Kwantowe kody korekcyjne

Wstęp
Kwantowe kody korekcyjne
Teoria kwantowej korekcji błędów
Fault-tolerant quantum computation
Kwantowe kody korekcyjne
Patryk Obara
24 maja 2007
Wstęp
Kwantowe kody korekcyjne
Teoria kwantowej korekcji błędów
Fault-tolerant quantum computation
Kody korekcyjne
Po co to?
Kody korekcyjne istnieją w celu umożliwienia przesyłu informacji
poprzez medium (analogowe lub cyfrowe) podatne na zakłócenia.
Aby zabezpieczyć wiadomość kodujemy ją, dodając redundantną
informację, a następnie odkodowujemy.
Wstęp
Kwantowe kody korekcyjne
Kody korekcyjne
Teoria kwantowej korekcji błędów
Fault-tolerant quantum computation
Wstęp
Kwantowe kody korekcyjne
Teoria kwantowej korekcji błędów
Fault-tolerant quantum computation
Kody korekcyjne
Prosty kod korekcyjny
Zakładamy, że chcemy przesłać 1 bit przez kanał podatny na
zakłócenia. Prawdopodobieństwa wystąpienia bit-flip wynosi p.
Wstęp
Kwantowe kody korekcyjne
Teoria kwantowej korekcji błędów
Fault-tolerant quantum computation
Kody korekcyjne
Prosty kod korekcyjny
Zakładamy, że chcemy przesłać 1 bit przez kanał podatny na
zakłócenia. Prawdopodobieństwa wystąpienia bit-flip wynosi p.
0 → 000
1 → 111
Wstęp
Kwantowe kody korekcyjne
Teoria kwantowej korekcji błędów
Fault-tolerant quantum computation
Kody korekcyjne
Prosty kod korekcyjny
Zakładamy, że chcemy przesłać 1 bit przez kanał podatny na
zakłócenia. Prawdopodobieństwa wystąpienia bit-flip wynosi p.
0 → 000
1 → 111
Jeśli założymy, że bit-flip wystąpi na co najwyżej jednym bicie to
bez trudu możemy rozszyfrować wiadomość.
Wstęp
Kwantowe kody korekcyjne
Teoria kwantowej korekcji błędów
Fault-tolerant quantum computation
Kody korekcyjne
Prosty kod korekcyjny
Zakładamy, że chcemy przesłać 1 bit przez kanał podatny na
zakłócenia. Prawdopodobieństwa wystąpienia bit-flip wynosi p.
0 → 000
1 → 111
Jeśli założymy, że bit-flip wystąpi na co najwyżej jednym bicie to
bez trudu możemy rozszyfrować wiadomość.
Prawdopodobieństwo bit-flip na więcej niż jednym bicie wynosi
3p 2 (1 − p) + p 3 czyli prawdopodobieństwo błędu w zaszyfrowanej
wiadomości wynosi pc = 3p 2 − 2p 3 , zatem jeśli p < 12 to pc < p.
Wstęp
Kwantowe kody korekcyjne
Teoria kwantowej korekcji błędów
Fault-tolerant quantum computation
Niestety nie możemy postąpić w ten sam sposób z informacją
kwantową.
No cloning, nie możemy porównać stanów kwantowych
Wstęp
Kwantowe kody korekcyjne
Teoria kwantowej korekcji błędów
Fault-tolerant quantum computation
Niestety nie możemy postąpić w ten sam sposób z informacją
kwantową.
No cloning, nie możemy porównać stanów kwantowych
continuum możliwych błędów na jednym qubicie
Wstęp
Kwantowe kody korekcyjne
Teoria kwantowej korekcji błędów
Fault-tolerant quantum computation
Niestety nie możemy postąpić w ten sam sposób z informacją
kwantową.
No cloning, nie możemy porównać stanów kwantowych
continuum możliwych błędów na jednym qubicie
pomiar niszczy informację przechowywaną w stanie qubitu
Wstęp
Kwantowe kody korekcyjne
Teoria kwantowej korekcji błędów
Fault-tolerant quantum computation
The three qubit flip code
bit-flip
Chcemy przesłać qubit przez taki kanał, że z
prawdopodobieństwem p nastąpi bit-flip czyli:
|ψi zmieni się w X |ψi, gdzie X - Pauli sigma operator.
