Tablica 1. Liczby naturalne. Dziesiątkowy układ pozycyjny.
Liczby i cyfry
Liczby: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,...
nazywamy liczbami naturalnymi
Cyfry:0,1,2,3,4,5,6,7,8 i 9 – to symbole za pomocą których możemy zapisać każdą
liczbę naturalną.
Dziesiątkowy system pozycyjny
W dziesiątkowym systemie liczbowym 10 jednostek niższego rzędu
stanowi jedną jednostkę wyższego rzędu.
Na przykład:
10 jedności to 1 dziesiątka
10 dziesiątek to 1 setka
10 setek to 1 tysiąc
10 tysięcy to 1 dziesiątka tysięcy
10 dziesiątek tysięcy to 1 setka tysięcy
10 setek tysięcy to 1 milion
Znaczenie cyfry zależy od miejsca (od pozycji), jakie zajmuje ona w zapisie liczby
(dlatego mówi się o systemie pozycyjnym).
Na przykład:
2535 = 2 * 1000 + 5 * 100 + 3 * 10 + 5 * 1
2535 to 2 tysiące 5 setek 3 dziesiątki i 5 jedności
5352 = 5 * 1000 + 3 * 100 + 5 * 10 + 5 * 1
5352 to 5 tysięcy 3 setki 5 dziesiątek i 5 jedności
Liczby wielocyfrowe
1000
1000000
1000000000
1000000000000
1000000000000000
1000000000000000
1000000000000000000
1000000000000000000000
1000000000000000000000000
- tysiąc
- milion
- miliard
- bilion
- biliard
- trylion
- tryliard
- kwadrylion
- kwadryliard
Skrót
1 tys.
1 mln
1 mld
1 bln
1 bld
1 trn
1 trd
1 kwn
1 kwd
Tablica 2. Liczby naturalne. Zapis rzymski
Znaki podstawowe
I
oznacza
1
V
oznacza
5
X
oznacza
10
L
oznacza
50
C
oznacza
100
D
oznacza
500
M
oznacza
1000
Znaki umowne (układy znaków):
IV
oznacza
4
IX
oznacza
9
XL oznacza
40
XC oznacza
90
CD oznacza
400
CM oznacza
900
Rzymianie prawdopodobnie stosowali znaki:
V
oznacza
5000
X
oznacza
10000
L
oznacza
50000
C
oznacza
100000
D
oznacza
500000
M
oznacza
1000000
Zapis rzymski liczby, to uporządkowany układ znaków podstawowych i umownych
(od wartości najwyższych do najniższych). Wartość liczby jest równa sumie wartości
poszczególnych układów znaków.
Na przykład:
XXIII = 10 + 10 + 1 + 1 + 1 = 23
M M CM XC IV =1000 + 1000 + 900 + 90 + 4 = 2994
1000
1000
90
900
4
Liczba w zapisie rzymskim
3873 = 3000 + 800 + 70 + 3 = MMMDCCCLXXIII
MMM
DCCC
III
LXX
Tablica 3. Liczby naturalne. Nazwy liczb w działaniach
Dodawanie (lub suma)
3 + 19 + 17 + 21
suma
3 + 19 + 17 + 21 = 60
suma (wynik z dodawania)
składniki
(liczby, które dodajemy)
Odejmowanie (lub różnica)
28 - 12
różnica
28 – 12 = 16
różnica (wynik z odejmowania)
odjemnik (to liczba, którą odejmujemy)
odjemna, liczba od
której odejmujemy)
Mnożenie (lub iloczyn)
4*6*3
iloczyn
iloczyn (wynik z mnożenia)
4 * 6 * 3 = 72
czynniki (liczby, które mnożymy)
Dzielenie
26
3
26 : 13
iloraz
to też jest iloraz
26 : 13 = 2
iloraz (wynik z dzielenia)
dzielnik (liczba przez którą dzielimy)
dzielna(liczba, którą dzielimy)
Potęgowanie
43
wykładnik (liczba, która wskazuje ile razy należy
mnożyć podstawę przez podstawę
podstawa (liczba, którą mnożymy samą przez siebie)
43= 4 * 4 * 4 = 64
Tablica 4. Liczby naturalne. Własności działań.
Dodawanie
a +b+c+d=e
suma
składniki
Przemienność dodawania
a+b=b+a
Na przykład: 17 + 23 = 23 + 17
Łączność dodawania
a + b + c + d = (a + b) + (c + d) = a + (b + c + d )
Na przykład:
12 + 8 + 22 + 10 = (12 + 8) + (22 + 10) = 12 + (8 + 22 + 10)
Mnożenie
a*b*c=d
iloczyn
czynniki
Przemienność mnożenia
a*b= b*a
Na przykład: 7 * 5 = 5 * 7
35
= 35
Łączność mnożenia:
a * b * c = a * (b * c)
Na przykład:
4 *5 * 6 = 4 * (5 * 6)
20 * 6
= 4 * 30
120
= 120
Tablica 5. Liczby naturalne. Własności działań cd.
Rozdzielczość mnożenia względem dodawania
a * (b + c) = ab + ac
Na przykład:
6 * (7 + 8) = 6 * 7 + 6 * 8 = 42 + 48 = 90
Praktycznie
6 * 254 = 6 * (200 +50 + 4) = 6 * 200 + 6 * 50 + 6 * 4 = 1200 + 300 + 24 = 1524
Rozdzielczość mnożenia względem odejmowania
(a – b) * c = ac – bc
Na przykład:
(12 – 5) * 4 = 12 * 4 – 5 * 4 = 48 – 20 = 28
Praktycznie
492 * 8 = (500 – 8) * 8 = 500 * 8 – 8 * 8 = 4000 – 64 = 3936
Rozdzielczość dzielenia względem dodawania
(a + b) : c = a : c + b : c
Na przykład:
(16 + 8) : 4 = 16 : 4 + 8 : 4 = 4 + 2 = 6
W praktyce:
240 : 5 = (200 + 40) : 5 = 200 : 5 + 40 : 5 = 40 + 8 = 48
Rozdzielczość dzielenia względem odejmowania
(a – b) : c = a : c – b : c
Na przykład:
(70 – 14) : 7 = 70 : 7 – 14 : 7 = 10 – 2 = 8
W praktyce:
588 : 6 = (600 – 12) : = 600 : 6 – 12 : 6 = 100 – 2 = 98
Tablica 6. Liczby naturalne . Liczba 0 i 1 w działaniach
Dodawanie
a+0=a
Na przykład: 24 + 0 = 24
Odejmowanie
a-0= a
Na przykład: 18 – 0 = 18
Mnożenie
a*b*0=0
Na przykład: 3 * 6 * 0 = 0
a*1=a
Na przykład: 28 * 1 = 28
Dzielenie
0:a=0
Na przykład: 0 : 9 = 0
a:0
Działanie niewykonalne (dzielnik nie może być zerem)
Na przykład: 23 : 0 = niewykonalne
a:1=a
Na przykład: 17 : 1 = 17
1:a=
1
a
Na przykład: 1 : 12 =
odwrotność liczby a
1
12
Potęgowanie
1a = 1 (gdzie a N)
Na przykład: 1 5 = 1 * 1 * 1 * 1 * 1 = 1
a 0 = 1 ( dla a  0)
00 jest nieokreślone
0a = 0 (gdzie a N i a > 0)
Na przykład: 0 3 = 0 * 0 * 0 = 0
Tablica 7. Liczby naturalne. Kolejność wykonywania działań
Wykonać działanie, to znaczy wpisać wynik z tego działania, dokładnie w tym
miejscu wyrażenia, gdzie było ono zapisane!
Jeśli w wyrażeniu arytmetycznym występują różne działania oraz nie ma w nim
nawiasów, to najpierw potęgujemy, następnie mnożymy i dzielimy(kolejno od strony
lewej do prawej), a potem dodajemy i odejmujemy(też kolejno od strony lewej
do prawej).
Pamiętaj. Przepisuj działania, których nie wykonujesz(najlepiej w tej kolejności,
w której były zapisane).
Na przykład:
102 + 103 : 53 – 10 * 32 = 100 + 1000 : 125 – 10 * 9 = 100 + 8 – 90 = 108 – 90 = 18
W wyrażeniu arytmetycznym z nawiasami, najpierw wykonujemy działania zapisane
