Lista zadań nr 9 Estymatory nieobciąŜone o minimalnej wariancji

Lista zadań nr 9
Estymatory nieobciąŜone o minimalnej wariancji (ENMW)
Zadanie 1
Udowodnić, Ŝe ENMW jest dodatnio skorelowany z dowolnym estymatorem nieobciąŜonym
tej samej funkcji parametru
Zadanie 2
Udowodnić, Ŝe jeśli g1 i g2 są ENMW to g1 = g2 p.w.
Zadanie 3
Udowodnić Ŝe jeśli g jest ENMW, to osiąga dolne ograniczenie (pewnej) nierówności typu
Cramera-Rao.
Zadanie 4
Niech X będzie n-wymiarową próbą z rodziny rozkładów N(m, σ2). Wiadomo, Ŝe minimalną
n
statystyka dostateczną dla tej rodziny jest
∑X
i
2
. WskaŜ ENMW dla funkcji γ (m) = m .
i =1
Wsk. Rozpatrz estymatory postaci g (X) = AX 2 + B , A, B pewne stałe. Powołaj się na
twierdzenie Blackwella - Rao.
Zadanie 5
Niech X będzie n-wymiarową próbą z rodziny rozkładów N(m, σ2), m, σ2 nie są znane.
n
n
Wiadomo, Ŝe minimalną statystyka dostateczną dla tej rodziny jest ( ∑ X i , ∑ X i ).
2
i =1
i =1
Uzasadnić, Ŝe wariancja próbkowa jest ENMW dla wariancji rozkładu cechy.
Zadanie 6
Zbadać efektywność wskazanych estymatorów wskazanych funkcji parametrów dla
wskazanych rodzin rozkładów:
a) rodzina rozkładów normalnych N(m,σ2) , parametr m , estymator: X .
b) rodzina rozkładów dwumianowych b(N,p) , N - dane, parametr p , estymator AX , A –
pewna stała.
c) rodzina rozkładów Poissona π(λ) , parametr: wariancja rozkładu, estymator X .
β
d) rodzina rozkładów Gamma G(λ,β), β dane, funkcja parametru γ (λ ) = , estymator X
λ