Wstęp
Kwantowe kody korekcyjne
Teoria kwantowej korekcji błędów
Fault-tolerant quantum computation
The three qubit flip code
bit-flip
Chcemy przesłać qubit przez taki kanał, że z
prawdopodobieństwem p nastąpi bit-flip czyli:
|ψi zmieni się w X |ψi, gdzie X - Pauli sigma operator.
a|0i + b|1i → a|000i + b|111i
Wstęp
Kwantowe kody korekcyjne
Teoria kwantowej korekcji błędów
Fault-tolerant quantum computation
The three qubit flip code
bit-flip
Chcemy przesłać qubit przez taki kanał, że z
prawdopodobieństwem p nastąpi bit-flip czyli:
|ψi zmieni się w X |ψi, gdzie X - Pauli sigma operator.
a|0i + b|1i → a|000i + b|111i
Wstęp
Kwantowe kody korekcyjne
Teoria kwantowej korekcji błędów
Fault-tolerant quantum computation
The three qubit flip code
Pomiar syndromu błędu
Wykonujemy częściowy pomiar za pomocą projektora, w celu
sprawdzenia, czy wystąpił błąd.
Wstęp
Kwantowe kody korekcyjne
Teoria kwantowej korekcji błędów
Fault-tolerant quantum computation
The three qubit flip code
Pomiar syndromu błędu
Wykonujemy częściowy pomiar za pomocą projektora, w celu
sprawdzenia, czy wystąpił błąd.
P0
P1
P2
P3
= |000ih000| + |111ih111|
= |100ih100| + |011ih011|
= |010ih010| + |101ih101|
= |001ih001| + |110ih110|
Wstęp
Kwantowe kody korekcyjne
Teoria kwantowej korekcji błędów
Fault-tolerant quantum computation
The three qubit flip code
Pomiar syndromu błędu
Wykonujemy częściowy pomiar za pomocą projektora, w celu
sprawdzenia, czy wystąpił błąd.
P0
P1
P2
P3
= |000ih000| + |111ih111|
= |100ih100| + |011ih011|
= |010ih010| + |101ih101|
= |001ih001| + |110ih110|
Przyjmijmy, że bit-flip wystąpił na pierwszym qubicie:
X |ψi = a|100i + b|011i
Wstęp
Kwantowe kody korekcyjne
Teoria kwantowej korekcji błędów
Fault-tolerant quantum computation
The three qubit flip code
Pomiar syndromu błędu
Wykonujemy częściowy pomiar za pomocą projektora, w celu
sprawdzenia, czy wystąpił błąd.
P0
P1
P2
P3
= |000ih000| + |111ih111|
= |100ih100| + |011ih011|
= |010ih010| + |101ih101|
= |001ih001| + |110ih110|
Przyjmijmy, że bit-flip wystąpił na pierwszym qubicie:
X |ψi = a|100i + b|011i
w tym przypadku: hψ|P1 |ψi = 1
zatem pomiar wyznacza nam błąd, jaki wystąpił.
Wstęp
Kwantowe kody korekcyjne
Teoria kwantowej korekcji błędów
Fault-tolerant quantum computation
The three qubit flip code
Pomiar syndromu błędu
Wykonujemy częściowy pomiar za pomocą projektora, w celu
sprawdzenia, czy wystąpił błąd.
P0
P1
P2
P3
= |000ih000| + |111ih111|
= |100ih100| + |011ih011|
= |010ih010| + |101ih101|
= |001ih001| + |110ih110|
Przyjmijmy, że bit-flip wystąpił na pierwszym qubicie:
X |ψi = a|100i + b|011i
w tym przypadku: hψ|P1 |ψi = 1
zatem pomiar wyznacza nam błąd, jaki wystąpił.
Pi - bit flip na i-tym qubicie zakodowanej informacji
Wstęp
Kwantowe kody korekcyjne
Teoria kwantowej korekcji błędów
Fault-tolerant quantum computation
The three qubit flip code
Pomiar syndromu błędu
Wykonujemy częściowy pomiar za pomocą projektora, w celu
sprawdzenia, czy wystąpił błąd.
P0
P1
P2
P3
= |000ih000| + |111ih111|
= |100ih100| + |011ih011|
= |010ih010| + |101ih101|
= |001ih001| + |110ih110|
Przyjmijmy, że bit-flip wystąpił na pierwszym qubicie:
X |ψi = a|100i + b|011i
w tym przypadku: hψ|P1 |ψi = 1
zatem pomiar wyznacza nam błąd, jaki wystąpił.