w nawiasach(w pierwszej kolejności w nawiasach, wewnątrz których nie ma innych
nawiasów)
Pamiętaj. Przepisuj działania, których nie wykonujesz(najlepiej w tej kolejności,
w której były zapisane).
Na przykład:
24 - [8 + (12 - 4)] : 2 = 24 - [8 + 8] : 2 = 24 – 16 : 2 = 24 – 8 = 16
Do kilku działań zapisanych w jednym nawiasie stosuje się tą samą regułę,
jak w wyrażeniu bez nawiasów.
Pamiętaj. Przepisuj działania, których nie wykonujesz(najlepiej w tej kolejności,
w której były zapisane).
Na przykład:
302:[100-(103:53*32+3*6)]*4=900:[100-(1000:125*9+18)]*4=900:[100-(8*9+18)]*4=
=900:[100-(72+8)]*4=900:[100-90]*4=900:10*4=90*4=360
Tablica 8. Liczby naturalne.
Rozwiązywanie równań jednodziałaniowych
Równania związane z dodawaniem
a + 24 = 120
nieznany składnik składnik znany
suma
Recepta. Nieznany składnik = suma – składnik znany
Rozwiązanie:
a = 120 – 24 = 96
Równania związane z odejmowaniem
x – 34 = 76
nieznana odjemna znany odjemnik
różnica
Recepta. Odjemna = różnica + odjemnik
Rozwiązanie:
x = 76 + 34 = 110
76 – z = 22
odjemna
nieznany odjemnik
Recepta. Odjemnik = odjemna – różnica
Rozwiązanie:
z = 76 – 22 = 54
różnica
Tablica 9. Liczby naturalne.
Rozwiązywanie równań jednodziałaniowych
Równania związane z mnożeniem
12 * y = 72
czynnik znany
czynnik nieznany
iloczyn
Recepta. Czynnik nieznany = iloczyn : czynnik znany
Rozwiązanie:
y = 72 : 12 = 6
Równania związane z dzieleniem
p : 6 = 13
nieznana dzielna
dzielnik
iloraz
Recepta. Dzielna = iloraz * dzielnik
Rozwiązanie:
p = 13 * 6 = 78
28 : k = 4
dzielna
Recepta. Dzielnik = dzielna : iloraz
Rozwiązanie:
k = 28 : 4 = 7
nieznany dzielnik iloraz
Tablica 11. Liczby naturalne.
Liczby parzyste i nieparzyste, liczby pierwsze i złożone
Liczby parzyste to wszystkie liczby będące wielokrotnościami 2.
Na przykład:
{0, 2, 4, 10, 60, 200, ...}
Liczby nieparzyste, to liczby nie będące wielokrotnościami liczby 2.
Na przykład:
{1, 3, 5, 7, 9, 17, 29, 401, ...}
Liczby pierwsze, to liczby mające dwa dzielniki: 1 i samą siebie
Na przykład:
{13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, ...}
D13 = {1, 13}
D17 = {1, 17}
D19 = {1, 19}
D23 = {1, 23}
D29 = {1, 29}
D31 = {1, 31}
D37 = {1, 37}
Liczby złożone, to liczby mające kilka dzielników(w tym 1 i samą siebie)
Na przykład:
{4, 6, 8, 12, ...}
D4 = {1, 2, 4}
D6 = {1, 2, 3, 6}
D8 = {1, 2, 4, 8}
D12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
Liczba 0 i 1 nie są ani liczbami pierwszymi ani liczbami złożonymi
Tablica 12. Liczby naturalne. Cechy podzielności liczb
Podzielność liczb przez: 2, 5 i 10
(w każdym przypadku obserwujemy ostatnią cyfrę liczby)
Liczba dzieli się przez 2, jeżeli jej cyfrą jedności jest: 0, 2, 4, 6 lub 8
Liczba dzieli się przez 5, jeżeli jej cyfrą jedności jest 0 lub 5
Liczba dzieli się przez 10, jeżeli jej cyfrą jedności jest 0
Podzielność liczb przez: 4, 25 i 100
(w każdym przypadku rozpatrujemy dwie ostatnie cyfry danej liczby)
Liczba dzieli się przez 4, jeśli jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4.
Na przykład:
211328492 dzieli się przez 4
ponieważ 92 : 4 = 23
Liczba dzieli się przez 25, jeżeli jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę 25, 50, 75
lub obie są zerami.
Liczba dzieli się przez 100, jeśli jej dwie ostatnie cyfry są zerami.
Podzielność liczb przez 3 i 9
(sprawdzamy podzielność sumy wszystkich cyfr danej liczby)
Liczba dzieli się przez 3, jeżeli suma jej wszystkich cyfr dzieli się przez 3.
Na przykład:
2211 dzieli się przez 3,
ponieważ 2 + 2 + 1 + 1 = 6
6:3=2
Liczba dzieli się przez 9, jeżeli suma jej wszystkichcyfr dzieli się przez 9.
Na przykład:
2323239 nie dzieli się przez 9,
ponieważ 2 + 3 + 2 + 3 + 2 + 3 + 9 = 24
24 : 9 = 2 r3
Tablica 10. Liczby naturalne. Dzielniki, wspólne dzielniki (NWD).
Wielokrotności, wspólne wielokrotności (NWW)
Jeśli liczba a dzieli się przez liczbę b (bez reszty), to liczbę b nazywamy
dzielnikiem liczby a, natomiast liczbę a nazywamy wielokrotnością liczby b.
Na przykład:
1 15
3 15
5 15
15 15
Liczby: {1, 3, 5, 15} są dzielnikami liczby 15.
Co zapisuje się D15 = {1, 3, 5, 15}.
Dwie różne liczby mogą mieć wspólne dzielniki (WD)
Na przykład:
D24 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
D30 = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}
WD(24,30) = {1, 2, 3, 6}
Z reguły interesuje nas największy wspólny dzielnik (NWD)
NWD(24,30) = 6
Wielokrotnościami liczby 4 są {0, 4, 8, 12, 16, 20,...}
Co zapisuje się W4 = {0, 4, 8, 12, 16, 20,...}
Dwie (kilka) liczby mogą mieć wspólne wielokrotności (WW) różne od zera.
W4 = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36,...}
W6 = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, ...}
WN(4 i 6) = {12, 24, 36,...}
Z reguły interesuje nas najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW)
Pamiętajmy, że NWW jest zawsze różna od zera.
Na przykład:
NWW(4 i 6) = 12
NWW(4, 6, 8) = 24
NWW(4 i 8) = 8
Tablica 13. liczby naturalne. Rozkład liczby na czynniki pierwsze.
Każdą liczbę złożoną można zapisać w postaci iloczynu liczb pierwszych czyli
rozłożyć ją na czynniki pierwsze.
Sposób pierwszy (drzewko). Liczbę złożoną zapisujemy w postaci dowolnego
iloczynu dwóch liczb różnych od 1, następnie każdy czynnik zapisujemy w postaci
iloczynu innych liczb różnych od 1 (jeśli jest to możliwe).
320
320
32 * 10
2 * 160
4*8 * 2*5
2*2 * 2*4 *2 * 5
2 * 2 * 2 * 2*2 * 2 * 5
320=2*2*2*2*2*2*5
2 * 80
2 * 40
2 * 20
2 * 10
2*5
320=2*2*2*2*2*2*5
Sposób drugi. Liczbę złożoną dzielimy przez jej najmniejszy dzielnik będący liczbą
pierwszą. Dzielnik ten zapisujemy po prawej stronie pionowej kreski na wysokości
