06_Obwody liniowe prądu sinusoidalnego

OBWODY I SYGNAŁY 1
Wykład 6 : Obwody liniowe prądu sinusoidalnego
6. OBWODY LINIOWE PRĄDU SINUSOIDALNEGO
6.1. SYGNAŁY HARMONICZNE
W grupie przebiegów okresowych szczególne znaczenie mają sygnały
harmoniczne, tzn. cosinusoidalne i sinusoidalne. Ponieważ jednak
sin (ωt + π 2 ) = cos ωt ,
nazwiemy je ogólnie sinusoidalnymi (sinusoidalnie-zmiennymi).
Sygnałami harmonicznymi nazywamy sygnały, których przebieg
jest sinusoidalną funkcją czasu
Załóżmy, że rozpatrujemy sygnał sinusoidalny w postaci napięcia:
u (t ) = U m sin (ω t +Ψu )
u(t)
T
Um
t
T/2
Ψu
gdzie: u(t)
Um
Ψu
ω t +Ψu
π
0
2π
ωt
(6.1)
W czasie odpowiadającym jednemu
okresowi faza napięcia zmienia się o
2π, tzn. ωT = 2π .
Na rys. na osi odciętych oznaczono
skalę czasu i skalę
kątową.
- wartość chwilowa napięcia;
- wartość maksymalna napięcia (nazywana amplitudą);
- początkowy kąt fazowy, faza początkowa napięcia w
chwili t = 0;
- kąt fazowy, faza napięcia w chwili t;
ω =2π f - pulsacja (częstotliwość kątowa) mierzona w rad/s;
f =1/T
- częstotliwość mierzona w Hz, będąca odwrotnością
okresu.
dr inż. Marek Szulim
e-mail: [email protected]
1 /27
OBWODY I SYGNAŁY 1
Wykład 6 : Obwody liniowe prądu sinusoidalnego
Wartość średnia półokresowa napięcia sinusoidalnego wynosi
zgodnie ze wzorem (1.6)
U śr
2
=
T
T /2
∫
0
2
u (t ) dt =
T
T /2
∫
0
U m sin ω t dt =
2
π
U m ≈ 0,637 U m
(6.2)
Wartość skuteczna napięcia sinusoidalnego jest równa wg. (1.8)
T
U=
T
U
1
1
u 2 (t ) dt =
U m2 sin 2 ω t dt = m ≈ 0,707U m
T
T
2
∫
∫
0
(6.3)
0
Oznacza to, że równanie opisujące napięcie harmoniczne możemy przedstawić jako
u (t ) = U m sin (ω t +Ψu ) = U 2 sin (ω t +Ψu )
dr inż. Marek Szulim
e-mail: [email protected]
(6.4)
2 /27
OBWODY I SYGNAŁY 1
Wykład 6 : Obwody liniowe prądu sinusoidalnego
6.2. SYGNAŁ WYKŁADNICZY
Funkcja wykładnicza pełni wyjątkową rolę, ponieważ
• każdy sygnał występujący w praktyce może być zawsze wyrażony w postaci sumy funkcji wykładniczych;
• w przypadku obwodów liniowych odpowiedź obwodu na wymuszenie wykładnicze jest także wykładnicza.
Przyjmijmy, że sygnał wykładniczy ma postać:
x(t ) = A e s t
dla t ∈ (− ∞,+∞ )
(6.5)
Współczynnik s występujący w wykładniku jest zespolony
s = σ + jω
a zatem
(6.6)
x(t ) = A e (σ + jω )t = A e σ t e
jω t
(6.7)
Rozpatrzmy szczególne przypadki w zależności od wartości s.
1.
Jeżeli s jest liczbą rzeczywistą (tzn. ω = 0) wtedy
x(t ) = A e σ t
i ma charakter zależny od wartości σ
a) gdy σ < 0, sygnał x(t) ma charakter monotonicznie malejącej funkcji czasu;
b) gdy σ = 0, sygnał x(t) jest sygnałem stałym o wartości A;
c) gdy σ > 0, sygnał x(t) ma charakter monotonicznie rosnącej funkcji
czasu.
dr inż. Marek Szulim
e-mail: [email protected]
x(t)
σ>0
σ=0
A
σ<0
t
0
3 /27
OBWODY I SYGNAŁY 1
Jeżeli s jest liczbą urojoną (tzn. σ = 0) wtedy
x(t ) = A e jω t
sygnał x(t) może być interpretowany na płaszczyźnie zmiennej zespolonej za pomocą tzw. wektora wirującego
Czynnik e
natomiast
jω t
spełnia rolę operatora
obrotu,
A
jest modułem wektora.