Pi - bit flip na i-tym qubicie zakodowanej informacji
Pomiar syndromu błędu nie nie powoduje zmiany stanu qubitu.
Wstęp
Kwantowe kody korekcyjne
Teoria kwantowej korekcji błędów
Fault-tolerant quantum computation
The three qubit flip code
Korekcja błędu
Zależnie od błędu, który wykryliśmy naprawiamy stan qubitu.
Wstęp
Kwantowe kody korekcyjne
Teoria kwantowej korekcji błędów
Fault-tolerant quantum computation
The three qubit flip code
Korekcja błędu
Zależnie od błędu, który wykryliśmy naprawiamy stan qubitu.
Analogicznie jak do przykładu dla klasycznej informacji,
prawdopodobieństwo błędu wynosi pc = 3p 2 − 2p 3 , zatem jeśli
p < 12 to pc < p.
Wstęp
Kwantowe kody korekcyjne
Teoria kwantowej korekcji błędów
Fault-tolerant quantum computation
The three qubit flip code
Korekcja błędu
Zależnie od błędu, który wykryliśmy naprawiamy stan qubitu.
Analogicznie jak do przykładu dla klasycznej informacji,
prawdopodobieństwo błędu wynosi pc = 3p 2 − 2p 3 , zatem jeśli
p < 12 to pc < p.
Niestety, są błędy których w ten sposób nie poprawimy . . .
Wstęp
Kwantowe kody korekcyjne
Teoria kwantowej korekcji błędów
Fault-tolerant quantum computation
The three qubit phase flip code
phase-flip
Chcemy przesłać qubit przez taki kanał, że z
prawdopodobieństwem p nastąpi phase-flip czyli a|0i + b|1i
przejdzie w a|0i − b|1i.
Wstęp
Kwantowe kody korekcyjne
Teoria kwantowej korekcji błędów
Fault-tolerant quantum computation
The three qubit phase flip code
phase-flip
Chcemy przesłać qubit przez taki kanał, że z
prawdopodobieństwem p nastąpi phase-flip czyli a|0i + b|1i
przejdzie w a|0i − b|1i.
Wstęp
Kwantowe kody korekcyjne
Teoria kwantowej korekcji błędów
Fault-tolerant quantum computation
The three qubit phase flip code
Pomiar i korekcja phase-flip
Pomiar oraz poprawienie błędu znów zachodzi analogicznie, z tym
że teraz dodatkowo posługujemy się bramkami Hadamarda.
Wstęp
Kwantowe kody korekcyjne
Teoria kwantowej korekcji błędów
Fault-tolerant quantum computation
The three qubit phase flip code
Pomiar i korekcja phase-flip
Pomiar oraz poprawienie błędu znów zachodzi analogicznie, z tym
że teraz dodatkowo posługujemy się bramkami Hadamarda.
Pj → H ⊗3 Pj H ⊗3
Wstęp
Kwantowe kody korekcyjne
Teoria kwantowej korekcji błędów
Fault-tolerant quantum computation
The three qubit phase flip code
Pomiar i korekcja phase-flip
Pomiar oraz poprawienie błędu znów zachodzi analogicznie, z tym
że teraz dodatkowo posługujemy się bramkami Hadamarda.
Pj → H ⊗3 Pj H ⊗3
prawdopodobieństwo wystąpienia błędu liczymy analogicznie. . .
Wstęp
Kwantowe kody korekcyjne
Teoria kwantowej korekcji błędów
Fault-tolerant quantum computation
kod Shora
Złożenie bit-flip i phase-flip
Skoro potrafimy zabezpieczyć się przed bit-flip i phase-flip to
czemu nie przed oboma?
Wstęp
Kwantowe kody korekcyjne
Teoria kwantowej korekcji błędów
Fault-tolerant quantum computation
kod Shora
Złożenie bit-flip i phase-flip
Skoro potrafimy zabezpieczyć się przed bit-flip i phase-flip to
czemu nie przed oboma?
|0i →
|1i →
(|000i+|111i)(|000i+|111i)(|000i+|111i)
√
2 2
(|000i−|111i)(|000i−|111i)(|000i−|111i)
√
2 2
Wstęp
kod Shora
Kwantowe kody korekcyjne
Teoria kwantowej korekcji błędów
Fault-tolerant quantum computation
Wstęp
Kwantowe kody korekcyjne
Teoria kwantowej korekcji błędów
Fault-tolerant quantum computation
kod Shora
Podsumowanie kodu Shora
Dowolny błąd możemy wyrazić jako bit-flip i phase-flip!