dzielonej liczby. Wynik z dzielenia zapisujemy po lewej stronie pionowej kreski
pod liczbą wcześniej zapisaną. Iloraz z lewej strony znowu dzielimy przez jego
najmniejszy dzielnik będący liczbą pierwszą. Dzielnik ten zapisujemy po prawej
stronie na wysokości dzielonej liczby, a wynik z dzielenia po lewej stronie. Czynność
kończymy wtedy, gdy po lewej stronie pionowej kreski zapiszemy iloraz równy 1.
Iloczyn liczb po prawej stronie pionowej kreski jest szukanym rozkładem liczby
złożonej na czynniki pierwsze.
Na przykład:
Krótko:
320 2
dzielnik 320
320 2
160 2
dzielnik 160
160 2
80 2
dzielnik 80
80 2
40 2
dzielnik 40
40 2
20 2
dzielnik 20
20 2
10 2
dzielnik 10
10 2
5 5
5 5
dzielnik 5
1
1
320 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 5
Tablica 14. Liczby naturalne. Obliczanie NWD i NWW
Liczby, dla których obliczamy NWD i NWW rozkładamy na czynniki pierwsze.
Na przykład:
18
9
3
1
2
3
3
24
12
6
3
1
2
2
2
3
42
21
7
1
2
3
7
NWD(18, 24 i 42) jest to liczba, która jest iloczynem czynników powtarzających się
we wszystkich rozkładach.
NWD(18, 24 i 42) = 2 * 3 = 6
NWW(18, 24 i 42) jest to liczba, która jest iloczynem wszystkich czynników,
które nie powtarzają się w pozostałych przykładach.
NWW(18, 24 i 42) = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 7 = 504
NWD dwóch liczb pierwszych jest równy 1.
Na przykład:
NWD(5 i 11) = 1
NWD dwóch liczb, z których jedna jest liczbą pierwszą, jest równy 1 lub tej liczbie
pierwszej.
Na przykład:
NWD(7 i 18) = 1
NWD(7 i 21) = 7
NWW dwóch liczb pierwszych jest iloczynem tych liczb.
Na przykład:
NWW(3 i 11) = 3 * 11 = 33
Dwie liczby złożone, których NWD jest równy 1 nazywamy
liczbami względnie pierwszymi.
Na przykład:
NWD(9 i 8) = 1
Liczby 8 i 9 są liczbami względnie pierwszymi
Tablica 15. Liczby naturalne. Działania pisemne
W algorytmie (w słupku) dodawania i odejmowania pisemnego liczby
podpisujemy pod liczbami w taki sposób, żeby: jedności były zapisane pod
jednościami,
dziesiątki pod dziesiątkami, setki pod setkami,
jedności tysięcy pod jednościami tysięcy, itd.
Na przykład:
70684 + 32 + 4542
zapis pomocniczy
11
70684
4542
+
32
dodajemy cyfry w kolumnach
zaczynając od prawej strony
(od prawej kolumny)
wynik
75258
Pamiętajmy, że 10 jedności to 1 dziesiątka, 10 dziesiątek to 1 setka, 10 setek to
1 tysiąc, itd.
W odejmowaniu możemy pożyczyć 1 dziesiątkę i zamien ić ją na 10 jedności.
Jedną setkę zamieniamy na 10 dziesiątek, a 1 tysiąc zamieniamy na 10 setek, itd.
17024 - 14468
9 11
6 10 1 14
17024
– 14468
}
2556
zapis pomocniczy
wynik
W mnożeniu pisemnym najwygodniej jest zapisać czynnik pod czynnikiem w taki
sposób, żeby jedności były pod jednościami, dziesiątki pod dziesiątkami, s
etki pod setkami, itd.
Mnożymy cyfry górnego czynnika (od prawej strony do lewej) przez każdą cyfrę
dolnego czynnika (od prawej strony do lewej).
Wyniki z mnożenia podpisujemy w taki sposób, żeby pierwsza cyfra była zapisana
w kolumnie, w której jest zapisana cyfra przez którą mnożymy. Każda kolejna
w następnej kolumnie z lewej strony poprzedniej cyfry.
2013 * 231
2013
* 231
Wyniki z mnożenia
dodajemy w kolumnach
2013
60390
+ 402600
465003
wynik z mnożenia przez 1
wynik z mnożenia przez 3
wynik z mnożenia przez 2
wynik końcowy
Tablica 16. Liczby naturalne. Działania pisemne cd.
W algorytmie dzielenia pisemnego wynik dzielenia zapisujemy nad dzielną,
nad którą rysujemy poziomą kreskę. Dzielimy od lewej strony do prawej
242
2 razy 3 mieści się w 7
od 7 odejmujemy wynik z mnożenia
2*3
wynik z odejmowania nie może być
większy od dzielnika
Do wyniku z odejmowania możemy
dopisać tylko jedną (kolejną cyfrę)
726
– 600
:3
120
– 120
=
=
006
–006
00=
06012
dzielimy 90 przez 15
iloczyn 6 * 15
dzielimy 1 przez 15
iloczyn 0 * 15
dopisujemy kolejną cyfrę z dzielnej,
otrzymaliśmy liczbę 12, sprawdzamy ile
razy dzielnik (3) mieści się w tej liczbie.
Ten wynik (4) zapisujemy nad cyfrą, którą
dopisaliśmy (nad 2).
Mnożymy 4*3=12. Iloczyn (12)
odejmujemy od rozpatrywanej liczby (12).
Obok wyniku z odejmowania (0)
dopisujemy kolejną cyfrę z dzielnej (6).
Sprawdzamy ile razy dzielnik (3) mieści
się w rozpatrywanej liczbie (6). Ten wynik
(2) zapisujemy nad cyfrą dzielnej którą
dopisaliśmy (6). Mnożymy 2*3=6. Iloczyn
(6) odejmujemy od rozpatrywanej liczby
(6). Jeśli nie mamy już cyfry do dopisania,
to zakończyliśmy dzielenie. Nad dzielną
mamy końcowy wynik z dzielenia.
końcowy wynik
90180 : 15
– 90
=
=
001
dopisujemy 1
–000
dzielimy 18 przez 15
iloczyn 1 * 15
0018
–
0015
dopisujemy 8
dzielimy 30 przez 15
iloczyn 2 * 15
00030
–
00030
dopisujemy 0
==
Dzielenie jest zakończone bo w dzielnej nie ma więcej cyfr.
Tablica 17. Ułamki zwykłe.
Ułamki właściwe, niewłaściwe, mieszane
Licznik ułamka
(informuje nas ile
części całości na
interesuje)
Kreska ułamkowa (zastępuje
znak dzielenia)
4
5
Mianownik ułamka
(informuje nas na ile takich samych części
podzielona jest całość)
4
 4:5
5
Licznik jest dzielną, a mianownik jest dzielnikiem,
dlatego mianownik nie może być zerem.
a
 1 , jeśli a = b
b
3
5
1
1
3
5
Każdy ułamek zwykły
2
1
2
8
1
8
Dlatego:
2 3 5 8
    ...
2 3 5 8
Ułamki właściwe, to takie w których licznik jest mniejszy od mianownika
1
2
3
4
5
12
10
13
15
16
Ułamki niewłaściwe to takie, w których licznik jest większy lub równy
mianownikowi
4
2
4
4
7
5
7
7
16
3
Ułamki mieszane (liczby mieszane) to takie, gdzie obok liczby całkowitej zapisany
jest ułamek.
2
1
2
1
2
3
4
4
5
12
1
25
Ułamki niewłaściwe zamieniamy na ułamki mieszane
18
3
 18 : 5  3r.3  3
5
5
Ułamki mieszane zamieniamy na ułamki niewłaściwe
5
2 5  3  2 15  2 17