Im
ω
jω
t
obracającego się z prędkością kątową ω
w kierunku przeciwnym do ruchu
wskazówek zegara. Położenie tego
wektora na płaszczyźnie w danej chwili
t określone jest za pomocą kąta ωt.
Ae
2.
Wykład 6 : Obwody liniowe prądu sinusoidalnego
0
ωt
t=0
Re
A
Uwzględniając wzór Eulera
e jω = cos ωt + j sin ωt
(6.8)
można wektor wirujący wyrazić za pomocą dwóch składowych
x(t ) = A e jω = A cos ωt + j A sin ωt
(6.9)
Część rzeczywista wektora wirującego przedWynika stąd, że najstawia sygnał o charakterze cosinusoidalnym
częściej spotykane
Re A e jω t = A cos ωt
(6.10) przebiegi wielkości
elektrycznych
Część urojona wektora wirującego przed- stanowią szczególne
stawia sygnał o charakterze sinusoidalnym
przypadki sygnału
o charakterze
Im A e jω t = A sin ωt
(6.11)
wykładniczym.
[
]
[
]
dr inż. Marek Szulim
e-mail: [email protected]
4 /27
OBWODY I SYGNAŁY 1
Wykład 6 : Obwody liniowe prądu sinusoidalnego
6.3. OPIS SYMBOLICZNY SYGNAŁU HARMONICZNEGO
Rozpatrzmy ponownie sygnał sinusoidalny w postaci napięcia (6.1):
u (t ) = U m sin (ω t +Ψu )
Związek pomiędzy wektorem wirującym na płaszczyźnie zmiennej
zespolonej a rozpatrywanym sygnałem sinusoidalnym można następująco
interpretować graficznie
Im
u(t)
ω
u(0)
Um
u(0)
Ψu
0
t
Re
Ψu
Um
ωt
0
T
Wartość chwilowa napięcia w chwili t = 0 wynosi
u (0 ) = U m sinΨu
(6.12)
W chwili tej wektor wirujący o amplitudzie Um jest nachylony względem
osi liczb rzeczywistych pod kątem Ψu . Rzut tego wektora na oś liczb urojonych wynosi u(0), czyli wartość chwilowa sygnału sinusoidalnego jest
równa rzutowi wektora wirującego na oś liczb urojonych.
Analitycznie można to ująć, zgodnie z zależnością (6.11), następująco:
dla każdej chwili t
[
]
u (t ) = U m sin (ω t +Ψu ) = Im U m e j (ω t +Ψ u ) = Im [u (t )]
dr inż. Marek Szulim
e-mail: [email protected]
(6.13)
5 /27
OBWODY I SYGNAŁY 1
Wykład 6 : Obwody liniowe prądu sinusoidalnego
Sygnał sinusoidalny:
u (t ) = U m sin (ωt +Ψ u ) = 2 U sin (ωt +Ψ u )
(rzeczywista)
wartość chwilowa
posiada następującą
amplituda
(wartość max.)
wartość skuteczna
POSTAĆ SYMBOLICZNĄ
(symboliczną wartość chwilową)
u (t ) = U m e j (ωt +Ψu ) = U m e jΨu e jωt = 2 U e jΨu e jωt
123
1
424
3
Um
symboliczna amplituda
/postać zespolona amplitudy/
/wskaz amplitudy/
Czyli:
(6.14)
U
symboliczna wartość skuteczna
/wskaz wartości skutecznej/
u (t ) = U m e j (ωt +Ψ u ) = U m e jωt = 2 U e jωt
(6.15)
UWAGI:
• nie zachodzi równość u (t ) ≠ u (t ) tylko odpowiedniość u (t ) =ˆ u (t )
• natomiast:
u (t ) − u * (t )
u (t ) =
= Im [u (t )]
2j
(6.16)
• Metoda symboliczna zapisu przebiegów sinusoidalnych pozwala
traktować je jako przebiegi wykładnicze.