Wstęp
Kwantowe kody korekcyjne
Teoria kwantowej korekcji błędów
Fault-tolerant quantum computation
kod Shora
Podsumowanie kodu Shora
Dowolny błąd możemy wyrazić jako bit-flip i phase-flip!
Zatem kod Shora może naprawić dowolny z continuum różnych
błędów, jakie mogą pojawić się na qubicie.
Wstęp
Kwantowe kody korekcyjne
Teoria kwantowej korekcji błędów
Fault-tolerant quantum computation
kod Shora
Podsumowanie kodu Shora
Dowolny błąd możemy wyrazić jako bit-flip i phase-flip!
Zatem kod Shora może naprawić dowolny z continuum różnych
błędów, jakie mogą pojawić się na qubicie.
Zakładaliśmy, że błąd może się pojawić na co najwyżej jednym
qubicie zakodowanej informacji, oraz że bramki kodujące nie
wprowadzają nowych błędów.
Wstęp
Kwantowe kody korekcyjne
Teoria kwantowej korekcji błędów
Fault-tolerant quantum computation
Założenia
Kod Shora jest prostym przykładem na to, że kodowanie informacji
kwantowej jest możliwe.
Wstęp
Kwantowe kody korekcyjne
Teoria kwantowej korekcji błędów
Fault-tolerant quantum computation
Założenia
Kod Shora jest prostym przykładem na to, że kodowanie informacji
kwantowej jest możliwe.
W takim razie spróbujmy to zgeneralizować, abyśmy mieli jakąś
podstawę do konstruowania nowych kodów korekcyjnych.
za pomocą operacji unitarnych kodujemy stan układu
kwantowego (czyli przekształcamy przestrzeń Hilberta w
podprzestrzeń większej przestrzeni Hilberta).
po zakodowaniu informacja jest podatna na przekłamania
Wstęp
Kwantowe kody korekcyjne
Teoria kwantowej korekcji błędów
Fault-tolerant quantum computation
Założenia
Kod Shora jest prostym przykładem na to, że kodowanie informacji
kwantowej jest możliwe.
W takim razie spróbujmy to zgeneralizować, abyśmy mieli jakąś
podstawę do konstruowania nowych kodów korekcyjnych.
za pomocą operacji unitarnych kodujemy stan układu
kwantowego (czyli przekształcamy przestrzeń Hilberta w
podprzestrzeń większej przestrzeni Hilberta).
po zakodowaniu informacja jest podatna na przekłamania
rozpoznajemy błąd który wystąpił i zależnie od tego, co
wykryliśmy – naprawiamy informację.
Wstęp
Kwantowe kody korekcyjne
Teoria kwantowej korekcji błędów
Fault-tolerant quantum computation
Założenia
Aby móc rozpoznać błąd, każdy z możliwych syndromów błędów
powinien być mapowany na osobną podprzestrzeń przestrzeni
Hilberta.
Wstęp
Kwantowe kody korekcyjne
Teoria kwantowej korekcji błędów
Fault-tolerant quantum computation
Założenia
Aby móc rozpoznać błąd, każdy z możliwych syndromów błędów
powinien być mapowany na osobną podprzestrzeń przestrzeni
Hilberta.
Dodatkowo, te podprzestrzenie powinny być ortogonalne, abyśmy
mogli dokładnie zaklasyfikować błąd
Wstęp
Kwantowe kody korekcyjne
Teoria kwantowej korekcji błędów
Fault-tolerant quantum computation
Założenia
Przygotowując możliwie jak najbardziej ogólną teorię powinniśmy
robić jak najmniej założeń dotyczących błędów, jakie mogą
wystąpić oraz procedury jaka będzie wykorzystywana do poprawy
tych błędów.
Wstęp
Kwantowe kody korekcyjne
Teoria kwantowej korekcji błędów
Fault-tolerant quantum computation
Założenia
Przygotowując możliwie jak najbardziej ogólną teorię powinniśmy
robić jak najmniej założeń dotyczących błędów, jakie mogą
wystąpić oraz procedury jaka będzie wykorzystywana do poprawy
tych błędów.