3
3
3
3
Tablica 18. Ułamki zwykłe.
Równość, skracanie, rozszerzanie ułamków.
Ułamki równe określają taką samą część całości, ale inaczej podzieloną
(rozdrobnioną).
Ułamki równe otrzymujemy przez rozszerzenie danego ułamka.
Rozszerzyć ułamek zwykły, to znaczy pomnożyć jego licznik i mianownik przez tą
samą liczbę większą od 1.
4 42 43 44 45 46





 ...
7 77 73 74 75 76
Ułamki równe:
4 8 12 16 20 24





 ...
7 14 21 28 35 42
Ułamki równe otrzymujemy przez skracanie danego ułamka.
Skrócić ułamek zwykły, to znaczy podzielić jego licznik i mianownik przez tą samą
liczbę większą od 1.
16 16 : 2 16 : 4 16 : 8 16 : 16




48 48 : 2 48 : 4 48 : 8 48 : 48
Ułamki równe:
16
8
4 2 1


 
48 24 12 6 3
Ułamek, którego licznik i mianownik są liczbami względnie pierwszymi (ich jedynym
wspólnym dzielnikiem jest 1), nazywamy ułamkiem nieskracalnym.
2
,
3
4
,
7
6
,
25
8
,
9
11
, ...
24
Ułamki nieskracalne nazywamy ułamkami o najprostszej postaci.
Sprowadzić ułamek do najprostszej postaci, to znaczy skrócić go do postaci
nieskracalnej.
12 12 : 4 3


32 32 : 4 8
3
lub
12 3

32 8 8
najprostsza postać ułamka
Tablica 19. Ułamki zwykłe. Dodawanie
Ułamki zwykłe można dodawać tylko wtedy, kiedy mają takie same (wspólne)
mianowniki.
Dodajemy licznik do licznika, a mianownik przepisujemy
3 5 2 3  5  2 10
  

11 11 11
11
11
1
4
1 4
5
5
2  3  (2  3)  (  )  5   5
7
7
7 7
7
7
tą operację można wykonać
w pamięci
lub
1
4
1 4
5
2 3 5  5
7
7
7 7
7
Ułamki zwykłe o różnych mianownikach można dodać po sprowadzeniu
ich do wspólnego mianownika.
4
8

12 16
Najpierw możemy skrócić oba ułamki (do najprostszej postaci).
4 1 81 1 1

  
12 3 16 2 3 2
Następnie znajdujemy wspólny mianownik NWW (2 i 3)=6 i rozszerzamy oba ułamki
do takiej postaci, żeby miały taki sam mianownik.
4
8 1 1 1 2 1 3 2 3

  

  
12 16 3 2
6
6
6 6
Dodajemy liczniki, a mianownik przepisujemy.
4
8 1 1 2 3 5

    
12 16 3 2 6 6 6
1
5
7
58 7 3
40 21
61
2
 3

 3

3
12
32
96
96
96 96
96
NWW(12 i 32) = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 3 = 96
12
6
3
1
2
2
3
32
16
8
4
2
1
2
2
2
2
2
Tablica 20. Ułamki zwykłe. Odejmowanie
Ułamki zwykłe można odejmować tylko wtedy, kiedy mają takie same mianowniki.
Od licznika pierwszego ułamka odejmujemy licznik drugiego ułamka, a mianownik
przepisujemy
1
7 5 75 2 1
 
 4
8 8
8
8 4
Jeśli od liczby całkowitej odejmujemy ułamek, to „pożyczamy” 1 i zamieniamy
na ułamek o danym mianowniku.
14 
3
5 3
2
 13   13
5
5 5
5
Jeśli od liczby mieszanej odejmujemy liczbę mieszaną i w obu liczbach mieszanych
występują te same mianowniki, to od całości odejmujemy całość, a od ułamka ułamek.
8
4
8 4
4
7  3  (7  3)  (  )  4
9
9
9 9
9
lub najpierw odejmujemy całość, a następnie ułamek
8
4
8
4
8 4
4
7 3  7 3  4   4
9
9
9
9
9 9
9
2
4
7
4 7 4 3
6 5  5 5   
5
5
5
5 5 5 5
Należało „pożyczyć” 1 i zamienić na ułamek o danym mianowniku.
Ułamki o różnych mianownikach należy sprowadzić do wspólnego mianownika
i dopiero odejmować.
8 2 8 23 8 6 2
  
  
9 3 9 33 9 9 9
NWW(3 i 9) = 9
3
4
39
47
27
28
27 28 90 28 62
2 1  2
1
2
1  1 



7
9
63
63
63
63
63 63 63 63 63
NWW(7 i 9) = 63
Tablica 21. Ułamki zwykłe. Mnożenie. Potęgowanie
Mnożąc dwa ułamki zwykłe, otrzymujemy ułamek, którego licznik jest iloczynem
liczników, a mianownik jest iloczynem mianowników.
a c ac
 
b d bd
Na przykład:
2 4 24 8
 

3 5 3  5 15
Mnożąc liczbę całkowitą przez ułamek zwykły, mnożymy licznik ułamka
przez tą liczbę, a mianownik przepisujemy.
4
3 4  3 12
2