dr inż. Marek Szulim
e-mail: [email protected]
6 /27
OBWODY I SYGNAŁY 1
Wykład 6 : Obwody liniowe prądu sinusoidalnego
PRZYKŁAD 6.1
Dla (RZECZYWISTEJ) wartości chwilowej napięcia
(
)
u (t ) = 282 sin 314 t + 30o V
Amplituda: U m = 282 V
Wartość skuteczna:
U=
U m 282
=
= 200 V
2 1,41
Pulsacja
ponieważ ω = 2π f
stąd częstotliwość f =
Jeśli f =
ω = 314
rad
s
314
ω
=
= 50 [Hz ]
2π 2 ⋅ 3,14
1
1 1
zatem okres T = =
= 0,02 [s ]
f 50
T
Faza początkowa
inaczej Ψ u = 30o
Ψ u = 30o
π
180o
= 0,524 rad
Jej SYMBOLICZNA wartość chwilowa wynosi:
u (t ) = U m e j (ωt +Ψ u ) = 282 e j (314t + 30 ) V
o
Symboliczna amplituda: U m = U m e
jΨ u
Symboliczna wartość skuteczna: U =
dr inż. Marek Szulim
e-mail: [email protected]
o
= 282 e j 30 V
o
U m jΨ u
e
= U e jΨ u = 200 e j 30 V
2
7 /27
OBWODY I SYGNAŁY 1
Wykład 6 : Obwody liniowe prądu sinusoidalnego
6.4. ZWIĄZKI POMIĘDZY NAPIĘCIEM I PRĄDEM
DLA ELEMENTÓW R, L, C
¾ REZYSTOR
Przy występowaniu prądu harmonicznego
i(t ) = I m sin (ω t +Ψi )
(6.17)
w rezystorze o rezystancji R, na jego zaciskach pojawi się napięcie
u (t ) = R i(t ) = R I m sin (ω t +Ψi ) = U m sin (ω t +Ψu )
(6.18)
przy czym amplituda przebiegu napięcia
a faza początkowa
Um = R Im
(6.19)
Ψ u =Ψ i
(6.20)
Czyli przesunięcie fazowe ϕ między przebiegami u(t) i i(t) wynosi zero.
ϕ =Ψu −Ψi = 0
i(t), u(t)
Napięcie na zaciskach
idealnego rezystora
jest w fazie z prądem
Um
Im
Ψi
Ψu
0
dr inż. Marek Szulim
e-mail: [email protected]
(6.21)
ωt
8 /27
OBWODY I SYGNAŁY 1
Wykład 6 : Obwody liniowe prądu sinusoidalnego
W POSTACI SYMBOLICZNEJ
Symboliczna wartość chwilowa prądu
I m = I m e jΨ i
(6.22)
u (t ) = R i (t ) = R I m e jωt = U m e jωt
(6.23)
Um = RIm
(6.24)
i (t ) = I m e jωt
napięcia
Zatem
gdzie
co oznacza, że zgodnie z (6.15)
U = RI
I = GU
(6.25)
Przedstawiając symboliczne wartości skuteczne w postaci wykładniczej, otrzymujemy
U e j Ψ u = R I e jΨ i
(6.26)
Z przyrównania modułów w wyrażeniu (6.26) znajdujemy
U=RI
a z przyrównania argumentów
I =GU
Ψ u =Ψ i
Pomnożenie wskazu I przez R powoduje wydłużenie/skrócenie tego
wskazu R razy. Wobec tego wskaz
napięcia U = R I znajduje się na tej
samej prostej co wskaz I
dr inż. Marek Szulim
e-mail: [email protected]
(6.27)
(6.28)
U
I
Ψu=Ψi
9 /27
OBWODY I SYGNAŁY 1
Wykład 6 : Obwody liniowe prądu sinusoidalnego
¾ CEWKA INDUKCYJNA
Przy przepływie prądu w cewce idealnej o indukcyjności L napięcie na
jej zaciskach wyraża zależność (2.17)
u (t ) = L
d i(t )
dt
Przyjmując, że w cewce występuje prąd harmoniczny
i(t ) = I m sin (ω t +Ψi )
(6.29)
π⎞
⎛
u (t ) = ω L I m sin ⎜ ω t +Ψi + ⎟ = U m sin (ω t +Ψu )
2⎠
⎝
(6.30)
napięcie na cewce wynosi