Przekłamanie informacji będziemy oznaczać jako operację E.
Wstęp
Kwantowe kody korekcyjne
Teoria kwantowej korekcji błędów
Fault-tolerant quantum computation
Założenia
Przygotowując możliwie jak najbardziej ogólną teorię powinniśmy
robić jak najmniej założeń dotyczących błędów, jakie mogą
wystąpić oraz procedury jaka będzie wykorzystywana do poprawy
tych błędów.
Przekłamanie informacji będziemy oznaczać jako operację E.
Operację korekcji błędu będziemy oznaczać jako R.
Wstęp
Kwantowe kody korekcyjne
Teoria kwantowej korekcji błędów
Fault-tolerant quantum computation
Założenia
Przygotowując możliwie jak najbardziej ogólną teorię powinniśmy
robić jak najmniej założeń dotyczących błędów, jakie mogą
wystąpić oraz procedury jaka będzie wykorzystywana do poprawy
tych błędów.
Przekłamanie informacji będziemy oznaczać jako operację E.
Operację korekcji błędu będziemy oznaczać jako R.
R musi się udać z prawdopodobieństwem 1, zatem musi być
[trace-preserving].
Wstęp
Kwantowe kody korekcyjne
Teoria kwantowej korekcji błędów
Fault-tolerant quantum computation
Założenia
Przygotowując możliwie jak najbardziej ogólną teorię powinniśmy
robić jak najmniej założeń dotyczących błędów, jakie mogą
wystąpić oraz procedury jaka będzie wykorzystywana do poprawy
tych błędów.
Przekłamanie informacji będziemy oznaczać jako operację E.
Operację korekcji błędu będziemy oznaczać jako R.
R musi się udać z prawdopodobieństwem 1, zatem musi być
[trace-preserving].
(R ◦ E)(ρ) ∝ ρ
Wstęp
Kwantowe kody korekcyjne
Teoria kwantowej korekcji błędów
Fault-tolerant quantum computation
quantum error-correction conditions
Warunek 1
Niech C będzie kodem kwantowym, i niech P będzie projektorem
na C . E jest operacją kwantową o elementach {Ei }. Operator R
naprawiający E na C istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy:
PEi† Ej P = αij P
dla jakiejś macierzy Hermitowskiej α liczb zespolonych.
Wstęp
Kwantowe kody korekcyjne
Teoria kwantowej korekcji błędów
Fault-tolerant quantum computation
quantum error-correction conditions
Warunek 2 (Discretization of errors)
Załóżmy, że C jest kodem kwantowym i R jest operacją
naprawiającą błąd E o elementach {Ei }. Przyjmijmy, że F jest
operacją kwantową o elementach {Fi } które są kokombinacją
P
liniową elementów z {Ei }, czyli Fj = imji Ei dla pewnej macierzy
liczb zespolonych mi j. Wówczas R poprawia również wszelkie
błędy wywołane przez błąd F na kodzie C .
Wstęp
Kwantowe kody korekcyjne
Teoria kwantowej korekcji błędów
Fault-tolerant quantum computation
fault-tolerance
Obliczenia odporne na błędy
Podstawą do obliczeń kwantowych odpornych na błędy jest
przeprowadzanie obliczeń bezpośrednio na zakodowanych stanach
tak, aby ich dekodowanie między kolejnymi bramkami nie było
potrzebne.
Wstęp
Kwantowe kody korekcyjne
Teoria kwantowej korekcji błędów
Fault-tolerant quantum computation
fault-tolerance
Obliczenia odporne na błędy
Podstawą do obliczeń kwantowych odpornych na błędy jest
przeprowadzanie obliczeń bezpośrednio na zakodowanych stanach
tak, aby ich dekodowanie między kolejnymi bramkami nie było
potrzebne.
Rozwiązujemy to zastępując każdy element układu kwantowego
wersjami odpornymi na błędy oraz dodatkowo dokonując korekt
między bramkami.
Wstęp
Kwantowe kody korekcyjne
Teoria kwantowej korekcji błędów
Fault-tolerant quantum computation
fault-tolerance
Obliczenia odporne na błędy
Podstawą do obliczeń kwantowych odpornych na błędy jest
przeprowadzanie obliczeń bezpośrednio na zakodowanych stanach
tak, aby ich dekodowanie między kolejnymi bramkami nie było
potrzebne.
