Dwuwymiarowy ekscyton w zewnętrznym polu elektrycznym

Instytut Fizyki
Politechniki Wrocławskiej
Raport Serii SPR–332/98
Dwuwymiarowy ekscyton
w zewnętrznym polu elektrycznym.
Praca magisterska
Michał Tyc
Promotor: dr inż. Włodzimierz Salejda
Wrocław, czerwiec 1998
Spis treści
1. Wprowadzenie
3
2. Ekscyton w przybliżeniu masy efektywnej
4
3. Ekscyton dwuwymiarowy jako model ekscytonu w studni kwantowej
7
4. Opis ekscytonu dwuwymiarowego bez zewnętrznego pola we współrzędnych biegunowych
9
5. Opis ekscytonu dwuwymiarowego we współrzędnych parabolicznych
11
6. Porównanie ekscytonu dwuwymiarowego z trójwymiarowym
16
7. Rozpad ekscytonu na skutek tunelowania
21
8. Wyniki obliczeń numerycznych
22
9. Podsumowanie
26
Dodatek
26
A. Współrzędne paraboliczne płaskie
26
B. Współrzędne obrotowo-paraboliczne
28
C. Wielomiany i stowarzyszone funkcje Legendre’a. Harmoniki sferyczne
30
D. Konfluentna funkcja hipergeometryczna
31
E. Wielomiany i funkcje Laguerre’a
32
F. Wielomiany i funkcje Hermite’a
33
G. Metody macierzowe rozwiązywania jednowymiarowego równania Schrödingera
35
Literatura
37
2
Prace dyplomowe są końcowym etapem edukacji na studiach wyższych. Są one znaczącym
przejawem umiejętności badawczych, analizy i krytycznego myślenia studenta. W zależności od
dyscypliny naukowej, prace dyplomowe przybierają różne formy i poruszają różnorodne tematy,
od praktycznych do teoretycznych, od konkretnych do abstrakcyjnych. Wybór tematu, zebranie i
analiza danych, tworzenie wniosków - wszystko to jest nieodzowną częścią procesu tworzenia
pracy dyplomowej.
Pierwszym przykładem, który warto rozważyć, są prace z teologii. W takich pracach student może
badać wpływ wiary na społeczeństwo, relacje między religią a nauką, lub analizować interpretacje
i znaczenia konkretnych tekstów religijnych.
Kolejnym obszarem zainteresowania mogą być prace o prawach człowieka. Tutaj studenci mogą
zająć się badaniem historii praw człowieka, analizować różne przypadki naruszeń tych praw, lub
zbadać jak prawa człowieka są przestrzegane w różnych częściach świata.
Prace z negocjacji to z kolei prace, które koncentrują się na strategiach negocjacyjnych, procesach
decyzyjnych, czy wpływie kultury na negocjacje. W praktyce mogą one obejmować studia
przypadków, symulacje, czy analizę transkryptów rzeczywistych negocjacji. Warto też zauważyć,
że polskie prace dyplomowe nie ustępują jakością tym tworzonym za granicą. Niezależnie od tego,
czy dotyczą one kampanii społecznych, zagadnień związanych z prawem czy bankowością, są one
z reguły dobrze napisane i gruntownie zbadane. Prace o kampaniach społecznych mogą obejmować
analizę skuteczności konkretnej kampanii, badać wpływ mediów społecznościowych na kampanie
społeczne, czy porównać różne strategie używane w kampaniach społecznych.
Śląsk to wyjątkowy region, o bogatej historii i kulturze, więc prace o Śląsku mogą dotyczyć
różnych aspektów, od historii gospodarczej regionu, przez analizę dialektów śląskich, do badań
społeczno-kulturowych. W dziedzinie bankowości, prace dyplomowe mogą obejmować analizę
ryzyka kredytowego, badanie innowacji w usługach bankowych, lub analizowanie skutków
kryzysów finansowych na sektor bankowy. Prace z prawa to z kolei obszar, który może obejmować
szerokie spektrum tematów, od badań konkretnych przypadków, przez analizę ustaw, po badanie
wpływu prawa na społeczeństwo.
Praca dyplomowa jest oceniana przez opiekuna pracy oraz komisję egzaminacyjną na podstawie
jej treści, jakości wykonania, oryginalności, umiejętności analizy i wnioskowania oraz sposobu
prezentacji. Praca dyplomowa ma duże znaczenie dla studentów, ponieważ może mieć wpływ na
ocenę końcową oraz być podstawą do dalszej kariery zawodowej lub podjęcia dalszych studiów.
1.
Wprowadzenie
W ostatnich latach własności trójwymiarowego i dwuwymiarowego ekscytonu Wanniera-Motta są przedmiotem intensywnych badań [1–10]. W przypadku trójwymiarowym
przeprowadzono obszerną analizę wpływu zewnętrznego stałego pola elektrycznego na
energię wiązania pary elektron-dziura w materiałach półprzewodnikowych [3–7]. Przypadek dwuwymiarowy analizowany był w pracy [8].
W ostatnim okresie zaawansowanymi metodami technologicznymi otrzymuje się materiały półprzewodnikowe o ograniczonej geometrii, mające zastosowanie m. in. do budowy laserów. Ze względu na istotne znaczenie ekscytonów dla własności optycznych tych
materiałów ważnym zagadnieniem jest zbadanie właściwości widma energetycznego pary
elektron-dziura w przestrzeni dwuwymiarowej.
Dotychczas problem ekscytonu w strukturach dwuwymiarowych w zewnętrznym polu
elektrycznym rozważano głównie w przypadku, gdy kierunek pola był równoległy do kierunku wzrostu struktury [10]. Niniejsza praca dotyczy konfiguracji, w której pole skierowane jest w płaszczyźnie struktury. Rozpatrywane jest w niej zagadnienie ściśle dwuwymiarowe (na płaszczyźnie, d = 2), które w tej konfiguracji stanowi przybliżenie problemu rzeczywistego. Zagadnienie dla d = 2 bez zewnętrznego pola elektrycznego rozwiązano analitycznie w pracy [2], natomiast przypadek z polem badany był numerycznie w
pracy [8].
Celem pracy jest zbadanie wpływu zewnętrznego stałego pola elektrycznego na energię
wiązania dwuwymiarowego ekscytonu Wanniera-Motta.
W rozdziale 2. pracy przytoczone są — podstawowe dla dalszych rozważań — formuły
i bezwymiarowe postaci równań Schrödingera dotyczących dwu- i trójwymiarowego zagadnienia. Rozdział 3. uzasadnia stosowanie modelu ekscytonu dwuwymiarowego do opisu
ekscytonu w studni kwantowej. W rozdziale 4. przedstawiony jest opis ekscytonu w d = 2
bez zewnętrznego pola elektrycznego we współrzędnych biegunowych. Rozdział 5. zawiera
zasadniczy wynik pracy — opis ekscytonu w d = 2 we współrzędnych parabolicznych
z uwzględnieniem zewnętrznego pola elektrycznego. W kolejnym rozdziale przedstawione
jest porównanie otrzymanych formuł analitycznych z formułami dla ekscytonu w d = 3.
Rozdział 7. zawiera przybliżony opis rozpadu ekscytonu w polu elektrycznym poprzez
tunelowanie. Rozdział 8. przedstawia algorytm i wyniki obliczeń numerycznych. Praca
zakończona jest podsumowaniem. Dodatek zawiera definicje i podstawowe własności wykorzystywanych w pracy układów współrzędnych i funkcji specjalnych oraz krótki opis
wykorzystywanych do obliczeń metod numerycznych.
3
2.
Ekscyton w przybliżeniu masy efektywnej
Załóżmy, że pasmo przewodnictwa i pasmo walencyjne są izotropowe i paraboliczne
oraz mają ekstrema w środku strefy Brillouina (w punkcie Γ). Prawa dyspersji dla elektronów „e” i dziur „h” mają wówczas postać
h̄2 ke2
+ εg ,
2m⋆e
h̄2kh2
,
εh (kh ) =
2m⋆h
εe (ke ) =
(2.1)
gdzie εg — przerwa energetyczna, a m⋆e,h — masy efektywne.
Jeżeli εe , εh ≪ εg i potencjał oddziaływania zmienia się dostatecznie wolno w obszarze, gdzie kwazicząstki się poruszają (odpowiada to ekscytonowi o dużym promieniu —
ekscytonowi Wanniera-Motta), możemy ich funkcje falowe przedstawić w postaci
Ψ (r) = u0 (r) Φ(r),
gdzie u0 — funkcja Blocha dla k = 0 (na dnie lub w wierzchołku pasma), a Φ(r) —
funkcja falowa obwiedni, spełniająca równanie Schrödingera dla cząstki swobodnej z masą
efektywną [11].
Dla układu złożonego z elektronu i dziury równanie na funkcję obwiedni możemy
zapisać w postaci
"
#
h̄2
h̄2 2
− ⋆ ∇r2e −
∇ + Ueh (r e, r h ) Φ(r e, r h ) = (εexc − εg ) Φ(r e , rh ),
2me
2m⋆h rh
(2.2)
−e2
— energia potencjalna
ǫ |re − r h |
oddziaływania kulombowskiego elektron-dziura (ǫ oznacza stałą dielektryczną), a εexc —
energia ekscytonu.
Wprowadźmy teraz współrzędne: środka masy R i względną r,
gdzie r e,h — położenia kwazicząstek, Ueh (r e, r h ) =
m⋆e r e + m⋆hr h
,
M
oraz masy: całkowitą M i zredukowaną µ,
r = re − r h ,
R=
µ−1 = m⋆e −1 + m⋆h−1 .
M = m⋆e + m⋆h ,
Równanie (2.2) sprowadza się wtedy do postaci
"
#
h̄2 2
h̄2 2 e2
−
∇ − ∇ −
Φ(R, r) = (εexc − εg ) Φ(R, r)
2M R 2µ r ǫr
4
(2.3)
i, po rozdzieleniu zmiennych R i r, daje rozwiązanie
1
K·R
R)
Φ(R, r) = √ ei(K
ψ(r)
V
będące iloczynem fali płaskiej odpowiadającej swobodnemu ruchowi środka masy ekscytonu oraz funkcji falowej ψ(r) odpowiadającej ruchowi względnemu elektronu i dziury
(V — objętość kryształu). Otrzymujemy również, że energia ekscytonu jest sumą energii
kinetycznej środka masy (h̄K jest jego kwazipędem), energii wiązania ε oraz przerwy
energetycznej εg :
h̄2 K 2
εexc =
+ ε + εg .
2M
Energię wiązania ε wyznaczamy z równania Schrödingera na funkcję ψ(r):
"
#
h̄2
e2
− ∇2 −
ψ(r) = εψ(r).
2µ
ǫr
(2.4)
Równanie (2.3) można uogólnić wprowadzając zewnętrzne pole elektryczne E. Pojawi
się w nim wówczas dodatkowa energia potencjalna
U ′ = Ue′ + Uh′ = e(E · r e ) − e(E · r h ) = e(E · r),
która nie zależy od współrzędnej R, więc wejdzie tylko do równania (2.4). Wynika to
z faktu, że pole nie może wpływać na ruch środka masy elektrycznie obojętnego ekscytonu.
Włączenie pola powoduje, że zagadnienie przestaje być stacjonarne. Ekscyton ma
wtedy skończony czas życia, gdyż pole może go „rozerwać”. Dokładne rozwiązanie takiego zagadnienia wymagałoby posłużenia się równaniem Schrödingera z czasem. Można
jednak potraktować problem kwazistacjonarnie (tj. przy założeniu, że czas życia ekscytonu
jest dostatecznie długi) i posłużyć się stacjonarnym równaniem Schrödingera.
Rozpatrując ekscyton w przestrzeni trójwymiarowej (d = 3), wybieramy tradycyjnie
E = [0, 0, E], natomiast w przestrzeni dwuwymiarowej (d = 2) kładziemy E = [E, 0].
Całkowity potencjał dany jest zatem wzorami
U=