Z powyższej zależności wynika, że amplituda przebiegu napięcia
Um = ω L Im
natomiast faza początkowa
Ψ u =Ψ i +
(6.31)
π
(6.32)
2
Czyli przesunięcie fazowe ϕ między przebiegami u(t) i i(t) cewki indukcyjnej wynosi:
ϕ =Ψu −Ψi =
u(t), i(t)
Ψu
Ψi
0
π
2
(6.33)
Napięcie na zaciskach
idealnej cewki
wyprzedza prąd
o 90o
ωt
π/2
dr inż. Marek Szulim
e-mail: [email protected]
10 /27
OBWODY I SYGNAŁY 1
Wykład 6 : Obwody liniowe prądu sinusoidalnego
Dla cewki indukcyjnej - symboliczna wartość chwilowa prądu
i (t ) = I m e jωt
napięcia
u (t ) = L
Zatem
gdzie
I m = I m e jΨ i
(6.34)
d i(t )
= j ω L I m e jω t = U m e jω t
dt
(6.35)
U m = jω L I m
(6.36)
co oznacza, że
U = jω L I
lub
1
I=
jω L
U
(6.37)
Przedstawiając symboliczne wartości skuteczne w postaci wykładniczej, otrzymujemy
U e jΨ u = ω L I
π⎞
⎛
j ⎜Ψ i + ⎟
e ⎝ 2⎠
(6.38)
Z przyrównania modułów w wyrażeniu (6.38) znajdujemy
U = ω L I = X LI
I=
reaktancja indukcyjna
a z przyrównania argumentów
Pomnożenie wskazu I przez jωL
powoduje wydłużenie/skrócenie
wskazu I i jego obrót o 90o „w
przód”
ϕ =Ψu −Ψi =
dr inż. Marek Szulim
e-mail: [email protected]
π
2
1
U = BLU
ωL
(6.39)
susceptancja indukcyjna
Ψ u =Ψ i +
π
(6.40)
2
U
ϕ=π/2
Ψu
I
Ψi
11 /27
OBWODY I SYGNAŁY 1
Wykład 6 : Obwody liniowe prądu sinusoidalnego
PRZYKŁAD 6.2
Obliczyć rzeczywistą wartość chwilową
prądu płynącego przez cewkę o indukcyjności
L=0,2H, gdy
u L (t ) = 141 sin 100 t + 40o V
(
L
iL (t)
)
uL (t)
o
U Lm = 141 e j 40 V
Symboliczna amplituda napięcia:
Symboliczna wartość skuteczna napięcia: U L =
o
141 j 40 o
= 100 e j 40 [V ]
e
2
Reaktancja indukcyjna:
X L = ω L = 100 ⋅ 0,2 = 20 [Ω ]
Susceptancja indukcyjna:
BL =
1
1
1
=
=
= 0,05 [S ]
ω L X L 20
Zgodnie z (6.37)
o
o
U L 100 e j 40
100 e j 40
100 j (40 o − 90 o )
− j 50 o
IL =
UL =
=
=
=
e
=
5
e
o
jω L
jX L
j 20
20
20 e j 90
1
inaczej
IL =
1
jω L
UL =−j
1
U L = − jBL U L =
ωL
= − j 0,05 ⋅ 100 e j 40 = 0,05 e − j 90 ⋅ 100 e j 40 = 5 e j (− 90
o
o
o
o
+ 40 o
) = 5 e − j 50 o
Czyli symboliczna amplituda prądu: I Lm = 5 2 e − j 50 [ A]
o
Stąd rzeczywista wartość chwilową prądu
dr inż. Marek Szulim
e-mail: [email protected]
(
)
iL (t ) = 5 2 sin 100 t − 50o A
12 /27
OBWODY I SYGNAŁY 1
Wykład 6 : Obwody liniowe prądu sinusoidalnego
¾ KONDENSATOR
Gdy istnieje napięcie u(t) na zaciskach idealnego kondensatora o pojemności C, to prąd płynący przez kondensator opisuje zależność (2.13)
i(t ) = C
d u (t )
dt
Przyjmując, że na zaciskach kondensatora występuje napięcie
u (t ) = U m sin (ω t +Ψu )
(6.41)
prąd płynący przez kondensator wynosi
π⎞
⎛
i(t ) = ω C U m sin ⎜ ω t +Ψ u + ⎟ = I m sin (ω t +Ψi )
2⎠
⎝
(6.42)
Z powyższej zależności wynika, że amplituda przebiegu prądu