2
5
5
5
5
Mnożąc liczby mieszane, zamieniamy każdą z nich na ułamek niewłaściwy
i mnożymy osobno liczniki i osobno mianowniki.
1 4 7 9 63
3
3 1   
6
2 5 2 5 10
10
a n an
( )  n,
b
b
Na przykład:
2
2 2 2 2 2 4 16
( )4      4 
3
3 3 3 3 3
81
Dla k  0 mamy
zatem
dla b  0 i dla a, b, n  N
k0 1
4
( )0  1
7
3
(2 ) 0  1
8
Tablica 22. Ułamki zwykłe. Odwrotność liczby. Dzielenie.
Jeżeli a*b=1, to a jest odwrotnością b oraz b jest odwrotnością a.
2
1 2
 1
2 2
zatem 2 i
1
są wzajemnie odwrotne
2
1
1
2
1 2 5
2   1
5
2 51 2 1
zatem liczby 2
1 2
i są wzajemnie odwrotne
2 5
Chcąc podzielić ułamek przez liczbę naturalną, należy ten ułamek
pomnożyć przez odwrotność tej liczby.
3
3 1 3
:2   
4
4 2 8
3
13 1 13
2 :4  
5
5 4 20
Chcąc podzielić liczbę naturalną przez ułamek, należy tę liczbę naturalną
pomnożyć przez odwrotność ułamka.
7:
3
4 28
1
 7 
9
4
3 3
3
3
8
5 45
5
9 :1  9 :  9  
5
5
5
8 8
8
Chcąc podzielić ułamek zwykły przez inny ułamek zwykły, należy ułamek zwykły
pomnożyć przez odwrotność innego ułamka zwykłego.
1
7 3 7 4 7
1
:    1
8 4 82 3 6
6
3 1 11 3 11 21 11
5
2 :1  :   
1
4 2 4 2 42 3 6
6
1
2 2 17 17 17 51
3 :3 
:
 1 1
5 5 5 5
5 17 1
skracając na „krzyż” unikamy
mnożenia „dużych” liczb
Tablica 23. Ułamki dziesiętne.
Ułamek dziesiętny jako rozwinięcie dziesiętne.
Inny zapis części całości. Inny zapis ilorazu
Ułamek dziesiętny to inny zapis (postać dziesiętna) ułamka zwykłego.
Mówi się, że każdy ułamek zwykły ma swoje rozwinięcie dziesiętne – swój ułamek
dziesiętny.
1
 0,5;
2
3
 0,6;
5
3
 0,75
4
Zamiana ułamków zwykłych na ułamki dziesiętne:
I sposób:
Rozszerzamy (lub skracamy) ułamek zwykły do takiej postaci, żeby w mianowniku
tego ułamka była liczba: 10, 100, 1000,..., następnie zapisujemy go w postaci ułamka
dziesiętnego (z przecinkiem)
3 3 2 6


 0,6
5 5  2 10
8
24
8
5
5
 5,08
300
100
100
rozwinięcie dziesiętne
3
ułamka
5
rozwinięcie dziesiętne
24
ułamka 5
300
II sposób:
Dzielimy licznik ułamka zwykłego przez jego mianownik
7
 7 :8 
8 Dzielimy licznik przez mianownik
0,875
7
– 0
:8
70
– 64
060
–056
0040
–0040
dopisuję zero z pamięci, po ostatniej cyfrze
w dzielnej stawiam przecinek w wyniku (nad dzielną)
znów dopisuję 0 (przecinek w wyniku jest już zapisany)
dopisuję kolejne 0 z pamięci, bo 7 = 7,000...
==
7
 0,875
8
rozwinięcie dziesiętne
7
8
Każdy ułamek zwykły ma swoje rozwinięcie dziesiętne (swój ułamek dziesiętny).
Każdy ułamek zwykły ma swoją postać dziesiętną.
Tablica 24. Ułamki dziesiętne.
Rozwinięcia dziesiętne skończone i nieskończone
Dzieląc licznik przez mianownik otrzymujemy rozwinięcie dziesiętne ułamka
zwykłego.
0,454545...
0,75
3

4
3
– 0
:4
5

11
5
–0
30
50
– 28
– 44
020
–020
==
to dzielenie zakończyło się
:11
060
–055
0050
0044
–
00060
–
00055
000050
–
000044
0000060
–
0000055
0000005
to dzielenie nigdy nie zakończy się
0,75 jest rozwinięciem dziesiętnym skończonym
0,454545... jest rozwinięciem dziesiętnym nieskończonym
Jeśli w ułamku dziesiętnym powtarza się pewien układ cyfr, to ułamek taki nazywamy
okresowym. Powtarzającą się grupę cyfr nazywamy okresem.
0,454545... = 0,(45)
okres ułamka okresowego zapisujemy w nawiasie.
1
 0, (3)
3
okres jednocyfrowy
7
 0, (63)
11
okres dwucyfrowy
125
 0, (375)
333
okres trzycyfrowy
1
 0(142857 )
7
okres sześciocyfry
Tablica 25. Ułamki dziesiętne. Dodawanie i odejmowanie
W dodawaniu i odejmowaniu pisemnym ułamków dziesiętnych liczby podpisujemy
jedna pod drugą tak, żeby przecinek był pod przecinkiem.
3,72 + 12,125 + 248,3
11
zapis pomocniczy
dopisujemy na końcu zera
3,720
12,125
+ 248,300
Dodajemy cyfry w kolumnie pamiętając,
że 10 tysięcznych to 1 setna,
10 setnych to 1 dziesiąta,
10 dziesiątych to 1 całość, itd.
264,145
przecinek w wyniku umieszczamy
pod przecinkami w składnikach
Dopisując zera na końcu ułamka dziesiętnego, rozszerzamy go.
3,72 = 3,720
248,3 = 248,300
Opuszczająć (skreślając) końcowe zera skracamy ułamek dziesiętny
6,500 = 6,5
0,020 = 0,02
Pamiętając, że 1 całość można zamienić na 10 dziesiątych części, 1 dziesiątą na 10
setnych, 1 setną na 10 tysięcznych, itd. Możemy odejmować pisemnie ułamki
dziesiętne.
17,25 + 14,647
zapis pomocniczy
(po pożyczeniu)
6 12 4 10
17,250
14,647
–
2,603
przecinek w wyniku umieszczamy pod
przecinkami w odjemnej i odjemniku
196 – 64,348
9 9
5 10 10 10
zapis pomocniczy
(po pożyczeniu)
196,000
–
64,348
131,652
Na końcu każdej liczby naturalnej możemy postawić przecinek i dopisać
tyle zer (po przecinku) ile chcemy.
Tablica 26. Ułamki dziesiętne. Mnożenie
Wynik mnożenia ułamka dziesiętnego przez: 10; 100; 1000;... otrzymujemy
przesuwając przecinek w prawo o tyle miejsc ile jest zer w liczbie
przez którą mnożymy.
2,375 * 10 = 23,75
100 * 2,375 = 237,5
2,375 * 1000 = 2375
10000 * 2,375 = 23750
Ułamki dziesiętne mnożymy tak, jak liczby naturalne. W wyniku (w iloczynie)
stawiamy przecinek (licząc cyfry od prawej strony) po tylu cyfrach,
ile było razem cyfr po przecinku w obu czynnikach.
(jeśli zachodzi potrzeba, dopisujemy brakujące zera).
Na przykład:
0,0121
*
0,23
00363
+ 002420
0,002783
Można ułamki dziesiętne zamienić na ułamki zwykłe i wykonać mnożenie.
0,15  0,4 
15 4
60
 
