konspekt funkcje trygonometryczne kąta rozwartego

Funkcje trygonometryczne kąta rozwartego.
Umiemy już definiować funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym (dla kątów
ostrych). Teraz zobaczymy jak można uogólnić tę definicję także dla kąta rozwartego.
Zaznaczmy w układzie współrzędnych kąt α.
Końcowe ramię kąta α wyznacza punkt M = (x, y), a początkowe pokrywa się z osią OY.
Teraz możemy podać ogóle definicje funkcji trygonometrycznych (patrz tablice
maturalne):
Definicja funkcji trygonometrycznych niezależnie od wielkości kąta jest taka sama.
Przykład 1. (α.
Załóżmy, że na ramieniu kąta α zaznaczono punkt M =(3,4). Jakie będą wówczas wartości
funkcji trygonometrycznych tego kąta?
Rozwiązanie:
Wykonujemy rysunek do zadania:
Obliczamy długość r:
1
Obliczamy wartości funkcji trygonometrycznych:
Przykład 2. (α.
Załóżmy, że na ramieniu kąta α zaznaczono punkt M =( 3,4). Jakie będą wówczas
wartości funkcji trygonometrycznych tego kąta?
Rozwiązanie:
Wykonujemy rysunek do zadania:
Obliczamy długość r:
Obliczamy wartości funkcji trygonometrycznych:
2
Jak widać na powyższych przykładach funkcje trygonometryczne mogą przyjmować
również wartości ujemne.
W zależności od ćwiartki układu współrzędnych można przypisać każdej funkcji
trygonometrycznej konkretny znak.
W pierwszej ćwiartce wszystkie są dodatnie,
w drugiej tylko sinus.
Pamiętając powyższe od razu możemy ustalić znak dowolnej funkcji trygonometrycznej.
Przykładowo:
1. sin
jest dodatni, ponieważ kąt
2. wartości funkcji cos
i tg
leży w drugiej ćwiartce.
są ujemne, ponieważ kąt
leży w drugiej
ćwiartce.
Zadanie
3
Rozwiązanie:
P = (- 4; 5) zatem x = - 4, a y = 5 |
|
Odp. D.
Wzory redukcyjne
(wyznaczanie wartości funkcji trygonometrycznych kąta rozwartego, przez sprowadzenie
do przypadku kąta ostrego)
Wzory redukcyjne służą do redukowania kąta rozwartego w funkcjach trygonometrycznych
do I ćwiartki (kąta ostrego).
Co należy zrobić, aby zredukować kąt rozwarty do kąta ostrego?
Przedstawić kąt rozwarty w postaci
czerwono).
i zastosować wzór z tablic (podkreślone na
Przykład 1:
Oblicz: tg 120°
Rozwiązanie:
Stosujemy trzeci wzór:
(
√
Przykład 2:
Oblicz: sin 150°
Rozwiązanie:
4
(
Zadanie1
Rozwiązanie: (tabelka w tablicach)
sin1200 = sin(1800 – 600) = sin 600 =
zatem:
sin1200 – cos 300 =
√
√
cos300 =
√
√
Z tabelki odczytujemy, że sin00 = 0
Odp. C
Zadanie 2.
Rozwiązanie:
Zapamiętaj! Jeżeli znamy długości dwóch boków dowolnego trójkąta i miarę kąta między
tymi bokami to pole trójkąta liczymy ze wzoru:
5
Zatem:
Liczymy sin1200:
sin1200 =sin(1800 – 600) = sin 600 =
√
√
√
√
Odp. C
Zadanie 3.
W układzie współrzędnych zaznaczono kąt α.
Jedno z ramion kąta α przechodzi przez punkt P = (−4,3). Wtedy:
A. cosα = 0,8
B. cosα =
0,8
C. cosα =
D. cosα =
Rozwiązanie:
P = (-4; 3)
zatem x = - 4
y=3
Liczymy z tw. Pitagorasa r :
Odp. B.
6
Zadanie 4.
Oblicz:
a) cos 900 – 3 sin 900
b) 2 sin 00 – cos2 1800
c) cos200 – tg21800
Zadanie 5.
Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta
a) cos
b) sin
c) sin
Zadanie 6.
Oblicz:
a) sin2 1200 – cos2 1350
b)
e) 6 tg 1350 – 8 sin 1200
c) 4 cos 1200 cos 1350
d)
f)
Zadanie 7.
Które z podanych niżej wyrażeń ma wartość równą 0?
A. cos 1370 – cos 430
B. sin 1370 – cos 430
C. cos 1370 + sin 430
D. cos 1370 + cos 430
Zadanie 8.
Liczba
A. (- 2; - 1)
należy do przedziału:
B. (- 1; 0)
C. (0; 1)
D. (1; 2)
Zadanie 9.
Oblicz, odczytaj z tablic wartości funkcji trygonometrycznych dla
kątów:
a) 120o
b) 150o
c) 135o
d) 100o
e) 130o
Zadanie 10.
Oblicz:
a) sin260o + tg45o =
b) tg2150o -2 sin2120o =
c) cos120o – 3tg135o =
d) 3cos2135o -2tg2120o
7
8