Im = ωC U m
natomiast faza początkowa
Ψ i =Ψ u +
(6.43)
π
(6.44)
2
Zatem przesunięcie fazowe ϕ między przebiegami u(t) i i(t) kondensatora wynosi:
ϕ =Ψu −Ψi = −
Ψu
0
2
(6.45)
Prąd płynący przez
idealny kondensator
wyprzedza napięcie
o 90o
u(t), i(t)
Ψi
π
ωt
π/2
dr inż. Marek Szulim
e-mail: [email protected]
13 /27
OBWODY I SYGNAŁY 1
Wykład 6 : Obwody liniowe prądu sinusoidalnego
Dla kondensatora - symboliczna wartość chwilowa napięcia
gdzie U m = U m e jΨ i
(6.46)
d u (t )
= jω C U m e jωt = I m e jωt
dt
(6.47)
u (t ) = U m e jωt
prądu
i(t ) = C
Zatem
I m = jω C U m
(6.48)
co oznacza, że
I = jω C U
lub
1
U=
jω C
I
(6.49)
Przedstawiając symboliczne wartości skuteczne w postaci wykładniczej, otrzymujemy
I e jΨ i = ω C U
π⎞
⎛
j ⎜Ψ u + ⎟
2⎠
e ⎝
(6.50)
Z przyrównania modułów, znajdujemy
I = ω C U = BC U
U=
susceptancja pojemnościowa
Pomnożenie wskazu I przez
1/jωC powoduje wydłużenie/skrócenie wskazu I i jego
obrót o 90o „wstecz”
ϕ =Ψu −Ψi = −
dr inż. Marek Szulim
e-mail: [email protected]
π
2
I
(6.51)
reaktancja pojemnościowa
Ψ i =Ψ u +
a z przyrównania argumentów
1
I = XC I
ωC
π
(6.52)
2
ϕ=-π/2
Ψi
U
Ψu
14 /27
OBWODY I SYGNAŁY 1
Wykład 6 : Obwody liniowe prądu sinusoidalnego
6.5. PODSTAWOWE PRAWA W POSTACI ZESPOLONEJ
Prawo Ohma
Symboliczna wartość skuteczna napięcia U dwójnika
równa się iloczynowi impedancji dwójnika Z i wartości
skutecznej prądu I w nim płynącego:
U =ZI
(6.53)
Impedancja (opór zespolony) Z charakteryzuje przewodnictwo elektryczne dwójnika przy przepływie prądu sinusoidalnego.
Podstawiając w (6.53) symboliczne wartości skuteczne w postaci wykładniczej, otrzymujemy
czyli:
Zatem
U U e jΨ u U j (Ψ u −Ψ i )
Z= =
= e
jΨ i
I
I
Ie
(6.54)
U
, arg Z = (Ψu −Ψi ) = ϕ
I
(6.55)
Z=
Z = Z e jϕ
Z=R+ jX
rezystancja
(6.56)
reaktancja
Im
Impedancję Z można przedstawić geometrycznie na płaszczyźnie zmiennej zespolonej za
pomocą trójkąta impedancji.
Z
X
ϕ
Re
R
dr inż. Marek Szulim
e-mail: [email protected]
15 /27
OBWODY I SYGNAŁY 1
Wykład 6 : Obwody liniowe prądu sinusoidalnego
Prawo Ohma można także przedstawić następująco:
Symboliczna wartość skuteczna prądu I płynącego przez
dwójnik równa się iloczynowi admitancji dwójnika Y
i wartości skutecznej napięcia U na jego zaciskach:
I =YU
(6.57)
Admitancja (przewodność zespolona – jej jednostką jest simens S) dwójnika równa się odwrotności jego impedancji:
Y=
1
Z
(6.58)
co oznacza, że
Y=
czyli:
Zatem
Y=
1
Z e jϕ
=
1 − jϕ
e
Z
(6.59)
1 I
= , arg Y = −ϕ
Z U
Y = Y e − jϕ
(6.60)
Y=G+ jB
konduktancja
(6.61)
susceptancja
Im
Admitancję Y można przedstawić geometrycznie na płaszczyźnie zmiennej zespolonej za
pomocą trójkąta admitancji.