 0,060  0,06
100 10 1000
2,5  3,25 
25 325 8125
125


8
 8,125
10 100 1000
1000
Mnożąc liczbę naturalną przez ułamek pamiętamy, żeby w iloczynie (w wyniku)
postawić przecinek (licząc cyfry od prawej strony do lewej) po tylu cyfrach,
ile było cyfr po przecinku w ułamku.
124 * 0,002
124
* 0,002
0,248
jeśli to konieczne dopisujemy zero
Tablica 27. Ułamki dziesiętne. Dzielenie
Dzielenie pisemne ułamka dziesiętnego przez liczbę naturalną wykonujemy tak,
jakby nie było przecinka. W otrzymanym wyniku dopisujemy przecinek nad
przecinkiem dzielnej.
68,16 : 3
2 2,7 2
6 8 ,1 6
:3
– 6
0= 8
–0 6
021
–0 2 1
0 0= 0= 6
0 0– 0 6
=
Dzieląc ułamek dziesiętny przez ułamek dziesiętny sposobem pisemnym,
należy dzielnik i dzielna pomnożyć przez 10 n , gdzie n oznacza liczbę miejsc
po przecinku w dzielniku, a następnie wykonać dzielenie.
2,75 : 0,25 = 275 : 25 = 11
011
2750000:25
– 25
=
025
–0 2 5
==
Przenosząc przecinek w dzielniku, pamiętamy, żeby przenieść o tyle samo miejsc
przecinek w dzielnej. Jeśli to konieczne w dzielnej dopisujemy zera.
11,1 : 0,003 = 11100 : 3 = 3700
03700
11100000:3
– 09
021
–0 2 1
Sprawdzenie:
0,03700
* 0,003
0 , 1 1,1 0 0 0 0 0 = 1 1 , 1
0 0= 0= 0
0 0–0 0
0 0 0 0= 0
0 0 0–0 0
=
Tablica 28. Ułamki dziesiętne. Zamiana ułamków okresowych
na ułamki zwykłe
Okres ułamka oznaczamy jako x.
Mnożąc ułamek przez 10, 100, 1000, itd. przenosimy przecinek za pierwszą grupę
niepowtarzających się cyfr i liczbę taką określamy odpowiednio jako 10x, 100x, itd.
Układamy równanie i rozwiązujemy je.
Na przykład:
0,(2)
0,222... = x
2,222... = 10x
10x – x = 2
(bo 2,222... – 0,222... = 2)
9*x=2
x=
2
9
2
9
0,(2) =
0,(45)
0,454545... = x
45,454545... = 100x
100x – x = 45
99 * x = 45
(bo 45,454545... – 0,454545... = 45)
5
45 5

99 11 11
5
0,(45) =
11
x=
0,4(28)
0,4(28) = 4,(28):10
0,282828... = x
28,282828... =100x
100x – x = 28
99 * x = 28
x=
Do okresu dodaję cyfrę,
która była przed nim
Przenoszę cyfrę za przecinek
(tam gdzie była)
28
99
28
28
44
99
99
212
28
424 1 424 212
4 : 10 
 

99
99 10 990 495
495
212
0,4(28) =
495
Tablica 29. Ułamki. Działania łączne na ułamkach zwykłych
i dziesiętnych
Kolejność wykonywania działań w wyrażeniach z ułamkami zwykłymi i dziesiętnymi
jest taka sama jak w przypadku wyrażeń zawierających tylko liczby naturalne,
to znaczy najpierw wykonujemy działania zapisane w nawiasach (w pierwszej
kolejności w tych wewnątrz których nie ma innych nawiasów). Obliczając wyrażenia
nie zawierające nawiasów (lub w nawiasach) wykonujemy najpierw potęgowanie,
a następnie mnożenie i dzielenie (kolejno od strony lewej do prawej), na końcu
dodawanie i odejmowanie (też kolejno od strony lewej do prawej)
1
3
12  [( ) 2  0,64] : 2,5  2 2  12,25  [0,36  0,64] : 2,5  4  12,25  1 : 2,5  4 
4
5
 12,25  0,4  4  12,25  1,6  10,65
jeśli w wyrażeniu występują ułamki zwykłe mające okresowe rozwinięcia dziesiętne
to łatwiej jest wykonywać obliczenia przechodząc na ułamki zwykłe.
1
5
3
3 2
1
1
11 3 25 10 1 27 33 5 3
2 : 1  4 : 2,5   2,7    3 1 1

 

4 3
6
9
4 5 6 25 9 10 20 3 10
13
2 3
39
40 18
79 18
61
1
 1 1 
 1 1 
2 
2
3
20
3 10
60
60 60
60 60
60
60
Pamiętaj o przepisywaniu działań, których nie możesz jeszcze wykonać. Od znaku
równości do znaku równości wyrażenie musi mieć taką samą wartość.
Pomijając (opuszczając) niektóre działania, zmieniasz wartość wyrażenia.
W wyrażeniach z długą kreską ułamkową, osobno obliczamy wartość licznika
i osobno liczymy wartość mianownika. Na końcu dzielimy licznik przez mianownik.
4 3  2,5  2 3 64  2,5  8 64  20 44
10
 5 2

 44   440
1
1
1
2
1 : 10 10
1
2 2  5 : 10
2  5 : 10
Tablica 30. Procenty i promile.
Inny zapis ułamków o mianowniku 100 lub 1000
Ułamki o mianowniku 100 można zapisać w postaci procent. Piszemy tylko licznik
ułamka, a po nim symbol %
7
 7%;
100
0,42  42%;
25 325

 325%
100 100
4,16  416%
3
100% to jedna całość
100% = 1  rozumiane jako całość
1% danej liczby to
1
tej liczby
100
Na przykład:
24% danej liczby to
1% liczby 600 to
1
 600  6
100
24
tej liczby
100
Na przykład:
24% liczby 600 to
24
 600  144
100
k% danej liczby to
k
tej liczby
100
Ułamki o mianowniku 1000 można zapisać w postaci promili. Piszemy tylko licznik
ułamka, a po nim symbol o.
45
= 45%o;
1000
1%o danej liczby to
Na przykład:
3%o danej liczby to
Na przykład:
0,458 = 458%o
1
tej liczby
1000
1%o liczby 80 to
1
8
 80 
 0,08
1000
100
3
tej liczby
1000
3%o liczby 80 to
3
24
 80 
 0,24
1000
100
1% = 1=%o
1000%o = 100% = 1  rozumiane jako pewna całość
Tablica 31. Procenty. Obliczenia związane z procentami
Obliczanie procentu danej liczby to nic innego jak obliczanie ułamka (części)
tej liczby.
Procenty zamieniamy na ułamek, a następnie mnożymy ułamek przez tą liczbę
32% z 50 to
1
32
 50  16
100 2
obliczanie liczby na podstawie danego jej procentu.
Znamy ułamek liczby i musimy ją obliczyć.
W tym celu zamieniamy procenty na ułamek, a nastepnie znaną część liczby dzielimy
przez ułamek określający procenty.
Na przykład:
12 to 8% pewnej liczby. Jaka to liczba?
12 :
3 100
8
300
 12 

