Konkurs matematyczny

Konkurs matematyczny „Pokochaj matematykę” zadania na maj 2017r.
Klasa II liceum ( maj 2017r. )
kątów  , 
zachodzi równość
 
(cos   cos  ) 2  (sin   sin  ) 2  4 cos 2
.
(3 pkt)
2
Wykaż, że jeżeli cztery różne pierwiastki równania x 4  px 2  q  0 tworzą ciąg
arytmetyczny, to 9 p 2  100q.
(5 pkt)
Dana jest następująca tablica liczb naturalnych:
1
2
3 …….
n
2
4
6 …….
2n
.
.
. …….
.
.
.
. …….
.
n
2n
3n …….
n2
Oblicz n, jeżeli suma wszystkich liczb w tej tablicy równa się 14 400.
(5 pkt )
Sporządź wykres funkcji
,
gdzie
jest
liczbą
dodatnich
g : m  g (m)
g (m)
2 x  2m  3
pierwiastków równania mx 
w zależności od wartości parametru m .
x3
(4pkt)
2
2
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n liczba (n  n)( n  2) jest podzielna przez 6.
( 4 pkt )
Znajdź wszystkie liczby rzeczywiste b takie, że zbiór rozwiązań równania
( x 3  3x 2  4)( x 2  bx  4)  0 jest zbiorem trzyelementowym.
(4 pkt)
1. Wykaż,
2.
3.
4.
5.
6.
że
dla
dowolnych
Klasa I liceum ( maj 2017r. )
1. Liczba a jest odwrotnością liczby b i obie liczby spełniają równanie
x 2  (3m  2) x  2m  3  0 , gdzie x jest niewiadomą. Znajdź te liczby.
(3pkt)
2. Niech x i y będą nieujemnymi liczbami rzeczywistymi, takimi, że x  y . Wykaż, żę
zachodzi nierówność x 4  y 4  2 xy 3 .
(3 pkt)
3. Wykaż, że jeżeli liczba n jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych, to liczba
(4 pkt)
5n również ma te własność.
2
4. Dla jakich wartości parametru a równanie x  1  a  4a  1 ma dwa dodatnie
pierwiastki?
(3pkt)
 y  6x  m
5. Dla jakich wartości parametru m układ równań 
ma
2
 y  3x  1
a) jedno rozwiązanie
b) dwa rozwiązania.
(4 pkt)
6. Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x i każdej liczby rzeczywistej m
prawdziwa jest nierówność 20 x 2  24mx  18m 2  4 x  12m  5.
(4 pkt)
Powodzenia!
Jadwiga Banasiuk