Y
B
-ϕ
Re
G
dr inż. Marek Szulim
e-mail: [email protected]
16 /27
OBWODY I SYGNAŁY 1
Wykład 6 : Obwody liniowe prądu sinusoidalnego
I prawo Kirchhoffa - prądowe prawo Kirchhoffa (PPK)
Algebraiczna suma symbolicznych wartości chwilowych
prądów in(t) we wszystkich gałęziach dołączonych do jednego, dowolnie wybranego węzła obwodu jest w każdej
chwili czasu równa zeru:
n
Λ ∑ λk i k (t ) = 0
t
(6.62)
k =1
gdzie: λk = ±1 („+” jeśli prąd elektryczny ma zwrot do węzła; „-” jeśli zwrot
jest przeciwny, od węzła)
Jest ono także słuszne dla symbolicznych amplitud (6.62a) oraz symbolicznych wartości skutecznych (6.62b) odpowiednich prądów:
n
n
∑ λk I m k = 0
∑ λk I k = 0
(6.62a)
k =1
(6.62b)
k =1
PRZYKŁAD 6.3
Znane są symboliczne wartości skuteczne
prądów
I1 = 1 e
I2 = 3e
j 0o
j 90 o
I3 = 2 2 e
I2
I1
I4
− j 45o
I3
Obliczyć prąd I 4
Zgodnie z (6.62b) : I 1 − I 2 − I 3 − I 4 = 0
zatem I 4 = I 1 − I 2 − I 3 = 1 e
j 0o
−3e
j 90o
− 2 2 e − j 45
o
= 1 − j 3 − (2 − j 2 ) = 1 − j 3 − 2 + j 2 = −1 − j 1
= 2 e − j 135
dr inż. Marek Szulim
e-mail: [email protected]
o
17 /27
OBWODY I SYGNAŁY 1
Wykład 6 : Obwody liniowe prądu sinusoidalnego
II prawo Kirchhoffa - napięciowe prawo Kirchhoffa (NPK)
Algebraiczna suma symbolicznych wartości chwilowych
napięć un(t) na wszystkich elementach, tworzących dowolnie wybrane oczko obwodu jest w każdej chwili czasu równa zeru:
n
Λ ∑ ν k u k (t ) = 0
t
(6.63)
k =1
gdzie: νk = ±1 („+” jeśli zwrot napicia jest zgodny z przyjętym za dodatni kierunkiem obiegu oczka; „-” jeśli jest przeciwny)
Jest ono także słuszne dla symbolicznych amplitud (6.63a) oraz symbolicznych wartości skutecznych (6.63b) odpowiednich napięć
n
∑ νkU m k = 0
k =1
n
(6.63a)
∑ νkU k = 0
(6.63b)
k =1
PRZYKŁAD 6.4
Dla (6.63)
u1 (t ) − u 2 (t ) + u 3 (t ) + u 4 (t ) − u 5 (t ) = 0
Dla (6.63a)
U m1 − U m 2 + U m3 + U m 4 − U m5 = 0
Dla (6.63b)
U1 −U 2 +U 3 +U 4 −U 5 = 0
dr inż. Marek Szulim
e-mail: [email protected]
18 /27
OBWODY I SYGNAŁY 1
Wykład 6 : Obwody liniowe prądu sinusoidalnego
6.6. POŁĄCZENIA DWÓJNIKÓW
¾ Połączenie SZEREGOWE n dwójników
U = U 1 + U 2 + K + U n = Z1 I + Z 2 I + K + Z n I =
Z=
n
∑Zk I = Z I
(6.64)
k =1
n
∑Zk
(6.65)
k =1
¾ Połączenie RÓWNOLEGŁE n dwójników
I = I1 + I 2 + K + I n = Y1U + Y 2 U + K + Y n U =
Y=
n
∑Y k
k =1
dr inż. Marek Szulim
e-mail: [email protected]
n
∑Y k U = Y U
(6.66)
k =1
n
lub
1
1
=
Z k =1 Z k
∑
(6.67)
19 /27
OBWODY I SYGNAŁY 1
Wykład 6 : Obwody liniowe prądu sinusoidalnego
6.7. POŁĄCZENIA ELEMENTÓW R, L C
¾ Obwód SZEREGOWY RLC
R
L
C
Wartość
impedancji elementu
napięcia na elemencie
