LICZBY NATURALNE
I CAŁKOWITE
Hej, mam na imię
Zbigniew! Jestem
nauczycielem
matematyki.
Dziś wprowadzę was
w cudowny świat
liczb.
Gimnazjum w Blachowni
LICZBY NATURALNE
to 0,1,2,3,4,5,6,7,8 itd.
Zbiór wszystkich liczb naturalnych oznaczamy literą N.
Pojęcie liczby naturalnej pojawiło się w związku z liczeniem
przedmiotów i ustalaniem kolejności.
Na pytanie „ile?” odpowiadamy np.:
dwa jabłka, dwa ołówki, trzy żarówki itp.
Czy wiesz?
Wspólną własnością różnych zbiorów: zbioru dwóch jabłek, dwóch
ołówków jest posiadanie tej samej liczby elementów. Mówimy wówczas,
że dwa jest liczbą kardynalną. Odpowiadając na pytanie „na którym
miejscu?”, używamy zwrotów typu: drugi na mecie, drugi w kolejce itp.
Teraz liczba dwa ustala miejsce, ustala kolejność w pewnym ciągu
przedmiotów. Tak rozumianą liczbę nazywamy liczbą porządkową.
W języku polskim liczby porządkowe mają postać: pierwszy, drugi itd.
Liczby naturalne pojawiają się również w innych aspektach np.
miarowym(związanym z mierzeniem wielkości),
operatorowym(związanym z rozwiązywaniem działań arytmetycznych),
kodującym(związanym z kodowaniem informacji).
DODAWANIE LICZB NATURALNYCHdziałanie oznaczane krzyżykiem + (plus), które dowolnej parze liczb naturalnych m i n
przyporządkowuje taką liczbę naturalną p, że zbiór, który jest złączeniem zbirów
rozłącznych n- elementowego i m- elementowego jest zbiorem p- elementowego.
Liczbę p zapisujemy jako m+ n lub wynikiem dodawania liczb m i n.
Określenia suma używamy w dwóch formach,
To już nasze
np. liczba 5 jest sumą liczb 2 i 3,
drugie spotkanie!
Dziś dowiemy się
wyrażenie 2+3 jest sumą liczb 2 i 3 liczby.
jak dodajemy
Liczby , które dodajemy nazywamy składnikami.
liczby naturalne!
2 + 3= 5
↨ ↨ ↨
składniki suma
ODEJMOWANIE LICZB NATURALNYCH-
działanie odwrotne do dodawania liczb naturalnych.
Np. 8-3=5, bo 3+5=8. Ogólnie jeżeli m >n lub m= n, to istnieje dokładnie jedna taka
liczba maturalna r, że m= n + r. Tak określoną liczbę r oznaczamy przez m- n i
nazywamy różnicą liczb m i n (lub wynikiem odejmowania liczby n od m ).
Odjemną nazywamy liczbę, od której odejmujemy, odjemnikiem-liczbę którą
odejmujemy. Określenia różnica używamy w dwóch formach: liczba 4 jest różnicą
liczb 7 i 3, wyrażenie 7-3 jest różnicą 7 i 3.
Zauważmy, że w zbiorze liczb liczb naturalnych
nie można od liczby mniejszej odjąć większej.
Odejmowanie liczb
naturalnych to prosta
sprawa. Wystarczy
przeczytać powyższy
tekst i już to rozumiesz.
7 - 3
= 4
↨
↨
↨
odjemna odjemnik różnica
MNOŻENIE LICZB NATURALNYCHDziałanie, oznaczane kropką ∙ (razy), polegające na wielokrotnym
dodawaniu tej samej liczby,
np. 3 ∙ 5=5+5+5
Ogólniej, dla dowolnych liczb naturalnych m i n.
m ∙ n= n+n+...+n.
Tak określoną liczbę m ∙ n nazywamy iloczynem liczb m i n.
Liczby które mnożymy nazywamy czynnikami.
Pierwszy czynnik nazywa się mnożną, drugi mnożnikiem.
3 ∙5
↕
czynniki
= 15
↕
iloczyn
Liczby które przez siebie
mnożymy nazywamy
czynnikami. Pierwszy
czynnik nazywa się
mnożną, drugi
mnożnikiem. Natomiast
wynik mnożenia to iloraz.