Rozwiązujemy to zastępując każdy element układu kwantowego
wersjami odpornymi na błędy oraz dodatkowo dokonując korekt
między bramkami.
Wymaga to jednak nadal bardzo ostrożnego projektowania
procedur odpornych na błędy w ten sposób, aby błąd wewnątrz
takiego układu powodował błędy na małej ilości qubitów wyjścia.
Wstęp
Kwantowe kody korekcyjne
Teoria kwantowej korekcji błędów
Fault-tolerant quantum computation
fault-tolerance
Odporność na błędy
Definiujemy odporność (fault-tolerance) procedury jako
następującą własność: jeśli jeden z komponentów procedury
zawodzi, to powoduje to co najwyżej jeden błąd w każdym z
zakodowanych bloków qubitów wyjściowych.
Wstęp
Kwantowe kody korekcyjne
Teoria kwantowej korekcji błędów
Fault-tolerant quantum computation
fault-tolerance
Odporność na błędy
Definiujemy odporność (fault-tolerance) procedury jako
następującą własność: jeśli jeden z komponentów procedury
zawodzi, to powoduje to co najwyżej jeden błąd w każdym z
zakodowanych bloków qubitów wyjściowych.
Przez komponent rozumiemy każdy element z jakiego budujemy
układ kwantowy czyli: podatne na zakłócenia bramki, urządzenia
pomiarowe, połączenia między bramkami oraz urządzenia
przygotowujące stan.
Wstęp
Kwantowe kody korekcyjne
Teoria kwantowej korekcji błędów
Fault-tolerant quantum computation
fault-tolerance
Odporność na błędy
Definiujemy odporność (fault-tolerance) procedury jako
następującą własność: jeśli jeden z komponentów procedury
zawodzi, to powoduje to co najwyżej jeden błąd w każdym z
zakodowanych bloków qubitów wyjściowych.
Przez komponent rozumiemy każdy element z jakiego budujemy
układ kwantowy czyli: podatne na zakłócenia bramki, urządzenia
pomiarowe, połączenia między bramkami oraz urządzenia
przygotowujące stan.
Podczas analizy prawdopodobieństwa z jakim błędy propagują się
poprzez bramki możemy założyć, że korzystamy z idealnych
bramek (nie rozróżniamy błędów ze względu na miejsce w którym
się pojawiły).
Wstęp
Kwantowe kody korekcyjne
Teoria kwantowej korekcji błędów
Fault-tolerant quantum computation
fault-tolerance
Odporne układy kwantowe
Stworzenie odpornych układów kwantowych implementujących
operacje unitarne na zakodowanych stanach jest możliwe.
Wstęp
Kwantowe kody korekcyjne
Teoria kwantowej korekcji błędów
Fault-tolerant quantum computation
fault-tolerance
Odporne układy kwantowe
Stworzenie odpornych układów kwantowych implementujących
operacje unitarne na zakodowanych stanach jest możliwe.
Takie odporne układy realizowane są przez symulowane bramki co
do których mamy pewność, że z prawdopodobieństwem O(p 2 )
wprowadzają błąd w jednym bloku zakodowanej informacji (gdzie p
oznacza prawdopodobieństwo, z jaką zawodzą pojedyńcze elementy
układu.
Wstęp
Kwantowe kody korekcyjne
Teoria kwantowej korekcji błędów
Fault-tolerant quantum computation
fault-tolerance
Analizujemy, z jakim prawdopodobieństwem C-NOT wprowadzi 2
lub więcej błędów na bloku wyjściowym.
błąd może dotrzeć spoza układu. Zakładając, że błąd może
pojawić się z prawdopodobieństwem co p (dla stałej co zależnej
od poprzedniego bezpiecznego układu, z którego pochodzi
sygnał) niezależnie na każdym bloku, to prawdopodobieństwo,
że dostaniemy błędy w obu blokach wynosi co2 p 2 .