R
ZR = R
UR = RI
L
Z L = jω L = j X L
U L = jω L I = jX L I
C
ZC = − j
1
= − j XC
ωC
UC =
1
jω C
I =−j
1
I = − jX C I
ωC
Ponieważ
⎡
U = Z I = ⎢R +
⎣
⎛
1 ⎞⎤
⎟⎟⎥ I = [R + j ( X L − X C )] I = (R + jX )I
j ⎜⎜ ω L −
C
ω
⎝
⎠⎦
(6.68)
Zatem:
2
⎛
1 ⎞
⎟⎟ = R 2 + ( X L − X C )2 = R 2 + X 2
Z = R + ⎜⎜ ω L −
ωC ⎠
⎝
(6.69)
1 ⎞
⎛
⎟
⎜ωL −
ωC ⎟
⎛ X − XC ⎞
⎛X⎞
⎜
= arctg ⎜ L
arg Z = ϕ = arctg
⎟ = arctg ⎜ ⎟
⎟
⎜
R
R
⎝R⎠
⎝
⎠
⎟
⎜
⎠
⎝
(6.70)
2
dr inż. Marek Szulim
e-mail: [email protected]
20 /27
OBWODY I SYGNAŁY 1
Wykład 6 : Obwody liniowe prądu sinusoidalnego
W zależności od parametrów L i C oraz częstotliwości, reaktancja X
we wzorze (6.68) X = X L − X C może być:
X >0
a)
gdy X L > X C
wówczas ϕ > 0 , napięcie wyprzedza prąd
obwód ma charakter indukcyjny
X =0
b)
gdy X L = X C
wówczas ϕ = 0 , napięcie i prąd są w fazie
obwód ma charakter rezystancyjny
X <0
c)
gdy X L < X C
wówczas ϕ < 0 , napięcie opóźnia się względem prądu
obwód ma charakter pojemnościowy
a)
b)
UL
c)
UC
UL
UL
UC
U
ϕ>0
I
U= U R
I
I
UR
UR
ϕ<0
U
Z
ϕ>0
jX
R
R
ϕ<0
Z
dr inż. Marek Szulim
e-mail: [email protected]
UC
jX
21 /27
OBWODY I SYGNAŁY 1
Wykład 6 : Obwody liniowe prądu sinusoidalnego
¾ Obwód RÓWNOLEGŁY RLC
R
L
C
Wartość
admitancji elementu
prądu w elemencie
YR =G
I R = GU
R
L
YL =−j
1
1
= − j BL = − j
ωL
XL
Y C = jω C = j BC = j
C
1
XC
IL =
1
jω L
U =−j
1
U = − j BL U
ωL
I C = jω C U = j BC U
Ponieważ
⎡
I = Y U = ⎢G +
⎣
⎛
1 ⎞⎤
⎟⎟⎥ U = [G + j (BC − BL )] U = (G + jB )U (6.71)
j ⎜⎜ ω C −
L
ω
⎠⎦
⎝
Zatem:
2
⎛
1 ⎞
⎟⎟ = G 2 + (BC − BL )2 = G 2 + B 2
Y = G + ⎜⎜ ω C −
ωL⎠
⎝
(6.72)
1 ⎞
⎛
⎜ ωC −
⎟
L
ω
⎟ = arctg ⎛⎜ BC − BL ⎞⎟ = arctg ⎛⎜ B ⎞⎟
arg Y = arctg ⎜
⎜
⎟
G
⎝G⎠
⎝ G ⎠
⎜
⎟
⎝
⎠
(6.73)
2
dr inż. Marek Szulim
e-mail: [email protected]
22 /27
OBWODY I SYGNAŁY 1
Wykład 6 : Obwody liniowe prądu sinusoidalnego
W zależności od parametrów L i C oraz częstotliwości, susceptancja B
we wzorze (6.71) B = BC − BL może być:
B>0
a)
gdy BC > BL
wówczas ϕ < 0 , prąd wyprzedza napięcie
obwód ma charakter pojemnościowy
B=0
b)
gdy BC = BL
wówczas ϕ = 0 , prąd i napięcie są w fazie
obwód ma charakter rezystancyjny
B<0
c)
gdy BC < BL
wówczas ϕ > 0 , prąd opóźnia się względem napięcia
obwód ma charakter indukcyjny
a)
b)
IC
c)
IL
IC
IL
IC
I
ϕ<0
U
I= I R
U
IR
ϕ>0
I
Y
ϕ<0
jB
IL
G
G
ϕ>0
Y
dr inż. Marek Szulim
e-mail: [email protected]
U
IR
jB
23 /27
OBWODY I SYGNAŁY 1
Wykład 6 : Obwody liniowe prądu sinusoidalnego
PRZYKŁAD 6.5
Obliczyć symboliczną
wartość skuteczną prądu i
napięcia każdego elementu
obwodu – sporządzić wykres
wskazowy – dane:
u (t ) = 75 2 sin ωt
R1= R2= XL= 1 Ω,
XC= 2 Ω.