 150
100
82
2
Obliczanie ile procent jednej liczby stanowi druga liczba.
W tym celu liczbę stanowiącą część całości wpisujemy do licznika, a liczbę
stanowiącą całość do mianownika i ułamek ten mnożymy przez 100%.
Na przykład:
Jakim procentem liczby 120 jest liczba 6?
Część 
Całość 
6
60
 100% 
%  5%
120
12
Do obliczeń procentowych można zastosować „regułę trzech” czyli tak zwane
„mnożenie na krzyż”. Dawniej nazywano taki zapis proporcją.
W tym zapisie procenty zapisujemy pod procentami, a liczby pod liczbami
Na przykład:
Jakim procentem liczby 120 jest liczba 6?
120
6
100%
x
wyrazy środkowe
albo
120 : 6 = 100% : x
wyrazy skrajne
Iloczyn wyrazów skrajnych jest
równy iloczynowi wyrazów
środkowych, zatem mamy:
120 * x = 6 * 100%
120 * x = 600%
x=
600%
 5%
120
Lub pamiętajmy, że niewiadomą x obliczamy w taki sposób,
że mnożymy dwie liczby na jednej przekątnej i iloczyn
dzielimy przez liczbę będącą na przekątnej z niewiadomą.
1
6  100%
x
 5%
2120
Tablica 32. Liczby wymierne.
Liczby na osi liczbowej. Liczby przeciwne
-6
-5
-4
-3
-2
-1
liczby ujemne
0
1
2
liczba zero nie jest
ani dodatnia, ani ujemna
3
4
5
6
liczby dodatnie
Liczby ujemne oznaczamy znakiem „–” i możemy zapisywać je w nawiasach.
Na przykład
-75 (minus siedemdziesiąt pięć)
lub (-75)
-2,5 (minus dwa i pięć dziesiątych)
lub (-2,5)
Liczby dodatnie oznaczamy znakiem „+”, który z reguły opuszczamy w zapisach
(jest to znak umowny, wszyscy wiedzą – nikt go nie pisze).
Na przykład:
zamiast +4
piszemy 4
2
3
2
piszemy
3
zamiast +
Liczby leżące po przeciwnych stronach zera na osi liczbowej i jednakowo oddalone
od zera, nazywamy liczbami przeciwnymi.
-5
-1
-5 odległe jest od 0
o 5 odcinków jednostkowych
0
1
5
5 odległe jest od 0
o 5 odcinków jednostkowych
-5 i 5 są liczbami przeciwnymi
Wartość bezwzględna (moduł) liczby, to odległość tej liczby od zera na osi liczbowej
(liczona w jednostkach osi).
Wartość bezwzględną liczby a zapisujemy |a|
|8| = 8;
|-8| = 8;
|0| = 0
Dwie liczby, z których jedna jest ujemna, a druga dodatnia i obie mają taką samą
wartość bezwzględną (są jednakowo odległe od zera), są liczbami przeciwnymi.
|-10| = 10
i
|10| = 10
zatem –10 i 10 są liczbami przeciwnymi
Liczbą przeciwną do a jest(-a), bo |a| = a i |-a| = a
Liczbą przeciwną do 0 jest 0
Tablica 33. Liczby wymierne.
Dodawanie i odejmowanie liczb całkowitych
Dodawanie możemy zastąpić odejmowaniem liczby przeciwnej, a odejmowanie
możemy zastąpić dodawaniem liczby przeciwnej.
Dla dowolnych liczb a i b mamy a + (-b) = a – b
7  (5)  7  5  2
(7)  (10)  (7)  10  10  (7)  10  7  3
dodawanie jest przemienne
(7)  10  (7)  (10)  (7  10)  17
Dodając dwie liczby ujemne, dodajemy ich wartości bezwzględne, a przed wynikiem
zapisujemy znak „–”
Jeśli jeden ze składników jest dodatni, a drugi ujemny, to suma ma taki znak, jak
składnik, którego wartość bezwzględna jest większa (samo dodawanie sprowadza się
do odejmowania mniejszej wartości bezwzględnej od większej wartości bezwzględnej)
Na przykład:
7  (12)  (12  7)  5
12  (7)  12  7  5
15  (15)  15  15  0
Jeśli suma dwóch liczb jest równa zero, to liczby te są przeciwne.
Odejmowanie możemy zastąpić dodawaniem liczby przeciwnej do odjemnika
a - b = a + (-b)
5  9  5  (9)  (9  5)  14
Na przykład:
mniejsza wartość
bezwzględna
większa wartość
bezwzględna
(5)  9  (5)  (9)  (5  9)  14
(5)  (9)  (5)  9  9  (5)  9  5  4
przemienność
dodawania
zamiana dodawania na
odejmowanie liczby przeciwnej
Długość odcinka lub odległość dwóch punktów na osi liczbowej
A(a)
-1
0
1
-4
B(b)
4
AB  4  (4)  4  4  8  8
AB  b  a lub
AB  a  b
Tablica 34. Liczby wymierne.
Mnożenie i dzielenie liczb całkowitych
Jeśli jeden z czynników jest równy 0, to iloczyn jest równy 0.
0*a=0
dla dowolnej liczby a
Na przykład:
0*4=0
(-5) * 0 = 0
Iloczyn dwóch liczb różnych znaków jest liczbą ujemną.
Jeżeli a < 0 i b > 0, to a * b = a(|a| * |b|)
Na przykład:
(-2) * 4 = -(2 * 4) = -8
6 * (-5) = -(6 * 5) = -30
Iloczyn parzystej liczby czynników ujemnych jest liczbą dodatnią
(-a) * (-b) * (-c) * (-d) = abcd
(4)  (5)  4  5  20
Na przykład:
(2)  (3)  (5)  (10)  6  (5)  (10)  (30)  (10)  300
(2)  (3)  (5)  (10)  [( 2)  (3)]  [( 5)  (10)]  6  50  300
lub
mnożenie jest łączne
Iloczyn nieparzystej liczby czynników ujemnych jest liczbą ujemną
(-a) * (-b) * (-c) = -(abc)
(4)  (5)  (10)  20  (10)  200
(4)  (5)  (10)  (4)  50  200
Na przykład:
mnożenie jest łączne
Dla dowolnej liczby całkowitej a  0
0:a  0
0
0
a
lub
Na przykład: 0 : (4)  0
0
0
4
lub
Iloraz dwóch liczb o różnych znakach jest liczbą ujemną
a
b
a
a : ( b )  
b
(a) : b  
lub
(a) : b  ( a : b )
lub
a : (b)  ( a : b )
(12) : 4  (12 : 4)  3
Na przykład:
lub
12 : (4)  (12 : 4)  3
Iloraz dwóch liczb ujemnych jest liczbą dodatnią
a
lub
(a) : (b)  a : b
b
Na przykład: (24) : (3)  24 : 3  8
( a ) : (b) 
Krótko w mnożeniu
(  )  ( )  ( )
Krótko w dzieleniu
(  ) : ( )  ( )
( )  (  )  ( )
( ) : (  )  ( )
( )  ( )  (  )
( ) : ( )  (  )
Tablica 35. Liczby wymierne. Potęgowanie
Zamiast 2 600 000 000 piszemy 26 * 108  taki wykładnik ile jest końcowych zer w liczbie
albo 2 600 000 000 = 2,6 * 1 000 000 000 = 2,6 *109
109
Jeśli a  0, to a 0  1
a1  a
Jeśli a jest liczbą ujemną oraz n > 1 i n jest liczbą naturalną, to:
a n  a , gdy n jest liczbą parzystą
n
n
a n   a , gdy n jest liczbą nieparzystą
(5) 0  1
Na przykład:
(5)1  5
2
(5) 2   5  5 2  25
3
(5) 3    5  (5) 3  125
Jeśli a i b są liczbami całkowitymi różnymi od zera oraz n  0 i m  0 , to:
a n  a m  a nm
Na przykład:
oraz
3 2  3 4  3 2 4  36  729
(a  b) n  a n  b n
Na przykład:
a n : a m  a nm , (gdy a  0 i n  m )
oraz
oraz
2 8 : 2 5  2 85  2 3  8
(a : b) n  a n : b n , (gdy b  0 )
[2  (3)] 2  2 2  (3) 2  4  9  36
[8 : (4)] 2  8 2 : (4) 2  64 : 16  4
( a n ) m  a n m
Na przykład:
(10 2 ) 5  10 25  1010  10000000000
[( 2) 3 ]5  (2) 35  (2)15  32768
[(0,2) 3 ] 2  (0,6) 6  0,000064
1
1
1
1
[(  ) 3 ] 4  ( )12  ( )12 
2
2
2
4096
Tablica 36. Liczby wymierne.
Prawa działań, równania, działania łączne.
Rozwinięcia dziesiętne, skracanie, rozszerzanie
Każda liczba naturalna jest liczbą wymierną.
Każda liczba całkowita jest liczbą wymierną.
Każdą liczbę, którą można przedstawić w postaci ułamka zwykłego, nazywamy liczbą
wymierną.
Wszystkie reguły dotyczące skracania i rozszerzania ułamków zwykłych
i dziesiętnych obowiązują również w przypadku dowolnych liczb wymiernych.
Wszystkie reguły (prawa, własności) dotyczące dodawania, odejmowania, mnożenia
i dzielenia liczb naturalnych oraz kolejności wykonywania działań obowiązują
również w przypadku dowolnych liczb wymiernych..
Na przykład:
3
 (2,5)  0,6  (2,5  0,6)  (1,9)
5
(4)  (8)  (6)  (2)  [( 4)  (6)]  [( 8)  (2)]  (10)  (10)  (20)
(2,5) 
1
25 1
25
5
2,5  ( )  (  )  ( )  ( )
3
10 3
30
6
(4)  (5)  (5)  (4)  5  4  20
(4)  (6)  (5)  (4)  [( 6)  (5)]  (4)  30  120
(372) : (4)  [( 400)  (28)] : (4)  (400) : (4)  (28) : (4)  100  7  93
(372) : (4)  [( 320)  (40)  (12)] : (4)  (320) : (4)  (40) : (4)  (12) : (4)  80  10  3  93
(147)  5[( 100)  (40)  (7)]  5  (100)  5  (40)  5  (7)  5  (500)  (200)  (35)  735
(198)  5  [( 200)  (2)]  5  (2)  5  (1000)  (10)  (1000)  10  990
Rozwinięcie dziesiętne liczby ujemnej otrzymuje się w ten sposób, że znajdujemy
rozwinięcie dziesiętne wartości bezwzględnej tej liczby, a przed wynikiem stawiamy
znak „–”.
Na przykład:
3
3  25
75
(2 )  (2
)  ( 2
)  2,75
4
4  25
100
Rozwiązując równania, w których występują liczby wymierne, stosuje się takie same
reguły, jak w rozwiązywaniu równań, w których występowały wyłącznie liczby
naturalne.
Tablica 37. Liczby wymierne. Przybliżenia dziesiętne.
Dla danej liczby przyjmuje się przybliżenie dziesiętne z niedomiarem, jeśli pierwsza
z odrzuconych cyfr jest mniejsza od 5. W pozostałych przypadkach przyjmuje się
przybliżenia z nadmiarem.
Na przykład: następujące liczby:
{2,7204; 3,7219; 4,7228; 5,7235; 6,7247; 7,7251;
8,7260; 9,7272; 1,7281; 2,72901} zaokrąglij do części setnych
(do drugiego miejsca po przecinku)
2,72 04
3,72 19
4,72 28
5,72 35
6,72 47
7,72 51
8,72 60
9,72 72
1,72 81
2,72 901