e2



+ eEz
−
dla d = 3
ǫr


e2

−
+ eEx dla d = 2.
ǫr
Wykres potencjału U(x, y) dla d = 2 jest przedstawiony na rys. 1, a jego przekrój wzdłuż
osi OX na rys. 2. Wykresy wykonane są w bezwymiarowych jednostkach, które zostaną
wprowadzone dalej.
Równanie Schrödingera opisujące ekscyton w zewnętrznym polu elektrycznym ma postać
"
#
h̄2 2 e2
z
− ∇ −
+ eE
ψ(r) = εψ(r),
(2.5)
x
2µ
ǫr
gdzie górny symbol w nawiasach klamrowych dotyczy przypadku d = 3, a dolny — przypadku d = 2.
5
Rys. 1. Potencjał U(x, y) dla pola E = 0.3 (w jednostkach bezwymiarowych)
Rys. 2. Potencjał U(x, 0) dla pola E = 0.3 (w jednostkach bezwymiarowych)
6
Sprowadźmy wszystkie wielkości występujące w równaniu (2.5) do postaci bezwymiarowej. W tym celu pomnóżmy je stronami przez 2µ/h̄2 , co prowadzi do
"
#
2µe2 2µeE
−∇ − 2 +
ǫh̄ r
h̄2
z
x
2
ψ(r) =
2µε
ψ(r).
h̄2
(2.6)
Wprowadźmy teraz jednostki: długości a0, energii W0 i pola E0 ,
ǫh̄2
— ekscytonowy promień Bohra,
µe2
µe4
W0 = 2 2 — ekscytonowa stała Rydberga,
2ǫ h̄
e
E0 = 2 — natężenie pola ładunku elementarnego w odległości a0 .
ǫa0
a0 =
(2.7)
Wykorzystując je, przepisujemy (2.6) w postaci
"
2
2E
−∇ −
+
a0r E0 a30
2
#
z
x
ψ(r) =
ε
ψ(r).
W0 a20
(2.8)
Zdefiniujemy teraz bezwymiarowe wielkości:
r′ =
(
)
[x′, y ′ , z ′]
= r/a0 — współrzędne,
[x′, y ′]
E ′ = E/E0 — natężenie pola,
ε′ = ε/W0 — energia,
ψ ′(r ′ ) =
Mnożąc (2.8) przez
 7 
 a /2 
0
 a30 
"
 3 
 a /2 
0
 a0 
ψ(a0r ′) — funkcja falowa.
otrzymujemy bezwymiarowe równanie Schrödingera
(
)
#
z′
2
−∇ − ′ + 2 ′ E ′ ψ ′(r ′) = ε′ψ ′(r ′ ).
r
x
′2
(2.9)
Dalej znaki ′ będą pomijane.
W przypadku bez zewnętrznego pola (E = 0) równanie (2.9) daje się rozwiązać metodą separacji zmiennych dla d = 3 i d = 2 odpowiednio we współrzędnych sferycznych (r, ϑ, ϕ) [12, 13] lub biegunowych (r, ϕ) [2]. Włączenie pola E usuwa tę możliwość,
jednak daje się wtedy rozdzielić zmienne odpowiednio we współrzędnych parabolicznych
obrotowych (u, v, ϕ) lub płaskich (u, v), o których mowa w Dodatku A i B.
3.
Ekscyton dwuwymiarowy jako model ekscytonu
w studni kwantowej
Funkcję falową elektronu lub dziury w studni kwantowej możemy przedstawić w postaci
iloczynu
Ψ (x, y, z) = ψ(x, y)χ(z),
7
(oś OZ jest tu ustawiona wzdłuż kierunku wzrostu struktury). W przybliżeniu parabolicznym prawa dyspersji dla nośników ładunku mają postać (2.1), z tym że wektor falowy
k leży w płaszczyźnie XY , a εg zastąpić należy efektywną przerwą energetyczną
(z)
(z)
ε′g = εg + εe0 + εh0 ,
(z)
gdzie εe,h 0 — energie najniższych poziomów elektronowych i dziurowych w studniach w
pasmie przewodnictwa i walencyjnym, pojawiających się na skutek kwantowania ruchu
wzdłuż osi OZ. Zakładamy, że wyższe poziomy są nieobsadzone, jeśli istnieją.
Studnię kwantową wytworzoną w pasmie przewodnictwa (lub walencyjnym) półprzewodnikowej heterostruktury możemy w przybliżeniu opisywać w formalizmie masy efektywnej za pomocą prostokątnego potencjału U(z) = U0 [1 − θ(a/2 + z) θ(a/2 − z)], gdzie
a — szerokość studni, a U0 — jej głębokość.
Przy zwężaniu studni i zwiększaniu wysokości barier funkcja χ(z) staje się coraz bardziej zlokalizowana. W granicy a → 0, U0 → ∞ mamy χ(z) → δ(z), co odpowiada
ściśle dwuwymiarowemu ruchowi elektronu (lub dziury) w płaszczyźnie XY . Ilustruje to
rys. 3a przedstawiający wyniki wykonanych przez autora obliczeń dla studni w pasmie
przewodnictwa heterostruktury GaAs/Al0.3 Ga0.7As. Zmiana materiału bariery na AlAs
(około 4-krotne zwiększenie U0 ) i odpowiednie zwężenie studni powoduje silniejszą lokalizację elektronu (rys. 3b).
Przedstawione na rys. 3 wyniki obliczeń zostały otrzymane za pomocą macierzowej
metody rozwiązywania równania masy efektywnej opisanej w raporcie [14].
W realnych strukturach nie jesteśmy w stanie dowolnie zwiększać wysokości barier
(brak jest odpowiednich materiałów). Dla wąskich studni prowadzi to do rozmycia funkcji
falowej χ(z), co ilustruje rys. 3c, na którym zmniejszeniu a nie towarzyszy podwyższenie bariery. Dodatkowo (ze względów technologicznych) nie można dowolnie zmniejszać
szerokości studni.
W modelu ściśle dwuwymiarowego ekscytonu przyjmujemy „trójwymiarowe” (z potencjałem typu 1/r) oddziaływanie kulombowskie elektron-dziura, bez uwzględnienia efektów
związanych z różnicą stałych dielektrycznych między materiałami studni i bariery. Przyjęcie „dwuwymiarowego” potencjału typu ln r jest nieuzasadnione, gdyż cząstki znajdują
się w przestrzeni trójwymiarowej, a jedynie ich ruch jest ograniczony do wybranej płaszczyzny.
Pomimo powyższych ograniczeń model dwuwymiarowego ekscytonu stanowi ważne
zagadnienie. Pełny (trójwymiarowy) opis ekscytonu w studni kwantowej prowadzi do nierozwiązywalnych analitycznie i bardzo złożonych numerycznie równań. Tymczasem model
dwuwymiarowy jest bez zewnętrznego pola elektrycznego rozwiązywalny analitycznie, a
z polem stanowi stosunkowo prosty problem numeryczny, co zostanie wykazane w dalszej
części pracy.
Model dwuwymiarowy stanowi przybliżenie realnej sytuacji. Może być wykorzystany
jako element modeli bardziej dokładnych (np. [10]) oraz do weryfikacji wyników uzyskanych innymi metodami w granicznym przypadku a → 0, U0 → ∞.
8
Rys. 3. Rozkłady gęstości prawdopodobieństwa znalezienia elektronu w
studniach kwantowych heterostruktur GaAs/Al0.3 Ga0.7As (a,c)
i GaAs/AlAs (b). ML = monowarstwa ≈ 2.8 Å
4.
Opis ekscytonu dwuwymiarowego bez zewnętrznego pola we współrzędnych biegunowych
Dwuwymiarowe równanie Schrödingera bez zewnętrznego pola elektrycznego we współrzędnych biegunowych ma postać
"
1 ∂
∂
−
r
r ∂r ∂r
!
#
1 ∂2
2
− 2 2−
ψ(r, ϕ) = εψ(r, ϕ).
r ∂ϕ
r
(4.1)
Przedstawiając funkcję falową ψ(r, ϕ) w postaci iloczynu χ(r) Φ(ϕ) i mnożąc (4.1) przez
9
−r2
dostajemy
χ(r) Φ(ϕ)
"
!
#
d
1 d2
r d
r χ(r) + 2r + εr2 +
Φ(ϕ) = 0.
χ(r) dr dr
Φ(ϕ) dϕ2
(4.2)
Jeśli wprowadzimy stałą separacji C, będziemy mogli zapisać (4.2) jako układ równań
typu {f1(ϕ) = −C, f2(r) = C}. Pierwsze z nich jest równaniem na funkcje i wartości
własne operatora kwadratu momentu pędu rotatora płaskiego:
−
d2
Φ(ϕ) = C Φ(ϕ).
dϕ2
1
Tymi funkcjami są Φm (ϕ) = (2π)− /2 eimϕ dla m = 0, ±1, ±2, . . .; wartości własne C = m2.
Po podstawieniu wartości C drugie z równań — na funkcję radialną χ(r) — będzie
postaci
"
#
d2
2 m2
1 d
+ − 2 + ε χ(r) = 0.
+
(4.3)
dr2 r dr r
r
Zamiast rozwiązywać to równanie jak w pracy [2], skorzystamy z faktu, iż jest ono szczególnym przypadkiem równania (D.4) — patrz Dodatek D. Rozwiązania poszukujemy zatem
w postaci rd ebr F(a; c; λr) (F — funkcja dana wzorem (D.3)). Po porównaniu współczynników otrzymujemy
λ = −2b,
ε = −b2,
|d| = |m|,
c = 1 + 2d,
b = (a − d − 1/2 )−1 .
(4.4)
Rozważamy stany związane (ε < 0), więc argument λr funkcji F jest rzeczywisty. Normowalnym i zachowującym się właściwie przy r → 0 rozwiązaniem będzie zatem (patrz
Dodatek D) funkcja
χn (r) ∼ r|m| e−λn r F (|m| − n; 1 + 2|m|; 2λn r)
(n całkowite i n ­ |m|). Stała λn określająca energie poszczególnych stanów ma postać
λn =
1
,
n + 1/2
(4.5)
zatem poziomami energetycznymi są
εn,m = εn = −
1
,
(n + 1/2 )2
(4.6)
a każdy z nich jest (2n + 1)-krotnie zdegenerowany (bez uwzględnienia spinu). Zgodnie z
oznaczeniami wprowadzonymi w [2] główną liczbę kwantową n liczymy od 0 (inaczej niż
w przypadku trójwymiarowym). Energia stanu podstawowego ekscytonu w d = 2 wynosi
ε0 = −4 i jest czterokrotnie większa niż dla d = 3.
Ze wzorów (E.2) i (E.7) — patrz Dodatek E — otrzymujemy łatwą do unormowania
postać funkcji radialnej
2|m|
χn (r) ∼ Ln−|m| (2λn r),
10
gdzie LaN (x) — funkcja Laguerre’a (E.7). Warunkiem unormowania jest
Z∞
0
|χn (r)|2r dr = 1;
ze wzoru (E.10) mamy
Z∞
2|m|
[Ln−|m| (2λn r)]2 r dr =
0
2n + 1
λ−3
(n + 1/2 )3
n
=
.
=
4λ2n
2
2
Unormowanymi funkcjami bazy dla stanów związanych we współrzędnych biegunowych są więc
3
1
2|m|
c
ψn,m
(r, ϕ) = π − /2 λn/2 Ln−|m| (2λn r) eimϕ =
3
v
u
λn/2 u
t (n − |m|)! e−λn r [2λ r]|m| L2|m| (2λ r) eimϕ .
√
=
n
n
n−|m|
π (n + |m|)!
(4.7)
gdzie LaN (x) — uogólnione wielomiany Laguerre’a (E.1). Funkcją falową stanu podstawowego jest
q
c
ψ0,0
(r, ϕ) = 8/π e−2r .
5.
Opis ekscytonu dwuwymiarowego we współrzędnych parabolicznych
Równanie Schrödingera (2.9) w płaskich współrzędnych parabolicznych przyjmie, na
podstawie wzorów (A.1) i postaci laplasjanu (A.6), postać
"
1
− 2
u + v2
#
!
∂2
∂2
4
+
+ (u2 − v 2)E ψ(u, v) = εψ(u, v).
− 2
2
2
∂u
∂v
u + v2
Przedstawmy funkcję ψ(u, v) jako iloczyn f(u) g(v) i pomnóżmy (5.1) przez −
otrzymamy
"
#
"
#
1 d2
1 d2
4
2
f(u)
−
Eu
+
εu
+
2
+
g(v) + Ev 4 + εv 2 + 2 = 0.
f(u) du2
g(v) dv 2
(5.1)
u2 + v 2
;
f(u) g(v)
(5.2)
Zapiszmy (5.2) w postaci układu równań typu {f1 (u) = −C, f2(v) = C} bez osobliwości
w punkcie (0, 0), wprowadzając stałą separacji C:
#
"
#
"
d2
d2