DZIELENIE LICZB NATURALNYCHDziałanie oznaczane dwukropkiem : (podzielić),
odwrotne do mnożenia liczb naturalnych.
Np. 18 : 3= 6, bo 6 *3=18. Ogólnie, dzielenie liczb naturalnych nie jest działaniem
określonym dla wszystkich liczb naturalnych np.
nie można wykonać dzielenia liczby 6 przez 4.
Jeżeli jednak dla liczb naturalnych m i n istnieje taka liczba naturalna q,
że m+ q* n, to mówimy, że:
- m dzieli się przez n,
- n jest dzielnikiem m
- m jest wielokrotnością n.
Tak określoną liczbę q nazywamy ilorazem(wynikiem dzielenia)
m przez n- symbolicznie
Q= m : n
Liczbę, którą dzielimy, nazywamy dzielną,
a przez którą dzielimy- dzielnikiem.
36 : 4 = 9
↕ ↕ ↕
dzielna dzielnik iloraz
KOLEJNOŚĆ WYKONOWANIA DZIAŁAŃ:
-w wyrażeniach liczbowych bez nawiasów w pierwszej kolejności obliczamy
potęgowanie i pierwiastkowanie, później mnożenie i dzielenie, a następnie dodawanie i
odejmowanie. Działania z każdej wymienionej pary działań wykonujemy w kolejności
ich występowania.
6+24:4 ∙ 3=6+18-15=24-15=9
W wyrażeniach liczbowych
zawierających nawiasy w
pierwszej kolejności wykonujemy działania w tych
nawiasach, które nie zawierają nawiasów. Podczas tych
obliczeń stosujemy kolejność podaną wyżej.
32-2 ∙[17-4∙(1+9:3)]=
32-2∙(17-4∙4)=
32-2∙1=32-2=30
W przykładzie 6+24:4∙3-15 kolejność działań jest następująca:
dzielenie, mnożenie, dodawanie, odejmowanie.
CECHA PODZIELNOŚCI
-twierdzenie umożliwiające sprawdzenie, czy dana liczba naturalna podzieli się przez
określoną liczbę bez wykonywania samego dzielenia.
Liczba naturalna n dzieli się przez:
2, gdy jej ostatnią cyfrą jest 0,2,4,6 lub 8, np. 7324
5, gdy jej ostatnią cyfrą jest 0 lub 5, np. 135, 420
10,gdy jej ostatnią cyfrą jest 0, np.1570
4, gdy dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4, np. 736
25, gdy dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 25, np. 475
8, gdy trzy ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 8, np. 1256
3, gdy suma cyfr jest podzielna przez 3
9, gdy suma cyfr jest podzielna przez 9, np.162
WIELOKROTNOŚĆ LICZBY n- każda liczba
postaci 1∙n, 2∙n, 3∙n... Np. liczba 65 jest wielokrotnością liczby 5, gdyż
65=5∙13
LICZBY CAŁKOWITE
Liczby całkowite to np.. 0, 1, -1, 2, -2, 3, 3...Każda liczba naturalna jest całkowita,
czyli zbiór N wszystkich liczb naturalnych
jest zawarty w zbiorze C wszystkich liczb
całkowitych. Istnieją liczby całkowite,
które nie są naturalne np..-3. Tak więc N
jest podzbiorem właściwym zbioru C.
Zbiór C wszystkich liczb całkowitych jest
nieskończony.
DODAWANIE LICZB CAŁKOWITYCHPrzedstawiamy kilka przykładów ilustrujących dodawanie liczb
całkowitych. Liczby te wraz z ich znakami będziemy pisać w nawiasach,
a znaki działań- między tymi nawiasami.
ODEJMOWANIEM LICZB CAŁKOWITYCHdla dowolnych liczb całkowitych m i n istnieje ( zawsze!) dokładnie
jedna liczba całkowita r taka, że m= n + r. Liczbę nazywamy różnicą
liczb całkowitych m i n i oznaczamy ją m – n. Poszukiwanie różnicy
r = m - n nazywamy odejmowaniem liczby n od m.
