π cm , d) 25π cm. a) 10π cm, 17 18 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w koło o polu: a) 9π cm2 , 19 b) 64π cm2, c) 24π cm2, d) 108π cm2 . Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w koło o promieniu długości: a) 6 cm, b) 9 cm, c) 3 3 cm , d) 4 5 cm . Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o polu równym: 75 3 c) cm2 , a) 6 3 cm2, d) 144 3 cm2 . b) 96 3 cm2, 2 20 21 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku długości: a) 6 cm, b) 11 cm , c) 6 3 cm, d) 2 15 cm . 22 Oblicz stosunek pola koła wpisanego w wielokąt do pola koła opisanego na tym wielokącie, gdy wielokąt jest: a) kwadratem o boku długości b, b) trójkątem równobocznym o boku długości b, c) sześciokątem foremnym o boku długości b. Zadania do rozwiązywania w grupie Na okręgu o promieniu długości a opisano trójkąt równoboczny, kwadrat i sześciokąt foremny. a) Wykonajcie odpowiedni rysunek. b) Wyznaczcie stosunek długości obwodów tych wielokątów. c) Wyznaczcie stosunek pól tych wielokątów. 1.3. Wielokąty foremne 45 1.4. Krok do egzaminu Zadania powtórzeniowe 1 Oblicz miarę kąta wewnętrznego osiemnastokąta foremnego. 2 Oblicz sumę miar kątów wewnętrznych pięciokąta foremnego. 3 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na trójkącie równobocznym o boku długości 1,5 dm. 4 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny o obwodzie 36 cm. 5 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o polu 196 cm2. 6 Oblicz długość średnicy okręgu wpisanego w kwadrat o przekątnej długości 18 cm. 7 Oblicz obwód koła opisanego na trójkącie prostokątnym równoramiennym, którego ramiona mają długość 8 cm. 8 W prostokącie stosunek długości boków jest równy 3 : 4. Oblicz pole i obwód tego prostokąta, jeżeli długość średnicy okręgu opisanego na tym prostokącie wynosi 20 cm. 9 Pole koła opisanego na sześciokącie foremnym jest o 9π cm2 większe od pola koła wpisanego w ten sześciokąt. Oblicz długość boku tego sześciokąta foremnego. 10 W okrąg o promieniu długości 13 cm wpisano trójkąt. Środek okręgu leży na jednym 5 z boków trójkąta. Stosunek długości pozostałych boków tego trójkąta jest równy . 12 Oblicz pole i obwód trójkąta. 11 Oblicz pole zamalowanej części koła, jeżeli jego średnica ma długość 10 cm, a trójkąt wpisany w to koło jest równoboczny. 12 Na okręgu opisano kwadrat o boku długości 6 dm. Następnie na tym kwadracie opisano okrąg. Oblicz: a) pole powstałego pierścienia kołowego, b) stosunek długości okręgu opisanego na kwadracie do długości okręgu wpisanego w ten kwadrat. 13 W trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 15 cm i 20 cm wpisano koło. Oblicz długość promienia tego koła. 14 W trapez równoramienny, w którym kąty przy podstawie mają miarę 60° , wpisano koło o promieniu długości 3 cm. Oblicz obwód i pole tego trapezu. 46 Rozdział 1. Wielokąty CZĘŚĆ I i okręgi 15 Oblicz pole zacieniowanej figury. a) kwadrat b) trójkąt równoboczny DN c) trójkąt równoboczny 15 cm 6 cm 16 Narysowano trójkąt równoboczny o boku długości 9 cm. Następnie narysowano okrąg, który podzielił każdy bok tego trójkąta na trzy równe części. Oblicz długość promienia tego okręgu. 17 Obwód sześciokąta foremnego jest o 21 cm mniejszy od długości okręgu opisanego na tym sześciokącie. Oblicz długość tego okręgu. Przyjmij π ≈ 3,14. 18 Oblicz pole trójkąta równobocznego opisanego na kole, w które wpisano kwadrat o boku długości 6 cm. 19 W trójkąt równoramienny wpisano koło. Oblicz pole tego koła, jeżeli ramiona trójkąta mają długość 8 cm, a kąty przy podstawie mają miarę 30°. Test 1 Oceń prawdziwość zdań. a) Środek okręgu wpisanego w trójkąt znajduje się w punkcie przecięcia wysokości tego trójkąta. TAK NIE b) Środek okręgu wpisanego w trójkąt znajduje się w punkcie przecięcia dwusiecznych kątów tego trójkąta. TAK NIE c) Środek okręgu opisanego na trójkącie znajduje się w punkcie przecięcia środkowych tego trójkąta. TAK NIE d) Środek okręgu opisanego na trójkącie znajduje się w punkcie przecięcia symetralnych boków tego trójkąta. TAK NIE e) Środek okręgu opisanego na kwadracie znajduje się w punkcie przecięcia przekątnych tego kwadratu. TAK NIE 2 W kwadrat o boku długości 5 cm wpisano koło. Promień tego koła ma długość A. 5 2 cm B. 2,5 2 cm C. 5 cm D. 2,5 cm 3 Długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku długości 16 cm jest równa 8 3 16 3 cm A. cm C. B. 4 3 cm D. 64 3 cm 3 3 1.4. Krok do egzaminu 47 4 Pole koła jest równe 12 cm A. 27π cm2 12 cm B. 36π cm2 C. 144π cm2 12 cm D. 48π cm2 5 Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długość 4 cm i 6 cm. Długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie jest równa A. 25 cm B. 5 cm C. 13 cm D. 2 13 cm 6 Promień okręgu wpisanego w sześciokąt foremny ma długość 15 cm. Długość promienia okręgu opisanego na tym sześciokącie jest równa A. 10 3 cm B. 15 cm C. 15 3 cm 2 7 W koło o promieniu długości 10 cm wpisano trójkąt tak, że jego najdłuższy bok jest średnicą tego okręgu. Pole trójkąta jest równe D. 3 1 cm 2 16 cm A. 60 cm2 10 cm B. 80 cm2 C. 96 cm2 D. 192 cm2 8 Na kwadracie o polu 196 cm2 opisano koło. Długość okręgu jest równa A. 14π cm B. 28π cm C. π cm D. π cm 9 Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym ma długość 8 3 cm . Bok tego trójkąta ma długość A. 16 cm B. 24 cm C. 48 cm D. 96 cm 10 Pole sześciokąta foremnego jest równe 36 3 cm2 . Długość promienia okręgu wpisa- nego w ten sześciokąt jest równa A. 3 2 cm B. 2 6 cm C. 6 3 cm D. 3 6 cm 11 Z trójkąta równobocznego wycięto wpisane w ten trójkąt koło o promieniu długości 2 3 cm . Oblicz pole części trójkąta pozostałej po wycięciu koła. 12 Na kwadracie o boku długości 14 cm opisano okrąg. W ten kwadrat wpisano też okrąg. Oblicz stosunek długości promienia okręgu opisanego na kwadracie do długości promienia okręgu wpisanego w ten kwadrat. 13 Trójkąt równoboczny, kwadrat i sześciokąt foremny mają boki o tej samej długości — ta długość wynosi 6 cm. a) Oblicz pole koła wpisanego w każdą z tych figur. b) Oblicz stosunek pola koła wpisanego w trójkąt do pola koła wpisanego w kwadrat do pola koła wpisanego w sześciokąt. 48 Rozdział 1. Wielokąty i okręgi