2
4



 − du2 − εu + Eu − 2 f(u) = − du2 + V+ (u) f(u) = −Cf(u),
#
"
#
"
2
2

d
d

2
4
 −

− εv − Ev − 2 g(v) = − 2 + V− (v) g(v) = Cg(v).

2
dv
dv
11
(5.3)
Równania (5.3) mają postać zbliżoną do jednowymiarowych równań Schrödingera. Są
to zagadnienia własne na stałą separacji C, a energia wiązania ε jest tu parametrem
w funkcjach, które będą dalej nazywane kwazipotencjałami (odpowiadają one potencjałom
w równaniu Schrödingera):
V+ (u) = −εu2 + Eu4 − 2,
V− (v) = −εv 2 − Ev 4 − 2.
(5.4)
ψ(u, v) = ψ(−u, −v)
(5.5)
Procedura numerycznego rozwiązywania układu równań (5.3) powinna więc polegać na
znalezieniu takiej wartości ε(E), dla której wartości własne C i −C otrzymane z obu
równań (5.3) będą identyczne.
Należy tu dodać, że alternatywna definicja współrzędnych parabolicznych (Dodatek A), zastosowana w pracy [8], także pozwala na rozdzielenie zmiennych w równaniu (2.9). Otrzymujemy wtedy układ dwóch jednowymiarowych równań Schrödingera,
w których parametrem jest stała separacji, a wartością własną energia. Równania te są
jednak znacznie trudniejsze do numerycznego rozwiązywania niż (5.3), gdyż zawierają
osobliwości.
W punkcie v = 0 nie możemy położyć dogodnego w obliczeniach numerycznych warunku początkowego g(0) = 0, gdyż implikowałoby to nieuzasadnione przypuszczenie
ψ(0, 0) = 0. Wartość g(0) jest nieznana. Aby ominąć tę trudność, rozszerzymy dziedzinę
zmiennej v na wartości ujemne (wykorzystujemy dwuznaczność odwzorowania konforemnego (A.5)). Pociąga to za sobą warunek
(patrz Dodatek A). Ze względu na to, że kwazipotencjały (5.4) są funkcjami parzystymi,
funkcje f(u) i g(v) muszą być parzyste bądź nieparzyste. Równość (5.5) zajdzie tylko
wtedy, gdy parzystość f i g będzie taka sama.
Wykresy kwazipotencjałów w przypadku z polem i bez pola (w rozszerzonej dziedzinie
v) przedstawia rys. 4.
Zajmijmy się teraz przypadkiem E = 0, który jest rozwiązywalny analitycznie. Równania (5.3) przyjmują wtedy postać
"
#
d2
− 2 + λ2 w2 f± (w) = (2 ± C) f± (w),
dw
(5.6)
gdzie w oznacza u lub v, f− i f+ — odpowiednio funkcje f i g, a λ2 = −ε. Przy jego
rozwiązywaniu moglibyśmy skorzystać z ogólniejszego równania (D.5). Warto jednak zauważyć, że (5.6) jest odwróconym zagadnieniem własnym kwantowego liniowego oscylatora
harmonicznego. Jego rozwiązaniami są (patrz (F.8)) dla n± = 0, 1, 2, . . . funkcje Hermite’a
√
fn± (x) ∼ Hn± ( λ x),
(5.7)
a wartości własne 2 ± C = (2n± + 1)λ. Wybór znaku + lub − zależy od tego, które
z równań układu (5.3) rozpatrujemy.
Dodając do siebie obie wartości własne dostajemy
4 = (2n+ + 2n− + 2)λn+ n−
2
.
λn+ n− =
n+ + n− + 1
12
Rys. 4. Kwazipotencjały V+ (u) i V− (v) dla różnych wartości pola E.
Cieńszą linią jest zaznaczony kwazipotencjał dla E = 0
Symbole n+ i n− oznaczają paraboliczne liczby kwantowe. Ze względu na narzucony warunek ψ(u, v) = ψ(−u, −v) mamy
n+ + n− = 2n,
n = 0, 1, 2, . . . ,
(5.8)
gdzie n — główna liczba kwantowa (jak we współrzędnych biegunowych), bowiem energia
stanów wyraża się tylko przez nią:
1
,
n + 1/2
1
= εn = −
.
(n + 1/2 )2
λn+ ,n− = λn =
εn+ ,n−
Ze wzoru (5.7) możemy wyznacyć unormowane funkcje falowe ψ(u, v)
1
q
q
ψn+ ,n− (u, v) = (In+ ,n− )− /2 Hn− ( λn u) Hn+ ( λn v),
13
przy czym czynnik normalizacyjny In+ ,n− znajdujemy, posługując się iloczynem skalarnym (A.7):
2In+ ,n− =
Z∞ Z∞
−∞−∞
=
Z∞
−∞
|fn− (u) gn+ (v)|2(u2 + v 2) du dv =
|fn− (u)|2 du
Z∞
−∞
|gn+ (v)|2 v 2 dv +
Z∞
|fn− (u)|2 u2 du
Z∞
−∞
−∞
(5.9)
|gn+ (v)|2 dv.
Zastosujmy do tych całek wzory (F.7) i (F.10); otrzymamy
1 −1/2 −3/2
−3
λ
λn (n+ + 1/2 + n− + 1/2 ) = (n + 1/2 ) λ−2
n = λn = In
2 n
In+ ,n− =
(In zależy tylko od n). Dla wygody zmieńmy wskaźniki funkcji ψ, tak aby zawierały
główną liczbę kwantową n zgodnie z (5.8). Jako drugą liczbę kwantową wybierzemy j =
1
/2 (n+ − n− ) (j = −n, −n + 1, . . . , n − 1, n).
Ostatecznie unormowane funkcje bazy dla stanów związanych mają we współrzędnych
parabolicznych postać
q
3
q
p
ψn,j
(u, v) = λn/2 in+j Hn−j ( λn u) Hn+j ( λn v) =
q
q
λ /2
2−n in+j
1
2
2
e− /2 λn (u +v ) Hn−j ( λn u) Hn+j ( λn v),
= √n q
π (n − j)! (n + j)!
3
(5.10)
gdzie HN (x) — wielomiany Hermite’a (F.1). Czynnik in+j został dodany w celu uzyskania
prostszej postaci macierzy transformacji, które są przedstawione dalej. Funkcją falową
stanu podstawowego jest
q
2
2
p
ψ0,0
(u, v) = 8/π eu +v .
p
c
Funkcje ψn,m
(r, ϕ) wyrażają się przez kombinacje liniowe fukncji ψn,j
(u, v) z tą samą
wartością n, co oznacza, że funkcje (5.10) nie są funkcjami własnymi operatora momentu
pędu.
W podprzestrzeniach liniowych o określonej wartości liczby kwantowej n mamy zatem
p
c
bazy |ψn,j
i i |ψn,m
i. Zachodzić muszą równości
c
|ψn,m
i
p
|ψn,j
i
=
=
n
X
j=−n
n
X
m=−n
p
p
c
|ψn,j
ihψn,j
|ψn,m
i
=
p
c
c
|ψn,m
ihψn,m
|ψn,j
i
n
X
j=−n
n
X
(n)
p
Tj,m |ψn,j
i,
=
j=−n
(n) ∗
c
Tj,m |ψn,m
i.
(5.11)
Aby znaleźć elementy macierzy transformacji T(n) , czyli wartości całek definiujących
p
c
iloczyny skalarne występujące we wzorach (5.11), należy sprowadzić funkcje |ψn,j
i i |ψn,m
i
do tego samego układu współrzędnych. Dla uniknięcia całkowania wielomianów trygonometrycznych przejdziemy do układu parabolicznego.
14
Korzystamy z zależności (A.3) i przekształcamy najpierw dwa czynniki z funkcji falowej (4.7):
(2λn r)|m| eimϕ = (2λn r)|m| (re/r)m = (2λn r)|m| (se2 /2r)m =
=
(
(2λn r)|m| se2|m|(2r)−|m|
(2λn r)|m| (se∗)2|m| (2r)−|m|
q
(2λn r)|m| eimϕ = [ λn (u + iv sgn m)]2|m|,
dla m ­ 0
dla m ¬ 0
a dalej
v
u
λ3/2 u (n − |m|)! q
r
ψn,m
(u, v) = √n t
[ λn (u + iv sgn m)]2|m| ×
π (n + |m|)!
1
2 +v 2 )
× e− /2 λn (u
2|m|
Ln−|m| (λn u2 + λn v 2).
(5.12)
(n)
Dla m = 0 możemy wyznaczyć liczby Tj,m korzystając ze związków między funkcjami
Laguerre’a i Hermite’a (F.11):
(n)
Tj,0
!q
n
cos2 [(n + j)π/2]
(n − j)! (n + j)!.
=
n! 2n ij−n
(n − j)/2
Kilka pierwszych macierzy T(n) jest zestawionych poniżej:

T(0) = [ 1 ],





T(1) = 





√
1
2
−
2
2
√
2
−
0
2
√
2
1
2
2
1
2
√
2
2
1
2






,





15












(2)
T =










√
6
1
1
1
−
−
4
2 4
2
1
1 1
0 −
−
2 2
2
√
6
1
0 −
0
4
2
1
1
1
−
−
0
2
2
2
√
1
1
6 1
4
2
4
2
1
4
1
2
√
6
4
1
2
1
4












,



























(3)
T =
















√
√
√
√
√
6
15
5
15
6
1
−
−
−
8
8
8
4
8
8
√
√
√
1
1
6
10
10
−
0
−
−
8
2
8
8
2
√
√
√
√
1
1
15
10
3
10
−
−
−
−
8
8
8
4
8
8
√
√
√
5
3
3
−
0
0
−
0
4
4
4
√
√
√
√
1
1
15
10
3
10
−
−
−
8
8
8
4
8
8
√
√
√
6
10
10
1
1
−
−
−
0
8
2
8
8
2
√
√
√
√
√
6
15
5
15
6
1
8
8
8
4
8
8
1
8
√
6
8
√
15
8
√
5
4
√
15
8
√
6
8
1
8

















.
















Są one macierzami rzeczywistymi i symetrycznymi dzięki dodaniu w funkcjach (5.10)
czynnika in+j .
6.
Porównanie ekscytonu dwuwymiarowego z trójwymiarowym
Równanie Schrödingera dla ekscytonu trójwymiarowego bez zewnętrznego pola (jest
to znane zagadnienie atomu wodoru [12, 13]) ma we współrzędnych sferycznych postać
"
!
!
#
1 ∂
1
∂
1
2
∂
∂
∂2
− 2
r2
− 2
sin ϑ
− 2 2
ψ(r, ϑ, ϕ) =
−
r ∂r
∂r
r sin ϑ ∂ϑ
∂ϑ
r sin ϑ ∂ϕ2 r
= εψ(r, ϑ, ϕ).
(6.1)
Przedstawiając funkcję falową ψ(r, ϑ, ϕ) w postaci iloczynu χ(r) Θ(ϑ, ϕ) i mnożąc (6.1)
−r2
otrzymujemy układ równań typu {f1 (ϑ, ϕ) = −C, f2 (r) = C}. Pierwprzez
χ(r) Θ(ϑ, ϕ)
sze z nich jest zagadnieniem własnym operatora kwadratu momentu pędu:
"
!
#
1 ∂
∂
1 ∂2
−
sin ϑ
+
Θ(ϑ, ϕ) = C Θ(ϑ, ϕ).
sin ϑ ∂ϑ
∂ϑ
sin2 ϑ ∂ϕ2
Jego unormowanymi funkcjami własnymi są harmoniki sferyczne Yl,m (ϑ, ϕ) zdefiniowane
wzorem (C.2), gdzie l = 0, 1, 2, . . ., a m = −l, −l + 1, . . . , l − 1, l; wartościami własnymi
są liczby C = l(l + 1).
Drugie równanie — na funkcję radialną χ(r) — po wstawieniu wartości C przyjmie
postać
#
"
2 l(l + 1)
2 d
d2
+ −
+
+ ε χ(r) = 0.
(6.2)
dr2 r dr r
r2
16
Jest to, podobnie jak dla d = 2, szczególny przypadek równania (D.4), więc rozwiązania
poszukujemy w postaci rd ebr F(a; c; λr) (F – funkcja postaci D.3). Porównanie współczynników oraz żądanie normowalności rozwiązania i jego właściwego zachowania przy r → 0
daje
χn,l (r) ∼ rl e−r/n F (−n + 1 + l; 2 + 2l; 2r/n)
dla całkowitych n > l (F – konfluentna funkcja hipergeometryczna (D.2)). Korzystając
ze wzorów (E.2) i (E.7) możemy napisać
1
2l+1
χn,l (r) ∼ [2r/n]− /2 Ln−1−l
(2r/n).
Normując funkcję χn,l(r) zgodnie z warunkiem
Z∞
0
|χn,l (r)|2 r2 dr = 1.
otrzymujemy, przy pomocy wzorów (E.9) i (E.10), funkcje falowe bazy dla stanów związanych we współrzędnych sferycznych:
1
s
2l+1
ψn,l,m
(r, ϑ, ϕ) = 2n−2 [2r/n]− /2 Ln−1−l
(2r/n) Yl,m (ϑ, ϕ) =
v
u
2 u (n − l − 1)!
2l+1
= 2t
[2r/n]l e−r/n Ln−1−l
(2r/n) Yl,m (ϑ, ϕ),
n
(n + l)!
(6.3)
gdzie LaN — uogólnione wielomiany Laguerre’a (zgodnie z (E.7)). Funkcją falową stanu
podstawowego jest
q
s
ψ1,0,0(r, ϑ, ϕ) = 2/π e−r .
Energie kolejnych poziomów mają wartość
εn,l,m = εn = −
1
,
n2
(6.4)
a krotność degeneracji n-tego poziomu wynosi (bez uwzględnienia spinu) n2 .
Równanie (2.9) daje się rozseparować dla d = 3 także we współrzędnych parabolicznych, również w przypadku E 6= 0. Korzystając z zależności (B.1) i postaci laplasjanu (B.6) otrzymujemy
(
!
"
!
#
1
∂
1 ∂
∂
u2 + v 2 ∂ 2
1 ∂
− 2
u
+
v
+
+
u + v 2 u ∂u ∂u
v ∂v ∂v
u2 v 2 ∂ϕ2
)
4
+ (u2 − v 2)E ψ(u, v, ϕ) = εψ(u, v, ϕ).
− 2
u + v2
(6.5)
Aby wydzielić część kątową, przedstawiamy funkcję falową ψ(u, v, ϕ) w postaci iloczynu
φ(u, v) Φ(ϕ). Jeżeli wprowadzimy stałą separacji D, po przekształceniach otrzymamy
układ równań typu {f1 (ϕ) = −D, f2 (u, v) = D}. Pierwsze z nich to zagadnienie własne
operatora kwadratu z-owej składowej momentu pędu:
−
d2
Φ(ϕ) = D Φ(ϕ),
dϕ2
17
1
a jego rozwiązaniami są Φm (ϕ) = (2π)− /2 eimϕ dla m = 0, ±1, ±2, . . . oraz D = m2.
Wybór kierunku pola E wzdłuż osi OZ pozwala jednak także na rozdzielenie zmiennych u i v. Wstawiając wartość D do drugiego równania, zapisując φ(u, v) w postaci
¯ ḡ(v) i wprowadzając nową stałą separacji C, otrzymujemy układ dwóch
iloczynu f(u)
równań:
!
#
"
2
1
d
m
d

2
4

¯


 u du u du + εu − Eu − u2 + 2 − C f(u) = 0,
!
#
"
(6.6)

d
m2
1 d

2
4


v
+ εv + Ev − 2 + 2 + C ḡ(v) = 0.

v dv dv
v
Jeżeli użyjemy nowych funkcji
f(u) =
√
u f¯(u),
g(v) =
√
v ḡ(v),
(6.7)
d2
+ V(w)
dw2
(w ∈ h0, ∞) oznacza tu u lub v), analogiczną do jednowymiarowych równań Schrödingera:
to równania (6.6) przybiorą postać zagadnień własnych dla operatora typu −
#
"
m2 − 1/4
d2

2
4


− 2 f(u) = −Cf(u),

 − du2 − εu + Eu +
u2
"
#

m2 − 1/4
d2

2
4

 −
− εv − Ev +
− 2 g(v) = Cg(v).