C
u(t)
L
o
0) Napięcie na zaciskach obwodu U = 75 e j 0 V
1) Aby obliczyć prąd I 1
Wyznacza się impedancję obwodu
Z 1 = R1 − j X C = 1 − j 2 [Ω ]
L
C
Z2 =
R2 j X L
= 0,5 + j 0,5 [Ω ]
R2 + j X L
Z = Z 1 + Z 2 = 1,5 − j 1,5 [Ω ]
o
U
75 e j 0
oraz korzysta z prawa Ohma: I = =
= 25 + j 25 [ A]
Z 1,5 − j 1,5
2) Oblicza się napięcia na
a) rezystorze R1 :
U R1 = R1 I 1 = 25 + j 25 [V ]
b) kondensatorze:
U C = − j X C I 1 = 50 − j 50 [V ]
c) impedancji Z1 :
jako
lub
U 1 = U R1 + U C
= Z 1 I 1 = 75 − j 25 [V ]
3) Oblicza się napięcie na impedancji Z2 : U 2 = Z 2 I 1 = j 25 [V ]
dr inż. Marek Szulim
e-mail: [email protected]
24 /27
OBWODY I SYGNAŁY 1
Wykład 6 : Obwody liniowe prądu sinusoidalnego
C
u(t)
L
4) Oblicza się prądy w
a) rezystorze R2 :
I2 =
U2
= j 25 [ A]
R2
b) cewce:
I3 =
U2
= 25 [ A]
jX L
5) Wykres wskazowy tworzy się przyjmując następującą kolejność rysowania:
1. U 2
2. I 2 (w fazie z U 2 )
3. I 3 (opóźniony względem U 2 o 90o)
4. I 1 (równy I 2 + I 3 )
5. U R1 (w fazie z I 1 )
6. U C (opóźnione względem I 1 o 90o)
7. U 1 (równe U R1 +U C )
8. U
(równe U 1 +U 2 )
dr inż. Marek Szulim
e-mail: [email protected]
25 /27
OBWODY I SYGNAŁY 1
Wykład 6 : Obwody liniowe prądu sinusoidalnego
6.8. TWIERDZENIA THEVENINA I NORTONA
W POSTACI SYMBOLICZNEJ
Twierdzenie Thevenina
(o zastępczym źródle/generatorze napięciowym)
Dowolny aktywny dwójnik klasy SLS można zastąpić obwodem równoważnym, złożonym z szeregowego połączenia idealnego źródła napięcia o napięciu źródłowym U0 i
impedancji wewnętrznej ZW, przy czym:
- napięcie źródłowe U0 jest równe napięciu na rozwartych
zaciskach dwójnika (napięciu stanu jałowego USJ)
- impedancja wewnętrzna ZW, jest równa impedancji zastępczej (impedancji wejściowej ZAB) dwójnika pasywnego (bezźródłowego) otrzymanego po wyzerowaniu w
wewnętrznej strukturze dwójnika aktywnego wszystkich
autonomicznych źródeł energii.
Wyznaczenie:
oraz
A
A
A
DA
B
DA
A
B
DP
B
B
dr inż. Marek Szulim
e-mail: [email protected]
26 /27
OBWODY I SYGNAŁY 1
Wykład 6 : Obwody liniowe prądu sinusoidalnego
Twierdzenie Nortona
(o zastępczym źródle/generatorze prądowym)
Dowolny aktywny dwójnik klasy SLS można zastąpić obwodem równoważnym, złożonym z równoległego połączenia idealnego źródła prądu o prądzie źródłowym IZ i admitancji wewnętrznej YW, przy czym:
- prąd źródłowy IZ jest równy prądowi płynącemu przez
zwarte zaciski dwójnika (prądowi stanu zwarcia ISZ)
- admitancja wewnętrzna YW, jest równa admitancji zastępczej (admitancji wejściowej YAB) dwójnika pasywnego (bezźródłowego) otrzymanego po wyzerowaniu w
wewnętrznej strukturze dwójnika aktywnego wszystkich
autonomicznych źródeł energii.
Wyznaczenie:
oraz
A
A
A
DA
B
DA
A
B
DP
B
B
dr inż. Marek Szulim
e-mail: [email protected]
27 /27