Zadanie 1

Zadanie 1
Zbadano przebiegi 200 opon samochodowych pewnego typu wycofanych z eksploatacji i otrzymano
wyniki
Przebiegi opon (tys. km) 25-30 30-35 35-40 40-45 45-50 50-55
Liczba opon
15
30
65
55
25
10
Na poziomie istotności 0,05 zweryfikować hipotezę, że rozkład przebiegu opon jest normalny.
Obliczenia pomocnicze
xio – xi1
25-30
30-35
35-40
40-45
45-50
50-55
suma
k

xi
27,5
32,5
37,5
42,5
47,5
52,5

ni

x i  ni
15
30
65
55
25
10
200
( x i  x ) 2 ni
412,5
975,0
2437,5
2337,5
1187,5
525,0
7875,0
2115,23
1417,97
228,52
537,11
1650,39
1722,66
7671,88

 xi  ni
7875
 39,375
200
n
1 k 
7671,88
 38,3594
wariancja z próby S 2   ( xi  x ) 2  ni 
n i 1
200
x
średnia z próby
i 1

odchylenie standardowe z próby S  S 2  6,1935
xio – xi1
ni
nski
poniżej 30
30-35
35-40
40-45
45-50
50 i więcej
suma
15
30
65
55
25
10
200
15
45
110
165
190
200
H o : F ( x)  Fo ( x)
xi1
nsk i
n
0,0750
0,2250
0,5500
0,8250
0,9500
1,0000
Fn ( xi ) 
30
35
40
45
50
x
zi1 
xi1  x
S
-1,51
-0,71
0,10
0,91
1,72
x
Fo ( xi )
| Fn ( x)  Fo ( x) |
0,0655
0,2389
0,5398
0,8186
0,9573
1
0,0095
0,0139
0,0102
0,0064
0,0073
0,0000
Test zgodności  Kołmogorowa
H1 : F ( x)  Fo ( x)
F(x) dystrybuanta badanej cechy w populacji
Fo(x) dystrybuanta rozkładu normalnego N (  , )
D  max | Fn ( x)  Fo ( x) | = 0,0139
n
Fn ( xi )  sk i dystrybuanta empiryczna policzona dla górnej granicy i-tego przedziału, i = 1, 2, ..., k
n
Fo ( xi ) dystrybuanta rozkładu normalnego odczytana z tablic dla standaryzowanej górnej granicy i-tego
przedziału zi1  xi1  x
S
1
Statystyka testowa ma postać:   D n = 0,0139 200  0,1966
Obszar krytyczny jest prawostronny – wartość krytyczna    (1   )
Z tablic rozkładu granicznego -Kołmogorowa odczytujemy wartość dystrybuanty
F ( )  1   = 0,95
F(1,36) = 0,950512   = 1,36
Wartość statystyki z próby  = 0,1966 nie znalazła się w obszarze krytycznym 1,36; ) , na poziomie
istotności 0,05 nie ma więc podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej mówiącej, że rozkład przebiegu
opon jest normalny.
Zadanie 2
Wzrost (w cm) wylosowanych studentów był następujący:
173, 180, 182, 170, 175, 180, 165, 195, 187, 177
a) Na poziomie istotności 0,05 zweryfikuj hipotezę, że dobór studentów do próby był losowy.
b) Na poziomie istotności 0,05 zweryfikuj hipotezę, że próba pochodziła z rozkładu normalnego.
a) Test losowości próby
Test serii Stevensa
Ho: dobór jednostek do próby jest losowy
H1: dobór jednostek do próby nie jest losowy
1) Wyznaczamy medianę
Porządkujemy dane rosnąco: 165, 170, 173, 175, 177, | 180, 180, 182, 187, 195
177  180
Me 
 178,5
2
2) Tworzymy ciąg składający się z symboli A i B dla wyników z próby w kolejności pojawiania się
symbol A zastępuje wartości xi < Me
symbol B zastępuje wartości xi > Me
(wartości xi = Me pomijamy)
ABBAABABBA
3) Liczba serii k = 7 jest wartością statystyki z próby
4) Obszar krytyczny jest dwustronny – wartości krytyczne k1 i k2 odczytujemy z tablic rozkładu liczby
serii K w zależności od poziomu istotności  oraz nA – liczby symboli A i nB – liczby symboli B
k1  k ( 2 , nA , nB ) = k(0,025; 5; 5) = 2
k2  k (1  2 , nA , nB ) = k(0,975; 5; 5) = 9
5) Podjęcie decyzji: k1  k  k2  nie ma podstaw do odrzucenia Ho
Wartość statystyki z próby nie znalazła się w obszarze krytycznym, na poziomie istotności 0,05 nie ma
więc podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej mówiącej, że dobór studentów do próby był losowy.
b) Test zgodności z rozkładem normalnym
Test zgodności Kołmogorowa-Smirnowa
Założenia: próba mała (n < 100), wyniki z próby dane w szeregu szczegółowym
H o : F ( x)  Fo ( x)
H1 : F ( x)  Fo ( x)
F(x) dystrybuanta badanej cechy w populacji
Fo(x) dystrybuanta rozkładu normalnego N (  , )
2
Obliczenia pomocnicze dla danych uporządkowanych rosnąco
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
suma
xi
( xi  x ) 2
165
170
173
175
177
180
180
182
187
195
1784
zi 
179,56
70,56
29,16
11,56
1,96
2,56
2,56
12,96
73,96
275,56
660,4
xi  x
S
-1,65
-1,03
-0,66
-0,42
-0,17
0,20
0,20
0,44
1,06
2,04
i
n
Fo ( xi )
0,0495
0,1515
0,2546
0,3372
0,4325
0,5793
0,5793
0,6700
0,8554
0,9793
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
i
 Fo ( xi )
n
0,0505
0,0485
0,0454
0,0628
0,0675
0,0207
0,1207
0,1300
0,0446
0,0207
i 1
n
i 1
n
0,0495
0,0515
0,0546
0,0372
0,0325
0,0793
-0,0207
-0,0300
0,0554
0,0793
Fo ( xi ) 
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
k
x
i
1784
 178,4
10
n
1 k
660,4
 66,04
wariancja z próby S 2   ( xi  x ) 2 
n i 1
10
średnia z próby
x
i 1

odchylenie standardowe z próby S  S 2  8,1265
i

Dn  max   Fo ( xi )  = 0,1300
1 i  n n


i 1

Dn  max  Fo ( xi ) 
 = 0,0793
1 i  n
n 

Statystyka testowa ma postać: Dn  max( Dn , Dn ) = max(0,1300; 0,0793) = 0,1300
Obszar krytyczny jest prawostronny – wartość krytyczną D  D( , n) odczytuje się z tablic wartości
krytycznych rozkładu statystyki D przy nieznanych parametrach μ i σ dla  = 0,05 i n = 10
D  D(0,05;10) = 0,258
Wartość statystyki z próby Dn = 0,13 nie znalazła się w obszarze krytycznym 0,258; ) , na poziomie
istotności 0,05 nie ma więc podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej mówiącej, że rozkład wzrostu
studentów jest normalny.
Wskazówka
Porównaj przykłady z podręcznika Balicki A., Makać W. „Metody wnioskowania statystycznego”,
Wydawnictwo UG, Gdańsk 2002
3