2
2
dv
(6.8)
v
Są to, podobnie jak w przypadku d = 2, równania na wartości własne stałej separacji C,
w których energia jest parametrem określającym kwazipotencjały
m2 − 1/4
− 2,
u2
m2 − 1/4
V− (v) = −εv 2 − Ev 4 +
− 2.
v2
V+ (u) = −εu2 + Eu4 +
(6.9)
Ich wykresy dla przypadków z polem i bez pola oraz dla różnych wartości liczby kwantowej
m przedstawia rys. 5.
Warto tu zauważyć, że przyjęcie współrzędnych parabolicznych w wersji proponowanej
przez Landaua i Lifszica ([12] oraz Dodatek B) prowadzi do układu dwóch standardowych
równań Schrödingera. Obliczenia oparte na takim podejściu zawiera praca [1].
m2
Odpychająca część kwazipotencjałów typu 2 jest związana z występowaniem siły
w
odśrodkowej przy ruchu obrotowym wokół osi OZ (znika dla stanów z rzutem momentu
1
pędu m = 0), a część przyciągająca − 2 pojawia się tylko na skutek transformacji (6.7).
4w
W przypadku, gdy brak zewnętrznego pola, równania układu przyjmują postać
"
#
m2 − 1/4
d2
2
+
εw
−
+ 2 ± C f± (w) = 0,
dw2
w2
(6.10)
gdzie f− oznacza funkcję f, a f+ – funkcję g, która jest rozwiązywalna analitycznie.
Jest to szczególny przypadek równania (D.5), więc rozwiązania poszukujemy w postaci
18
Rys. 5. Kwazipotencjały V+ (u) i V− (v) dla różnych wartości liczby kwantowej m. Cieńszą linią jest zaznaczony kwazipotencjał dla E = 0
1
2
rd e− /2 br F(a; c; λr2 ) (F – funkcja postaci (D.3)). Porównując współczynniki i żądając
normowalności funkcji falowej i jej właściwego zachowania dla u, v → 0 otrzymujemy
rozwiązanie postaci
1
f± (w) ∼ w|m|+ /2 e−w
2 /2n
1
2
F (−n± ; |m| + 1; w2 /n) ∼ w /2 L|m|
n± (w /n),
(6.11)
gdzie n± — paraboliczne liczby kwantowe (skorzystaliśmy z (E.2) i (E.7)).
Możemy wprowadzić główną liczbę kwantową n:
1
1
=
,
n
n+ + n− + |m| + 1
(6.12)
od której (wyłącznie) zależy energia stanu:
εn = −
1
.
n2
Na podstawie wzorów (6.7) i (6.11) wyznaczamy unormowane funkcje φ(u, v):
1
1
2
|m| 2
φn+ ,n− ,m (u, v) = (In+ ,n− ,m )− /2 fn,n− ,m (u) gn,n+ ,m (v) = (In+ ,n− ,m )− /2 L|m|
n− (u /n) Ln+ (v /n),
19
gdzie czynnik normalizacyjny In+ ,n− ,m wyraża się (na podstawie (B.7)) przez całkę
In+ ,n− ,m =
Z∞Z∞
0 0
|fn,n− ,m (u) gn,n+ ,m (v)|2(u3v + uv 3) du dv.
(6.13)
Ostatecznie dostajemy
In+ ,n− ,m =
n4
n3
[2(n+ + n− ) + 2|m| + 2] = ,
4
2
przy użyciu związków między liczbami kwantowymi (6.12). Ponieważ liczby te nie są
niezależne (jest ich o jedną za dużo), oznaczmy n− = j; wtedy n+ = n−1−|m|−j i mamy
liczby kwantowe n (opisującą energię stanu), m (opisującą składową z-ową momentu pędu)
oraz j.
Unormowanymi funkcjami falowymi bazy dla stanów związanych we współrzędnych
parabolicznych są więc
1
|m|
|m|
p
ψn,j,m
(u, v, ϕ) = [− sgn m]mπ − /2 n−2 Lj (u2/n) Ln−1−|m|−j (v 2/n) eimϕ =
v
u
[− sgn m]m u
t j! (n − 1 − |m| − j)! ×
=
n2
π(j + |m|)! (n − 1 − j)!
uv
×
n
|m|
!
u2 + v 2
|m|
|m|
Lj (u2 /n) Ln−1−|m|−j (v 2/n) eimϕ . (6.14)
exp −
2n
Dodanie czynnika [− sgn m]m ma za zadanie uproszczenie macierzy transformacji, które
opisane będą na końcu rozdziału.
Występujące w funkcjach (6.14) liczby kwantowe n i m są identyczne z tymi, które
s
numerują funkcje ψn,l,m
(r, ϑ, ϕ), natomiast j przyjmuje wartości 0, 1, . . . , n−1−|m|. Funkcja we współrzędnych sferycznych o danych n, l, m wyraża się przez kombinację liniową
funkcji we współrzędnych parabolicznych o tych samych n, l i różnych j. Oznacza to, że
p
funkcje ψn,i,m
(u, v, ϕ) nie są stanami własnymi operatora momentu pędu (a tylko jego
składowej z).
W podprzestrzeniach liniowych o określonych wartościach liczb kwantowych n i m
p
s
mamy zatem bazy |ψn,j,m
i i |ψn,l,m
i. Spełnione są równości
n−1−|m|
s
|ψn,l,m
i=
p
|ψn,j,m
i
=
X
j=0
n−1
X
l=|m|
n−1−|m|
p
p
s
|ψn,j,m
ihψn,j,m
|ψn,l,m
i=
p
s
s
|ψn,l,m
ihψn,l,m
|ψn,j,m
i
=
n−1
X
l=|m|
X
j=0
(n,m)
Tj,l
p
|ψn,j,m
i,
(6.15)
(n,m) ∗
s
Tj,l
|ψn,l,m
i.
Unitarne macierze transformacji T(n,m) pomiędzy bazami można wyznaczyć obliczając
iloczyny skalarne występujące we wzorach (6.15). Aby znaleźć wartości definiujących te
p
s
iloczyny całek, trzeba sprowadzić funkcje |ψn,j,m
i i |ψn,l,m
i do tego samego układu współrzędnych; najdogodniejszy jest w tym przypadku układ sferyczny. Kilka obliczonych ma-
20
cierzy T(n,m) jest zestawionych poniżej:
T
(n,±(n−1))
= [ 1 ],
 √
2


 2
T(n,±(n−2)) = 
 √
2

2
 √
30


 10
 √

(4,±1)
10
T
=

 5
 √


30
10
√
√
5
5
√
15
0
−
5
√
√
2
5
−
2
5
2
2






,





√
2
2
√
2
−
2




,


 √
3


 3
 √

3
T(3,0) = 

 3
 √


3
3









(4,0)
T
=







√
2
2
√
6
6
√
6
0
−
3
√
√
2
6
−
2
6

√
√
1 3 5
5 
1
2
10
2
10 
√ 
√

5
1
1
3 5 

−
−

2
10
2
10 
√
√ .
5
1 3 5 
1


−
−
2
10
2
10 
√
√ 

1
5 
3 5 1
−
−
2
10
2
10






,





Równości T(n,±(n−1)) = [ +1 ] oraz T(n,m) = T(n,−m) zachodzą dzięki dodaniu w funkcjach (6.14) czynnika [− sgn m]m.
Dokładniejsze wyprowadzenia zawartych w tym rozdziale formuł znajdują się w raporcie [15].
7.
Rozpad ekscytonu na skutek tunelowania
Jak zostało to już powiedziane w rozdziale 2., zagadnienie ekscytonu w zewnętrznym
(dowolnie słabym) polu elektrycznym jest niestacjonarne. Rozpatrując problem w sposób
kwazistacjonarny można w przybliżeniu określić zmianę widma energetycznego ekscytonu
oraz znaleźć wartość pola Ei , dla której stan podstawowy przestaje istnieć. Rozpad (jonizacja) ekscytonu może jednak nastąpić dla |E| < Ei , a ściślej dla dowolnego E 6= 0.
Jest to skutkiem kwantowego efektu tunelowania, który pozwala na przejście ekscytonu
poprzez barierę potencjału ze stanu związanego ze zlokalizowaną funkcją falową do stanu
z funkcją falową rozciągłą.
Tunelowanie przez dwuwymiarową barierę jest bardzo złożonym zagadnieniem, dlatego ograniczmy się do przybliżenia jednowymiarowego. Rozpatrzmy przekrój potencjału
U(x, y) wzdłuż osi OX (rys. 6).
Dla cząstki o energii ε bariera rozciąga się pomiędzy punktami x1 i x2:
√
√
ε − ε2 − 16E
ε + ε2 − 16E
,
x2 =
.
x1 =
4E
4E
Jeżeli funkcję falową cząstki w punkcie x1 przedstawimy w postaci kombinacji fali padającej i fali odbitej Ψ1 + Ψ2, a w punkcie x2 w postaci fali przechodzącej Ψ3 , możemy w
21
Rys. 6. Tunelowanie przez jednowymiarową barierę potencjału
przybliżeniu WKB [13] wyznaczyć prawdopodobieństwo przejścia przez barierę (współczynnik tunelowania)


T ≈ exp −2
Zx2
x1
|k(x)| dx ,
gdzie |k| — moduł wektora falowego (w barierze jest on liczbą urojoną). W jednostkach
atomowych (2.7) powyższy wzór ma postać