Wstęp
Kwantowe kody korekcyjne
Teoria kwantowej korekcji błędów
Fault-tolerant quantum computation
fault-tolerance
Analizujemy, z jakim prawdopodobieństwem C-NOT wprowadzi 2
lub więcej błędów na bloku wyjściowym.
błąd może dotrzeć spoza układu. Zakładając, że błąd może
pojawić się z prawdopodobieństwem co p (dla stałej co zależnej
od poprzedniego bezpiecznego układu, z którego pochodzi
sygnał) niezależnie na każdym bloku, to prawdopodobieństwo,
że dostaniemy błędy w obu blokach wynosi co2 p 2 .
jeden błąd dociera do bezpiecznej bramki C-NOT
(zakodowanej Steanem) i jeden błąd jest wprowadzony przez
C-NOT. Prawdopodobieństwo wynosi c1 p 2 , c1 to stała
zależna od liczby par qubitów z różnych bloków na których
mogą pojawić się błędy i użytego kodu.
Wstęp
Kwantowe kody korekcyjne
Teoria kwantowej korekcji błędów
Fault-tolerant quantum computation
fault-tolerance
dwa błędy wprowadzone są przez C-NOT,
prawdopodobieństwo wynosi c2 p 2 , c2 to stała zależna tylko od
liczby par qubitów z różnych bloków.
Wstęp
Kwantowe kody korekcyjne
Teoria kwantowej korekcji błędów
Fault-tolerant quantum computation
fault-tolerance
dwa błędy wprowadzone są przez C-NOT,
prawdopodobieństwo wynosi c2 p 2 , c2 to stała zależna tylko od
liczby par qubitów z różnych bloków.
błąd pojawia się w C-NOT i podczas pomiaru syndromu
błędu, prawdopodobieństwo wynosi c3 p 2 .
Wstęp
Kwantowe kody korekcyjne
Teoria kwantowej korekcji błędów
Fault-tolerant quantum computation
fault-tolerance
dwa błędy wprowadzone są przez C-NOT,
prawdopodobieństwo wynosi c2 p 2 , c2 to stała zależna tylko od
liczby par qubitów z różnych bloków.
błąd pojawia się w C-NOT i podczas pomiaru syndromu
błędu, prawdopodobieństwo wynosi c3 p 2 .
dwa błędy pojawiają się podczas pomiaru,
prawdopodobieństwo: c4 p 2 .
Wstęp
Kwantowe kody korekcyjne
Teoria kwantowej korekcji błędów
Fault-tolerant quantum computation
fault-tolerance
dwa błędy wprowadzone są przez C-NOT,
prawdopodobieństwo wynosi c2 p 2 , c2 to stała zależna tylko od
liczby par qubitów z różnych bloków.
błąd pojawia się w C-NOT i podczas pomiaru syndromu
błędu, prawdopodobieństwo wynosi c3 p 2 .
dwa błędy pojawiają się podczas pomiaru,
prawdopodobieństwo: c4 p 2 .
jeden błąd podczas pomiaru i jeden podczas korekcji błędu,
prawdopodobieństwo: c5 p 2 .
Wstęp
Kwantowe kody korekcyjne
Teoria kwantowej korekcji błędów
Fault-tolerant quantum computation
fault-tolerance
dwa błędy wprowadzone są przez C-NOT,
prawdopodobieństwo wynosi c2 p 2 , c2 to stała zależna tylko od
liczby par qubitów z różnych bloków.
błąd pojawia się w C-NOT i podczas pomiaru syndromu
błędu, prawdopodobieństwo wynosi c3 p 2 .
dwa błędy pojawiają się podczas pomiaru,
prawdopodobieństwo: c4 p 2 .
jeden błąd podczas pomiaru i jeden podczas korekcji błędu,
prawdopodobieństwo: c5 p 2 .
dwa błędy pojawiają się podczas korekcji,
prawdopodobieństwo: c6 p 2 .
Wstęp
Kwantowe kody korekcyjne
Teoria kwantowej korekcji błędów
Fault-tolerant quantum computation
fault-tolerance
Taki C-NOT już jest fajny!
Dla odpornego układu C-NOT prawdopodobieństwo wywołania
błędu na dwóch lub więcej qubitach wyjściowych wynosi cp 2 dla
pewnej (dużej) stałej c = c02 + c1 + c2 + c3 + c4 + c5 + c6 .
Wstęp
Kwantowe kody korekcyjne
Teoria kwantowej korekcji błędów
Fault-tolerant quantum computation
fault-tolerance
Taki C-NOT już jest fajny!
