Estymacja przedziałowa Niech X = (X 1,...,Xn) będzie próbą z

Estymacja przedziałowa
Niech X = (X1 , . . . , Xn ) będzie próbą z rozkładu Pθ należącego do rodziny rozkładów P =
{Pθ : θ ∈ Θ}.
Definicja 1. Niech P (T1 (X) < T2 (X)) = 1. Mówimy, że [T1 (X), T2 (X)] jest 100(1 − α)%
przedziałem ufności dla parametru θ ∈ Θ, jeżeli
∀θ∈Θ
Pθ (T1 (X) ≤ θ ≤ T2 (X)) ≥ 1 − α,
dla zadanego α ∈ (0, 1).
Definicja 2. Niech P (T1 (X) < T2 (X)) = 1. Mówimy, że [T1 (X), T2 (X)] jest 100(1 − α)%
asymptotycznym przedziałem ufności dla parametru θ ∈ Θ, jeżeli
∀θ∈Θ
lim Pθ (T1 (X) ≤ θ ≤ T2 (X)) ≥ 1 − α,
n−→∞
dla zadanego α ∈ (0, 1).
Zmienne losowe T1 i T2 nazywają się odpowiednio dolnym i górnym końcem lub granicą
przedziału ufności. Wartość współczynnika 1 − α nazywa się poziomem ufności.
Definicja 3. Niech X1 , . . . , Xn będzie próbą z rozkładu Pθ , θ ∈ Θ. Funkcja Q(X1 , . . . , Xn , θ)
nazywa się funkcją centralną lub wiodącą dla parametru θ, jeżeli jej rozkład prawdopodobieństwa nie zależy od θ.
Konstrukcja przedziału ufności
Załóżmy, że dysponujemy funkcją centralną Q(X1 , . . . , Xn , θ) parametru θ. Przedział ufności
dla parametru θ ∈ Θ konstruujemy następująco:
• wybieramy liczby a i b tak, aby spełniały one równość
Pθ (a ≤ Q(X1 , . . . , Xn , θ) ≤ b) = 1 − α,
dla każdego θ ∈ Θ i zadanego α ∈ (0, 1). Mamy więc
1 − α = FQ (b) − FQ (a).
(1)
Wystarczy teraz dobrać α1 , α2 tak, aby α1 + α2 = α. Wówczas
a = FQ−1 (α1 ),
b = FQ−1 (1 − α2 ),
co daje nam (1). W ten sposób możemy utworzyć nieskończenie wiele przedziałów ufności.
W praktyce przyjmuje się α1 = α2 = 21 α.
• Gdy Q(X1 , . . . , Xn , θ) jest ciągłą i ściśle monotoniczną funkcją parametru θ, to nierówność
a ≤ Q ≤ b jest równoważna nierówności
L(X1 , . . . , Xn , a, b) ≤ θ ≤ U (X1 , . . . , Xn , a, b).
Stąd
[L(X1 , . . . , Xn , a, b), U (X1 , . . . , Xn , a, b)]
jest 100(1 − α)% przedziałem ufności dla parametru θ ∈ Θ.
1
Poniższe twierdzenie pozwala wyznaczyć przedział ufności o najkrótszej długości.
Twierdzenie 1. Załóżmy, że f jest ciągłą gęstością i g jest dodatnią funkcją ciągłą. Całka
Z
g(x)dx
C
przy warunku pobocznym
Z
f (x)dx = 1 − α,
α ∈ (0, 1)
(2)
C
osiąga minimum dla C postaci
C=
f (x)
>λ ,
x:
g(x)
gdzie λ dobrana jest tak, by spełniona była równość (2).
Metoda stabilizacji wariancji
Załóżmy, że
√
n(θ̂ − θ) −→d N (0, σ 2 (θ)).
Z metody delta mamy, że
√
n(g(θ̂) − g(θ)) −→d N (0, (g 0 (θ))2 σ 2 (θ)).
Należy tak dobrać funkcję g(θ), aby asymptotyczna wariancja estymatora g(θ̂) nie zależała od
θ. Zatem musi być spełnione:
(g 0 (θ))2 σ 2 (θ) = c2 ,
dla pewnej stałej c, co implikuje
Z
g(θ) =
c
dθ.
σ(θ)
Wówczas mamy
φ−1 (1 − α/2)c
φ−1 (1 − α/2)c
√
√
≤ g(θ) ≤ g(θ̂) +
lim Pθ g(θ̂) −
= 1 − α.
n−→∞
n
n
Jeżeli g(θ) jest funkcją rosnącą, to przedział ufności dla g(θ) możemy bez trudu przekształcić
na przedział ufności dla samego parametru θ (i odwrotnie).
2