T ≈ exp −2
Zx2 q
x1

U(x) − ε dx .
(7.1)
Wielkość ta związana jest z czasem życia ekscytonu, jednak ze względu na przyjęte
uproszczenia nie można tego związku podać explicite.
8.
Wyniki obliczeń numerycznych
Rozwiązywanie układu równań (5.3) równoważne jest poszukiwaniu miejsca zerowego
funkcji
hE (ε) = C0+ (E, ε) + C0− (E, ε),
gdzie C0± oznacza najniższą wartość własną stałej separacji C otrzymaną odpowiednio z
pierwszego i drugiego równania układu (5.3). Wystarczy znaleźć tylko najniższe wartości
własne, gdyż to one odpowiadają stanowi podstawowemu ekscytonu.
Wartości własne zagadnień (5.3) wyznaczane były numerycznie przy pomocy macierzowych metod siatkowych: trójpunktowej i Lindberga, opisanych w Dodatku G. W ten
22
sposób problem sprowadził się do znajdowania najniższej wartości własnej macierzy trójdiagonalnych za pomocą metody bisekcji. Metoda ta jest prosta, szybka i dokładna, co
zostało potwierdzone licznymi testami.
Specyficzną cechą zastosowanych metod jest rozpatrywanie równania Schrödingera na
ograniczonym przedziale, na brzegach którego zakłada się znikanie funkcji falowej. Jest to
równoważne postawieniu na końcach przedziału nieskończonych barier potencjału.
W przypadku kwazipotencjału V+ (u) nałożenie takiego warunku brzegowego nie powoduje istotnego błędu (o ile rozpatrywany przedział jest dostatecznie szeroki), gdyż funkcja
f(u) w barierze szybko zanika. Jest to skutkiem kształtu kwazipotencjału (rys. 4).
Dla potencjału V− (v) natomiast funkcja g(v) nie zanika dla |v| → ∞ i trzeba tak
dobrać szerokość rozpatrywanego przedziału, aby nałożenie sztucznych warunków brzegowych powodowało możliwie mały błąd.qOkazuje się, że wybór przedziału h−v1, v1i (rys. 7,
grubsza linia przerywana), gdzie v1 = 1/2 |ε/E|, prowadzi do błędnych wyników (energia
ekscytonu w silnym polu rośnie). Wybór przedziału h−v2, v2 i z potencjałem stałym na
odcinkach h−v2, −v1i i hv1 , v2i (cieńsza linia przerywana rys. 7) powoduje natomiast, że
energia ε przy wzroście pola maleje, a wyniki ustalają się przy wzroście odległości |v2 −v1|.
Rys. 7. Wybór warunków brzegowych dla potencjału V−
Obie metody (trójpunktowa i Lindberga) dają jednakowe wyniki. Większa dokładność
metody Lindberga przejawia się tylko przy bardzo słabych polach: poprawki do energii
stanu podstawowego obliczone dla różnych wartości E wykazują w niej mniejszy rozrzut
wokół krzywej opisanej równaniem (8.1).
Rys. 8 przedstawia obliczone wartości energii wiązania stanu podstawowego dwuwymiarowego ekscytonu ε0 (E) (linia ciągła). Linia kropkowana przedstawia
wartość poten√
cjału w jego maksimum na osi OX (por. rys. 6) Ub (E) = −4 E, a linia przerywana
23
różnicę ε0 − Ub . Rozpad ekscytonu interpretowany jest jako spadek tej różnicy do 0 (dla
E ≈ 1.1).
Rys. 8. Zależność energii wiązania i wysokości bariery od natężenia pola
(opis w tekście)
Rys. 9. Zależność przesunięcia energii stanu podstawowego ∆ε0 od natężenia pola (opis w tekście)
Na rys. 9 przedstawiona jest poprawka do energii stanu podstawowego ∆ε0 (E) =
= ε0 (E)−ε0(0) wyznaczona numerycznie (linia ciągła) oraz obliczona za pomocą drugiego
24
rzędu rachunku zaburzeń ze wzoru (według [8])
∆ε0 (E) = −
21 2
E ≈ −0.164E 2 .
128
(8.1)
Wyniki otrzymane obiema metodami niewiele się różnią (poprawka wyznaczona numerycznie jest większa co do wartości bezwzględnej o mniej niż 1% dla E < 0.05 i o około
10% dla E ∼ 1). Wynika stąd, że ekscyton dwuwymiarowy, jako stosunkowo silnie związany, jest słabo polaryzowalny i rachunek zaburzeń daje dlań zaskakująco dobre wyniki.
Obserwacja ta zgadza się z poczynioną w pracy [8]. Jest to sytuacja odmienna niż w
przypadku ekscytonu trójwymiarowego [1, 8].
Rys. 10 przedstawia obliczony według wzoru (7.1) współczynnik tunelowania w skali
liniowej i logarytmicznej. Współczynnik T osiąga stosunkowo dużą wartość (rzędu 0.1)
dla E ∼ 0.7.
Rys. 10. Zależność współczynnika tunelowania T od natężenia pola
25
Wybór liczby 0.1 jest tu zupełnie arbitralny, ponieważ zastosowane przybliżenie nie
umożliwia wyznaczenia czasu życia ekscytonu.
9.
Podsumowanie
Najważniejsze wyniki pracy można krótko przedstawić w następujący sposób:
1. Znaleziono układ współrzędnych, w którym równanie Schrödingera opisujące dwuwymiarowy ekscyton w zewnętrznym polu elektrycznym separuje się na dwa równania jednowymiarowe.
2. Zastosowana transformacja układu współrzędnych powoduje regularyzację hamiltonianu. Pozwala to na zastosowanie prostych i dokładnych metod numerycznych.
Otrzymane równania jednowymiarowe są podobne do zagadnienia własnego dla
oscylatora anharmonicznego.
3. Podobny opis można zastosować do ekscytonu trójwymiarowego, co pozwala na
rozpatrywanie obu przypadków w ramach jednolitego podejścia.
4. Zagadnienie jest niestacjonarne, co powoduje, że dla silnego zewnętrznego pola zastosowany opis kwazistacjonarny ma charakter przybliżony.
5. Wyniki obliczeń numerycznych wskazują, że stan podstawowy dwuwymiarowego
ekscytonu przestaje istnieć w polu elektrycznym o natężeniu około 1.1 (w jednostkach bezwymiarowych). Jonizacja ekscytonu może wystąpić przy dowolnie słabych
polach, a jej prawdopodobieństwo szybko rośnie przy wzroście E.
6. Wyznaczone przesunięcie energii stanu podstawowego pod wpływem pola elektrycznego niewiele odbiega od wyznaczonego przy pomocy rachunku zaburzeń. Oznacza
to, że ekscyton dwuwymiarowy jest słabiej polaryzowalny niż trójwymiarowy.
W dalszych badaniach istotne byłoby rozwiązanie (przynajmniej przybliżone) równania Schrödingera z czasem i wyznaczenie czasu życia ekscytonu. Ponadto warte uwagi jest
zbadanie ekscytonu dwuwymiarowego z potencjałem kulombowskim typu ln r.
Dodatek
A.
Współrzędne paraboliczne płaskie
Na płaszczyźnie możemy zdefiniować ortogonalny układ współrzędnych parabolicznych
(u, v) związanych ze współrzędnymi kartezjańskimi (x, y) wzorami [16]
u2 − v 2
,
2
y = uv,
x=
u=
√
v=
√
r − x,
26
r + x,
(A.1)
gdzie r — długość promienia wodzącego:
r=
q
x2 + y 2 =
u2 + v 2
.
2
(A.2)
Aby pokryć całą płaszczyznę, jedna ze współrzędnych (np. v) musi przybierać dowolne
wartości rzeczywiste, a druga (u) — tylko nieujemne. Linie u = const i |v| = const są
parabolami o ogniskach w początku układu i wierzchołkach skierowanych odpowiednio
w prawo i w lewo, przy czym sgn v = sgn y. Ich osią symetrii jest oś x (patrz rys. 11).
Rys. 11. Siatka współrzędnych w układzie parabolicznym
Z często używanymi współrzędnymi biegunowymi (r, ϕ) wiążą współrzędne paraboliczne zależności
s
u2 + v 2
r=
,
2
2uv
,
ϕ = arc tg 2
u − v2
q
√
ϕ
,
2
q
√
ϕ
v = 2r (1 − cos ϕ) = 2r sin ,
2
u=
2r (1 + cos ϕ) =
2r cos
(A.3)
przy czym ϕ przyjmujemy z przedziału (−π, +πi.
Równania (A.1) i (A.3) upraszczają się po zapisaniu ich przy pomocy liczb zespolonych. Zdefiniujemy w tym celu liczby
re = x + iy = reiϕ ,
27
se = u + iv,
(A.4)
przy czym re se ­ 0. Możemy teraz napisać
ϕ = arg re = 2 arg se,
√
√
s
1
re = ,
se = 2re = 2r e /2 iϕ ,
2
e2
(A.5)
czyli przyporządkowanie se ↔ ρe można opisać funkcją analityczną —
√ jest to odwzorowanie
konforemne (poza punktem 0). Ze względu na własności funkcji re przyporządkowanie
to nie jest jednoznaczne — płaszczyzna re przechodzi, z cięciem wzdłuż ujemnej półosi
rzeczywistej, na dwie równoważne półpłaszczyzny: re se > 0 i re se < 0. W ten sposób
funkcja f(re) przechodzi na funkcję f(se) o własności symetrii f(se) = f(−se).
Inaczej mówiąc, zamiast arbitralnie wybierać u ­ 0, możemy rozpatrywać funkcje
na całej płaszczyźnie (u, v) przy nałożeniu warunku parzystości f(−u, −v) = f(u, v), co
może być w pewnych przypadkach bardzo wygodne.
Laplasjan w płaskich współrzędnych parabolicznych ma postać
1
∇ = 2
u + v2
2
!
∂2
∂2
+
.
∂u2 ∂v 2
(A.6)
Elementem powierzchni jest
dS =
∂(x, y)
du dv = (u2 + v 2) du dv,
∂(u, v)
więc iloczyn skalarny ma postać
′
hψ|ψ i =
Z∞ Z∞
ψ ∗(u, v) ψ ′(u, v) (u2 + v 2 ) du dv.
(A.7)
−∞ 0
Współrzędne paraboliczne na płaszczyźnie można też zdefiniować nieco inaczej:
u−v
,
u = r + x,
x=
(A.8)
√2
y = uv,
v = r − x.
Przyporządkowanie se ↔ ρe nie jest wtedy opisane funkcją analityczną, a wzór definiujący laplasjan ma postać znacznie bardziej skomplikowaną niż (A.6).
B.
Współrzędne obrotowo-paraboliczne
Jednym z trójwymiarowych ortogonalnych układów współrzędnych jest układ obrotowo-paraboliczny [16]. Współrzędne (u, v, ϕ) w tym układzie są związane ze współrzędnymi kartezjańskimi (x, y, z) następującymi wzorami:
√
x = uv cos ϕ,
u = r + z,
√
y = uv sin ϕ,
v = r − z,
(B.1)
u2 − v 2
z=
,
ϕ = arc tg(y/x),
2
28
gdzie r — długość promienia wodzącego:
r=
q
x2 + y 2 + z 2 =
u2 + v 2
.
2
(B.2)
Współrzędne u, v są nieujemne, a ϕ przyjmujemy z przedziału (−π, +πi. Powierzchnie
u = const i v = const są paraboloidami obrotowymi o ogniskach w początku układu,
skierowanymi odpowiednio wierzchołkami w górę i w dół. Ich osią symetrii jest oś OZ,
będąca też wspólną krawędzią półpłaszczyzn ϕ = const (patrz rys. 12).
Rys. 12. Obrotowo-paraboliczny układ współrzędnych
Związki współrzędnych parabolicznych z często używanymi współrzędnymi sferycznymi (r, ϑ, ϕ) są następujące:
s
u2 + v 2
,
2
u2 − v 2
,
ϑ = arc cos 2
u + v2
r=
q
√
ϑ
2r cos ,
2
q
√
ϑ
v = 2r (1 − cos ϑ) = 2r sin ,
2
u=
2r (1 + cos ϑ) =
(B.3)
a współrzędna ϕ jest w obu układach taka sama; kąt ϑ przyjmuje wartości z przedziału
h0, πi.
Podobnie jak w przypadku dwuwymiarowym (Dodatek A), równania (B.1) i (B.3)
upraszczają się, jeżeli zapiszemy je przy pomocy liczb zespolonych. Zdefiniujemy w tym
celu liczby
ρe = x + iy = ρeiϕ,
re = z + iρ = reiϑ ,
se = u + iv,
(B.4)
29
przy czym im ρe ­ 0 oraz arg se ∈ h0, 1/2 πi. Możemy teraz napisać
e
ϕ = arg ρ,
2
se
re = ,
2
ϑ = arg re = 2 arg se,
√
√
1
se = 2re = 2r e /2 iϑ ,
czyli przyporządkowanie se ↔ ρe można opisać funkcją analityczną.
Laplasjan ma we współrzędnych obrotowo-parabolicznych postać
!
"
!
(B.5)
#
1
∂
1 ∂
∂
u2 + v 2 ∂ 2
1 ∂
∇ = 2
u
+
v
+ 2 2
,
u + v 2 u ∂u ∂u
v ∂v ∂v
u v ∂ϕ2
2
(B.6)
a elementem objętości jest
dV =
∂(x, y, z)
du dv dϕ = uv (u2 + v 2 ) du dv dϕ.
∂(u, v, ϕ)
Otrzymujemy stąd postać iloczynu skalarnego
′
hψ|ψ i =
Z
Z +∞
Zπ +∞
ψ ∗(u, v, ϕ) ψ ′(u, v, ϕ) uv (u2 + v 2) du dv dϕ.
−π 0
(B.7)
0
Współrzędne obrotowo-paraboliczne definiuje się też często nieco inaczej (np. w [12]):
√
x = uv cos ϕ,
u = r + z,
√
y = uv sin ϕ,
v = r − z,
(B.8)
u−v
z=
,
ϕ = arc tg(y/x).
2
Zmieniają się oczywiście wtedy postaci laplasjanu i iloczynu skalarnego (stają się nawet
nieco prostsze). Przyporządkowanie se ↔ ρe nie jest jednak wtedy opisane przez funkcję
analityczną.
C.
Wielomiany i stowarzyszone funkcje Legendre’a.
Harmoniki sferyczne
Wielomiany Legendre’a Pl (z) definiujemy wzorem
Pl (z) =
1 dl 2
(z − 1)l .
2l l! dz l
Przy ich pomocy określa się stowarzyszone funkcje Legendre’a Plm (z):
1
Plm (z) = (−1)m (1 − z 2 ) /2 m
1
(−1)m (1 − z 2) /2m
=
2l
dm
Pl (z) =
dz m
⌊1/2 (l−m)⌋
X
(−1)k
k=0
30
(2l − 2k)! z l−2k−m
.
k!(l − k)! (l − 2k − m)!
(C.1)
dla m = 0, 1, . . . , l. Funkcje te stanowią układ ortogonalny na przedziale h−1, 1i:
Z1
Plm (x) Plm
′ (x) dx =
−1
2 (l − m)!
δl,l′ .
2l + 1 (l + m)!
Harmoniki sferyczne Yl,m (ϑ, ϕ) definiuje się wzorem
v
u
u
|m|
mt 2l + 1 (l − m)!
Yl,m (ϑ, ϕ) = (sgn m)
Pl (cos ϑ) eimϕ .
4π (l + m)!
(C.2)
Stanowią one układ ortonormalny na sferze:
Zπ Z0
∗
Yl,m
(ϑ, ϕ) Yl′ ,m′ (ϑ, ϕ) d cos ϑ dϕ = δl,l′ δm,m′ .
−π π
Harmoniki sferyczne są funkcjami własnymi operatora momentu pędu we współrzędnych sferycznych.
D.
Konfluentna funkcja hipergeometryczna
Rozwiązaniem szczególnym równania różniczkowego Kummera
#
"
d
d2
z 2 + (c − z) − a f(z) = 0
dz
dz
(D.1)
jest [16, 17]
f1 (z) = F (a; c; z)
– konfluentna (albo zdegenerowana) funkcja hipergeometryczna, zwana też funkcją Kummera. Można ją przedstawić w postaci szeregu potęgowego
F (a; c; z) =
∞
Γ (c) X
Γ (a + k) z k
a
a(a + 1) z 2
= 1+ z+
+ ...,
Γ (a) k=0 Γ (c + k) k!
c
c(c + 1) 2
(D.2)
zbieżnego dla |z| < ∞ i c 6= 0, −1, −2, . . ..
Drugim (niezależnym liniowo) rozwiązaniem (D.1) jest funkcja [16]
f2 (z) =
( 1−c
z F (a + 1 − c; 2 − c; z)
F (a; c; z) ln z + (szereg potęgowy)
dla niecałkowitych c,
dla całkowitych c.
Jako drugi element fundamentalnego układu rozwiązań przyjmuje się też często funkcję
Tricomiego G(a, c; z), będącą pewną kombinacją liniową f1 (z) i f2 (z). Nie będziemy się
tu nią zajmować.
Ogólnym rozwiązanie równania (D.1) jest zatem
F(a; c; z) = C1 f1 (z) + C2f2 (z),
31
C1 , C2 – stałe.
(D.3)
Jeżeli a = −n (n = 0, 1, 2, . . .), to szereg (D.2) urywa się i funkcja F (−n, c, z) staje
się wielomianem n–tego stopnia. W ogólnym wypadku zachodzi wzór asymptotyczny [17]
Γ (c)
Γ (c) iπ(a−c) a−c x
eiπa x−a +
e
x e ,
x→∞ Γ (c − a)
Γ (a)
F (a; c; x) ∼
czyli dla a 6= −n funkcja F (a; c; z) zachowuje się asymptotycznie w przybliżeniu jak ex .
Funkcje postaci g(x) = xd ebx F(a; c; λx) spełniają równanie
"
!
c − 2d d
d2
+ λ + 2b −
+
2
dx
x
dx
!#
λ(a − d) + b(c − 2d) d(1 + d − c)
+
+ b(b + λ) +
g(x) = 0,
x
x2
1
(D.4)
2
natomiast funkcje postaci g(x) = xd e− /2 bx F(a; c; λx2 ) – równanie
"
2(c − d) − 1
d2
+ 2(b − λ)x +
2
dx
x
!
d
+
dx
d(2 + d − 2c)
+ b(b − 2λ)x2 + 2(b − λ)(c − d) + 2λ(c − 2a) +
x2
!#
(D.5)
g(x) = 0
(na podstawie [16]). Równania (D.4) i (D.5) sprowadzają się, po zamianie zmiennych, do
równania (D.1).
E.
Wielomiany i funkcje Laguerre’a
Uogólnione wielomiany Laguerre’a Lan (z) definiujemy za [17] dla n = 0, 1, 2, . . . i re a >
−1 jako
!
n
X
ez dn n+a −z
n + a (−z)k
a
Ln (z) =
(E.1)
[z e ] =
n! z a dz n
k!
k=0 n − k
Są one szczególnym przypadkiem konfluentnej funkcji hipergeometrycznej
Lan (z) =
(a + 1)n
F (−n; a + 1; z),
n!
(E.2)
Γ (a + 1 + n)
— symbol Pochhammera.
Γ (a + 1)
Należy tu zwrócić uwagę na to, że uogólnionymi wielomianami Laguerre’a nazywa się
czasem wielomiany n! · Lan (z) (i oznacza się je tak samo). Ponadto symbol Lkn (z) często,
zwłaszcza w literaturze fizycznej, oznacza stowarzyszone wielomiany Laguerre’a; jeżeli tu,
dla odróżnienia, zapiszemy je jako lnk (z), to mamy
gdzie (a)n = a(a + 1) · . . . · (a + n − 1) =
lnk (z)
dk 0
dk
= k Ln (z) ≡ k Ln (z) = (−1)k n! Lkn−k (z).
dz
dz
32
Uogólnione wielomiany Laguerre’a Lan (x) stanowię układ ortogonalny na przedziale
h0, ∞) z wagą xae−x :
Z∞
xa e−x Lan (x) Lan′ (x) dx =
0
Γ (n + 1 + a)
δn,n′ .
n!
(E.3)
Dla wielomianów tych istnieją liczne wzory rekurencyjne, m. in.
(n + 1)Lan+1 (z) = [(2n + 1 + a) − z]Lan (z) − (n + a)Lan−1 (z),
a
a
La−1
n (z) = Ln (z) − Ln−1 (z).
(E.4)
(E.5)
Ponadto spełniona jest równość
n
X
Lak (x)Lbn−k (y) = Lna+b+1 (x + y).
(E.6)
k=0
Zdefiniujmy1 za [18] funkcje Laguerre’a Lan (z):
Lan (z) =
s
n!
a
1
z /2 e− /2 z Lan (z).
Γ (n + 1 + a)
(E.7)
Zgodnie z (E.3) otrzymujemy dla nich zwięzek ortogonalności
Z∞
Lan (βx) Lan′ (βx) dx =
0
δn,n′
.
β
(E.8)
Funkcje Laguerre’a stanowią zupełny układ ortonormalny na dodatniej półosi rzeczywistej.
q
1
a
Mnożąc (E.4) przez n!/Γ (n + 1 + a) z /2 e− /2 z otrzymujemy związek rekurencyjny
βzLan (βz) = (2n + 1 + a)Lan (βz) +
−
q
n(n + a) Lan−1 (βz) −
q
(n + 1)(n + 1 + a) Lan+1 (βz).
(E.9)
Korzystając z niego i z (E.9) możemy obliczyć jeszcze jedną całkę:
Z∞
[Lan (βx)]2 x dx
= (2n + 1 + a)
0
F.
Z∞
[Lan (βx)]2 dx =
0
2n + 1 + a
.
β2
(E.10)
Wielomiany i funkcje Hermite’a
Wielomiany Hermite’a definiuje się (np. [17]) dla n = 0, 1, 2, . . . jako
⌊n/2⌋
X (−1)k (2z)n−2k
dn −z2
e
=
N!
.
Hn (z) = (−1) e
dz n
k! (n − 2k)!
k=0
n z2
1
(F.1)
Czasami funkcjami Laguerre’a nazywa się wielomiany Laguerre’a uogólnione na przypadek niecałkowitych n za pomocą wzoru (E.2)
33
Związane są one z konfluentną funkcją hipergeometryczną wzorem
H2n+σ (z) = (−1)n
(2n + σ)!
(2z)σ F (−n; 1/2 + σ; z 2 ),
n!
σ = 0 lub 1.
(F.2)
Wielomiany Hermite’a Hn (x) stanowią układ ortogonalny na przedziale (−∞, ∞)
2
z wagą e−x :
+∞
Z
√
2
e−x Hn (x) Hn′ (x) dx = 2n n! π δn,n′ .
(F.3)
−∞
Słuszny jest wzór rekurencyjny
βzHn (βz) = 1/2 Hn+1 (βz) + nHn−1 (βz).
(F.4)
Z równości (E.2) i (F.2) wynikają związki między wielomianami Hermite’a i Laguerre’a:
1
/2 2
H2n (z) = (−4)n n! L−
n (z ),
(F.5)
1
H2n+1 (z) = (−4)n n! 2z Ln/2 (z 2 ).
Funkcje Hermite’a Hn (z) definiuje się (np. [18]) jako
1
2
e− /2 z Hn (z)
Hn (z) = q
√ .
2n n! π
(F.6)
Stanowią one układ ortonormalny zupełny na całej osi rzeczywistej. Zgodnie z (F.3) mamy
+∞
Z
Hn (βx) Hn′ (βx) dx =
−∞
δn,n′
.
β
(F.7)
Funkcje Hermite’a Hn (βz) są rozwiązaniami szczególnymi równania różniczkowego zagadnienia własnego kwantowego oscylatora harmonicznego
"
#
d2
− β 2z 2 + (2n + 1)β f(z) = 0.
dz 2
Mnożąc (F.4) przez (2n n!
√
1
1
(F.8)
2
π)− /2 e− /2 z otrzymujemy związek rekurencyjny
βzHN (βz) =
s
n+1
Hn+1 (βz) +
2
r
n
Hn−1 (βz).
2
(F.9)
Korzystając z niego oraz z ortogonalności funkcji Hermite’a, obliczymy jeszcze jedną całkę:

+∞
Z
−∞
1
[xHn (βx)]2 dx = 2 (n + 1)
2β
1
= /2 β
−2
+∞
Z
[Hn+1 (βx)]2 dx + n
+∞
Z
−∞
−∞
1
[(n + 1)/β + n/β] = (n + /2 ) β
34
−3
.

[Hn−1 (βx)]2 dx
(F.10)
Skorzystamy teraz ze wzorów (E.6) i (F.5). Otrzymamy
1
1
L0n (x2 + y 2) = Ln− /2 − /2 +1 (x2 + y 2) =
n
X
−1/2
Lk
−1/
(x2) Ln−k2 (y 2 ) =
k=0
n
X
!
n
X
(−1) H2k (x) (−1) H2n−2k (y)
n
1
=
H2k (x) H2n−2k (y).
=
k
n−k
n
k! 4 (n − k)! 4
n! (−4) k=0 k
k=0
k
n−k
1
Jeżeli pomnożymy tę równość obustronnie przez e− /2 (x
i (F.6), otrzymujemy
2 +y2 )
, to, zgodnie z definicjami (E.7)
q
√
n
X
(2k)! (2n − 2k)!
π
H2k (x) H2n−2k (y).
L0n (x2 + y 2 ) =
(−2)n k=0
k! (n − k)!
G.
(F.11)
Metody macierzowe rozwiązywania jednowymiarowego równania Schrödingera
Metody macierzowe rozwiązywania równania Schrödingera polegają na jego dyskretyzacji i sprowadzeniu do algebraicznego zagadnienia własnego.
Funkcję falową ψ(z) rozważamy na przedziale ha, bi. Nakładamy warunki brzegowe
ψ(a) = ψ(b) = 0,
(G.1)
które odpowiadają postawieniu nieskończonych barier potencjału w punktach a i b. W
tej sytuacji mamy wyłącznie stany związane. Przedział ha, bi dzielimy na N + 1 równych
podprzedziałów o długości
b−a
s=
.
N +1
Funkcję falową ψ reprezentujemy za pomocą wektora
ψ = [ψ1, ψ2, . . . , ψN ]T ,
którego składowymi są wartości funkcji ψ w kolejnych punktach siatki:
ψi = ψ(zi), gdzie zi = a + is.
Zgodnie z warunkami (G.1),
ψ0 = ψN +1 = 0.
(G.2)
Podobnie określamy na siatce potencjał: Ui = U(zi ).
Występujące w równaniu Schrödingera operatory różniczkowe przybliżamy za pomocą
różnic skończonych, a powstały układ równań po zapisaniu go w postaci macierzowej
stanowi zagadnienie na wartości i wektory własne pewnej macierzy H:
Hψ = εeψ,
odpowiadające równaniu Schrödingera z hamiltonianem H:
Hψ = εψ.
35
Najniższe wartości własne εe są związane z energiami kolejnych stanów związanych ε, a
odpowiadające im wektory ψ opisują funkcje falowe ψ tych stanów.
Weźmy równanie Schrödingera zapisane w postaci bezwymiarowej
"
#
d2
− 2 + U(z) ψ(z) = εψ(z).
dz
(G.3)
Jeżeli przybliżymy występującą w równaniu (G.3) drugą pochodną trójpunktowym wzorem różnicowym (jest to metoda trójpunktowa):
d2 ψ
dz 2
!
=
zi
ψi−1 − 2ψi + ψi+1
+ O(s2 ),
s2
(G.4)
to otrzymamy układ N równań (i = 1, 2, . . . , N) odpowiadających punktom z1, z2 , . . . , zN :
− ψi−1 + (2 + Uei )ψi − ψi+1 = εeψi .
(G.5)
Wielkości Uei i εe są związane z potencjałem i energią wzorami
Uei = s2 Ui ,
εe = s2ε.
Zapisując układ równań (G.5) w postaci macierzowej i uwzględniając warunki brzegowe (G.2), otrzymujemy Hψ = εeψ z macierzą postaci