Dla odpornego układu C-NOT prawdopodobieństwo wywołania
błędu na dwóch lub więcej qubitach wyjściowych wynosi cp 2 dla
pewnej (dużej) stałej c = c02 + c1 + c2 + c3 + c4 + c5 + c6 .
Dla kodów Steana: c ≈ 104 .
Wstęp
Kwantowe kody korekcyjne
Teoria kwantowej korekcji błędów
Fault-tolerant quantum computation
fault-tolerance
Składanie kodów
Kluczem do zbudowania rzeczywiście działających odpornych
układów jest rekursywne kodowanie już zakodowanej informacji.
Wstęp
Kwantowe kody korekcyjne
Teoria kwantowej korekcji błędów
Fault-tolerant quantum computation
fault-tolerance
Składanie kodów
Kluczem do zbudowania rzeczywiście działających odpornych
układów jest rekursywne kodowanie już zakodowanej informacji.
Najpierw rekursywnie kodujemy qubity wejściowe, następnie
wszystkie bramki z oryginalnego układu zastępujemy ich
bezpieczymi wersjami.
Wstęp
Kwantowe kody korekcyjne
Teoria kwantowej korekcji błędów
Fault-tolerant quantum computation
fault-tolerance
Składanie kodów
Kluczem do zbudowania rzeczywiście działających odpornych
układów jest rekursywne kodowanie już zakodowanej informacji.
Najpierw rekursywnie kodujemy qubity wejściowe, następnie
wszystkie bramki z oryginalnego układu zastępujemy ich
bezpieczymi wersjami.
Głębokość rekursji zależy od dokładności z jaką chcemy dokonywać
obliczeń kwantowych.
Wstęp
Kwantowe kody korekcyjne
Teoria kwantowej korekcji błędów
Fault-tolerant quantum computation
fault-tolerance
Składanie kodów c.d.
Przyjmijmy, że symulujemy układ posiadający p(n) bramek (n wielkość wejścia). Jeśli chcemy uzyskać dokładność symulowanego algorytmu, musimy symulować każdą z bramek z
dokładnością p(n)
, więc musimy dokonać konkatenacji kodów k
razy:
Wstęp
Kwantowe kody korekcyjne
Teoria kwantowej korekcji błędów
Fault-tolerant quantum computation
fault-tolerance
Składanie kodów c.d.
Przyjmijmy, że symulujemy układ posiadający p(n) bramek (n wielkość wejścia). Jeśli chcemy uzyskać dokładność symulowanego algorytmu, musimy symulować każdą z bramek z
dokładnością p(n)
, więc musimy dokonać konkatenacji kodów k
razy:
(cp)2
c
k
¬
p(n)
Wstęp
Kwantowe kody korekcyjne
Teoria kwantowej korekcji błędów
Fault-tolerant quantum computation
fault-tolerance
Składanie kodów c.d.
Przyjmijmy, że symulujemy układ posiadający p(n) bramek (n wielkość wejścia). Jeśli chcemy uzyskać dokładność symulowanego algorytmu, musimy symulować każdą z bramek z
dokładnością p(n)
, więc musimy dokonać konkatenacji kodów k
razy:
(cp)2
c
Jeśli p <
1
c
to istnieje takie k.
k
¬
p(n)
Wstęp
Kwantowe kody korekcyjne
Teoria kwantowej korekcji błędów
Fault-tolerant quantum computation
fault-tolerance
Składanie kodów c.d.
Przyjmijmy, że symulujemy układ posiadający p(n) bramek (n wielkość wejścia). Jeśli chcemy uzyskać dokładność symulowanego algorytmu, musimy symulować każdą z bramek z
dokładnością p(n)
, więc musimy dokonać konkatenacji kodów k
razy:
(cp)2
c
k
¬
p(n)
Jeśli p < c1 to istnieje takie k.
Układ symulujący obliczenie ma wówczas określoną wielkość. . .
Wstęp
Kwantowe kody korekcyjne
Teoria kwantowej korekcji błędów
Fault-tolerant quantum computation
Treshold theorem
Twierdzenie o progu
Układ kwantowy zbudowany z p(n) bramek może być symulowany
wykorzystując
O(poly (log ( p(n)
)p(n))
bramek z prawdopodobieństwem wystąpienia błędu co najwyżej ,
zakładając że sprzęt zawodzi z prawdopodobieństwem co najwyżej
p, gdzie p jest mniejsze od pewnego ustalonego progu, p < pth .