POTĘGA O WYKŁADNIKU NATURALNYMPrzez potęgę naturalną liczby rzeczywistej a 0 należy rozumieć
skrócony zapis mnożenia liczby a prze samą siebie n razy:
An = a ∙ a ∙ a ∙a ...
Liczbę a nazywamy podstawą potęgi, liczbę n- wykładnikiem potęgi.
Witajcie na kolejnej lekcji!
Dzisiaj zajmiemy się czymś
trudniejszym niż
dotychczas, a mianowicie
potęgowaniem. To trudny
temat ale mam nadzieję, że
dzięki minie uda wam się to
zrozumieć.
POTĘGA O WYKŁADNIKU CAŁKOWITYMPojęcie potęgi o wykładniku całkowitym można wprowadzić w sposób poglądowy.
Weźmy dwa ciągi, ciąg liczb naturalnych i odpowiadający mu ciąg potęg naturalnych
liczby rzeczywistej a
0:
1, 2, 3, ..., n, ...
a1=a, a2, a3, ..., an, ...
Czytając oba ciągi z prawa na lewo widać, że przejście w pierwszym ciągu od dowolnej
liczby naturalnej do sąsiedniej mniejszej ma charakter skokowy, polegający na
odejmowaniu jedynki, natomiast przejście w drugim ciągu od dowolnej liczby do
sąsiedniej lewej polega na wykonaniu dzielenia przez a.
Postępując we wskazany sposób, przy odjęciu jedynki od 1 otrzymujemy 0 oraz
dzieląc przez a otrzymujemy 1, co zapisuje się a0=1. Podobnie odejmując jedynkę od 0
otrzymujemy –1 oraz dzieląc a0=1 przez a otrzymujemy 1/a, co zapisuje się a -1 = ½.
W podany sposób dochodzi się do definicji:
A0 = 1
a-n = 1/an.
To już koniec naszej nauki teraz przyszedł
czas na sprawdzenie wiadomości!
Przygotowałem dla was test sprawdzający.
Przy każdym pytaniu kliknijcie odpowiedź,
którą uważacie za słuszną, wtedy na ekranie
waszego monitora wyświetli się czy
udzieliliście prawidłowej odpowiedzi
bądź nie!
Na razie!
WASZ PROFI!!!
1.Podaj wynik sumy liczb:9 i 7:
a)16
b)17
c)2
2.Która grupa liczb jest zbiorem liczb naturalnych?
a)7, -8, 9, -5
b)3, 3, 1/2
c)1, 4, 8
3.Jak nazywa się wynik odejmowania?
a)odjemnik
b)różnica
c)iloraz
4.Jaka jest jest różnica liczb 12888 i 1023
a)10842
b)4566
c)10542
5.Przedstaw za pomocą mnożenia wynik sumy liczb 8+8+8+8+8:
a)8*5
b)8*8
c)8*4
6.Ile jabłek dostanie każde z 13 dzieci jeżeli jabłek jest 78:
a)4
b)7
c)6
7.Jaka jest wspólna najmniejsza wielokrotność liczb 6 i 7:
a)38
b)11
c)42
8.Która grupa przedstawia liczby całkowite:
a)2,9,7,3
b)1, -4, 4,-8
c)wszystkie odpowiedzi są poprawne
9.Podaj sumę liczb –72+(-24)
a)-96
b)96
c)48
10.Podaj różnicę liczb –8-(-3)
a) -5
b) -11
c)5
11.Czy 420 jest wielokrotnością 2:
a) Tak
b) Nie
12.Wybierz poprawne zdanie:
a)Liczba 1456 jest wielokrotnością liczby 3
b) Liczba 936 jest wielokrotnością liczby 156
c)Liczba 1234 jest wielokrotnością liczby 6.
Spróbuj jeszcze raz
Spróbuj jeszcze raz
Spróbuj jeszcze raz
Spróbuj jeszcze raz
Opracowały:
Sonia Wilk i Nina Nowacka
I jak, spodobała Wam
się matematyka?
Ćwiczenia czynią
mistrza!
Wierzcie Mi.
Powodzenia!
Gimnazjum w Blachowni
ul. Bankowa 13
www.gimnazjum.nso.pl
Opiekun: Karolina Przybył
Download

dodawanie liczb naturalnych