H=



2 + Ue1
−1
0
e
−1
2 + U2
−1
0
−1
2 + Ue3
..
.
0
···
0
···
···
···
..
.
0
0
0
..
.
−1 2 + UeN





 = trid(−1, 2 + Ui , −1).



Jest to macierz symetryczna trójdiagonalna N ×N o niezerowych wszystkich wyrazach
pozadiagonalnych. Wiadomo, że macierz taka ma N różnych wartości własnych (wiadomo
także [12], iż wartości własne hamiltonianu w przypadku jednowymiarowym odpowiadające stanom związanym są niezdegenerowane). Najniższe spośród wartości własnych H
odpowiadają energiom kolejnych stanów związanych.
Ponieważ nie interesują nas wszystkie wartości własne macierzy H, a wyznaczenie
wszystkich (zwykle N = 103 –104 ) byłoby zbyt czasochłonne, wygodnie jest zastosować
metodę bisekcji pozwalającą na poszukiwanie tylko wartości własnych należących do zadanego przedziału, a przy tym bardzo dokładną i stabilną numerycznie. Opiera się ona na
twierdzeniu Martina-Deana [19], które jest w uproszczonej formie przytoczone poniżej.
Niech H będzie macierzą rozmiaru N × N postaci





H=



a 1 b2 0
b2 a 2 b3
0 b3 a 3
..
.
···
···
···
..
.
0
bN a N
···
0
36
0
0
0
..
.





.



(G.6)
Wówczas liczba wartości własnych macierzy (G.6) mniejszych od x jest równa
liczbie ujemnych wyrazów ciągu
u1 = a1 − x,
ui = a i − x −
b2i
ui−1
dla i = 2, 3, . . . , N.
(G.7)
W przypadku metody Lindberga [20] posługujemy się przybliżeniem operatora drugiej
pochodnej za pomocą aproksymanty Padé:
d2 ψ
dz 2
!
=
zi
δ2
1
ψ
s2 1 + δ 2/12
!
+ O(s4 ),
i
gdzie (δ 2ψ)i = ψi−1 − 2ψi + ψi+1 . Otrzymujemy stąd układ N równań odpowiadających
punktom z1, z2, . . . , zN , który możemy zapisać w postaci uogólnionego macierzowego zagadnienia własnego
Aψ + εe Mψ = 0,
(G.8)
gdzie A oraz M są macierzami trójdiagonalnymi:
s2
10s2
s2
Ui−1 , −2 −
Ui−1 , 1 − Ui+1 ) = trid(bi−1 , ai, bi+1 )
12
12
12
M = trid(1, 10, 1) = trid(β, α, β).
A = trid(1 −
Liczba wartości własnych zagadnienia (G.8) mniejszych od x jest równa liczbie dodatnich wyrazów ciągu
d1 = a1 + αx,
di = ai + αx −
(bi + βx)(bi−1 + βx)
di−1
dla i = 2, 3, . . . , N.
(G.9)
Korzystając z ciągów (G.7) i (G.9) można łatwo wyznaczać wartości własne zdyskretyzowanego równania Schrödingera przy użyciu metody bisekcji.
Sposoby wyznaczania wektorów własnych równania Schrödingera przedstawione są
m. in. w pracy [14].
Literatura
[1] W. Salejda, K. Ryczko, J. Misiewicz: Wpływ zewnętrznego pola elektrycznego na
widmo ekscytonowe w GaAs, Raport PRE–163/96, Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej, 1996.
[2] M. Shinada, S. Sugano: Interband Optical Transitions in Extremely Anisotropic Semiconductors. Bound and Unbound Exciton Absorption, J. Phys. Soc. Japan 21, 1936
(1966).
[3] C. B. Duke, M. E. Alferieff: Solvable Model of Hydrogenic System in a Strong Electric
Field: Application to Optical Absorption in Semiconductors, Phys. Rev. 145, 583
(1966).
37
Praca dyplomowa może przyjmować różne formy w zależności od typu studiów i kraju, w którym
są realizowane. Najczęściej spotykanymi rodzajami prac dyplomowych są:
Praca licencjacka: Jest to praca napisana na zakończenie studiów licencjackich. Zazwyczaj skupia
się na prezentacji podstawowej wiedzy w wybranym obszarze naukowym lub zawodowym.
Praca magisterska: Praca magisterska jest pisana przez studentów na zakończenie studiów
magisterskich. Często ma charakter bardziej pogłębiony niż praca licencjacka i wymaga wykonania
własnych badań lub analizy konkretnego problemu.
Praca inżynierska: Jest to praca napisana przez studentów studiów inżynierskich. Skupia się na
praktycznym zastosowaniu wiedzy inżynierskiej w rozwiązaniu konkretnego problemu
technicznego.
Zarządzanie, marketing, ekonomia i administracja to obszary, w których prace dyplomowe mogą
przynieść wiele interesujących wniosków. W zarządzaniu można badać strategie firmy,
zachowania liderów, czy wpływ kultury organizacyjnej na wyniki. W pracach z marketingu
tematyka może obejmować analizę rynku, badanie zachowań konsumentów czy ocenę
skuteczności kampanii marketingowych. Prace z ekonomii mogą badać wpływ polityki
gospodarczej na gospodarkę, analizować zmiany na rynkach finansowych, czy badać przyczyny i
skutki ubóstwa. W pracach z administracji natomiast można skupić się na strukturach
administracyjnych, procesach decyzyjnych czy wpływie polityki publicznej na społeczeństwo.
Prace z politologii to kolejny szeroki obszar, w którym student może zająć się badaniem procesów
politycznych, systemów wyborczych, czy wpływu mediów na politykę. Niezależnie od obszaru,
każda praca dyplomowa zawsze wymaga pisanie analiz. To proces, który obejmuje interpretację
zebranych danych, identyfikację wzorców, wnioskowanie i tworzenie argumentów. Z kolei prace
z rolnictwa wymagają przeprowadzanie badań. Często podobne badania zawierają prace z ekologii.
Prace z filozofii z kolei, to obszar, w którym studenci mogą badać różne filozoficzne koncepcje,
teorie i idee, zastanawiać się nad pytaniem o sens życia, wolną wolę, prawdę, moralność, a także
analizować dzieła różnych filozofów.
W sumie, prace dyplomowe są wyrazem umiejętności, wiedzy i zrozumienia studenta dla danego
obszaru nauki. Są one ważne nie tylko jako końcowy produkt edukacyjny, ale także jako dowód
na zdolność studenta do samodzielnego myślenia, badania, analizy i argumentacji. Bez względu na
to, czy dotyczą one teologii, bankowości, prawa, zarządzania, marketingu, ekonomii, administracji,
politologii czy filozofii - są one nieodłączną częścią edukacji akademickiej.
[4] J. D. Dow, D. Redfield: Electroabsorption in Semiconductors: The Excitonic Absorption Edge, Phys. Rev. B 1, 3358 (1970).
[5] D. F. Blossey: Wannier Exciton in an Electric Field. I. Optical Absorption by Bound
and Continuum States, Phys. Rev. B 2, 3976 (1970).
[6] D. F. Blossey: Wannier Exciton in an Electric Field. II. Electroabsorption in Direct-Band-Gap Solids, Phys. Rev. B 3, 1382 (1971).
[7] E. I. Raszba, M. D. Sturge: Eksitony, Nauka, Moskwa 1985.
[8] F. L. Lederman, J. D. Dow: Theory of electroabsorption by anisotropic and layered
semiconductors. I. Two-dimensional exciton in a uniform electric field, Phys. Rev.
B 13, 1633 (1976).
[9] G. Bastard: Wave Mechanics Applied to Semiconductor Heterostructures, Les Editions de Physique, Les Ulis Cedex 1988.
[10] R. P. Leavitt, J. W. Little: Simple method for calculating exciton binding energy in
quantum-confined semiconductor structures, Phys. Rev. B 42, 11774 (1990).
[11] W. L. Boncz-Brujewicz, S. G. Kałasznikow: Fizyka półprzewodników, PWN, Warszawa 1985.
[12] L. D. Landau, E. M. Lifszic: Mechanika kwantowa. Teoria nierelatywistyczna, PWN,
Warszawa 1958.
[13] I. Białynicki-Birula, M. Cieplak, J. Kamiński: Teoria kwantów. Mechanika falowa,
PWN, Warszawa 1991.
[14] M. Tyc, J. Andrzejewski, W. Salejda, M. Kubisa, K. Ryczko, M. Just: Macierzowe metody numerycznego rozwiązywania równania masy efektywnej, Raport
SPR–331/98, Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej, 1998.
[15] W. Salejda, M. Tyc: Dwu- i trójwymiarowy ekscyton w zewnętrznym stałym polu
elektrycznym. I. Wyprowadzenie podstawowych formuł, Raport SPR–312/97, Instytut
Fizyki Politechniki Wrocławskiej, 1997.
[16] E. Madelung: Matiematiczeskij apparat fiziki, FIZMATGIZ, Moskwa 1961.
[17] M. Abramowitz, I. A. Stegun: Sprawocznik po specialnym funkcijam s formułami,
grafikami i matiematiczeskimi tablicami, Nauka, Moskwa 1979.
[18] W. I. Smirnow: Matematyka wyższa, t. III, PWN, Warszawa 1965.
[19] P. Dean: The vibrational spectra of disordered systems. Numerical results, Rev. Mod.
Phys. 44, 127 (1972).
[20] B. Lindberg: A new efficient method for calculation of energy eigenvalues and eigenstates of the one-dimensional Schrödinger equation J. Chem. Phys. 88, 3805 (1988).
38