2,72
3,72
4,72
5,72
6,72
7,73
8,73
9,73
1,73
2,73
Odrzucając cyfry uzyskujemy przybliżenie
z niedomiarem(wartość przybliżenia jest
mniejsza od wartości rzeczywistej)
Przybliżenia z nadmiarem (wartość
przybliżona jest większa od wartości
rzeczywistej)
Przybliżenia dziesiętne z nadmiarem uzyskuje się poprzez
odrzucenie cyfr na dalszych miejscach (na prawo), a następnie
powiększenie o 1 ostatniej pozostawionej cyfry.
Wartość bezwzględna różnicy danej liczby i jej przybliżenia nazywamy błędem
przybliżenia. Dla wartości rzeczywistej a, wartości przybliżonej b,
błąd przybliżenia wynosi |a – b|.
Na przykład:
Wartość rzeczywista
2,7204
3,7219
4,7228
5,7235
6,7247
7,7251
8,7260
9,7272
1,7281
2,72901
Wartość przybliżona
2,72
3,72
4,72
5,72
6,72
7,73
8,73
9,73
1,73
2,73
Wartość błędu przybliżenia
0,0004
0,0019
0,0028
0,0035
0,0047
0,0049
0,0040
0,0028
0,0019
0,00099
Zaokrąglając liczbę, wybieramy to przybliżenie, dla którego jest mniejsza wartość
błędy przybliżenia.
Tablica 38. Wyrażenia algebraiczne. Jednomiany podobne,
redukcja wyrazów podobnych, wartość wyrażeń algebraicznych
Wyrażenie algebraiczne, to zapis, w którym liczby są przedstawione za pomocą liter
i cyfr. W wyrażeniu algebraicznym mogą występować znaki działań.
W iloczynie opuszcza się znak mnożenia.
Na przykład:
27 * a = 27a
2a * b = 2ab
7 * a + 8 * b = 7a + 8b
Prawa działań oraz reguły dotyczące kolejności ich wykonywania obowiązują również
w przypadku wyrażeń algebraicznych.
Wyrażenie algebraiczne będące liczbą, literą lub iloczynem czynników liczbowych
i literowych nazywa się jednomianem.
Na przykład:
(-5)ab
7a
3a2
4ab2
Współczynniki jednomianów
Jednomiany różniące się tylko współczynnikiem lub identyczne, nazywa się
jednomianami podobnymi (wyrazami podobnymi).
Na przykłąd:
ab
1
ab
2
(2,5)ab
18ab
Zredukować wyrazy podobne ta znaczy dodać do siebie jednomiany.
Na przykład:
2a + 3b – 4 – a – 5b + 7 = a – 2b +3
wyrażenie po redukcji
Jeżeli w wyrażeniu algebraicznym litery zastąpimy liczbami I wykonamy odpowiednie
działania, to otrzymamy wartość liczbową wyrażenia algebraicznego.
Na przykład: wartość wyrażenia algebraicznego
3a + 2b – 4
dla a = (-3) i b = 5
3a 2  2b  4  3  (3) 2  2  5  4  3  9  10  4  27  10  4  37  4  33
Jeśli wyrażenie algebraiczne jest ilorazem, to należy pamiętać, że mianownik
(dzielnik) nie może być równy 0.
Tablica 39. Prostokątny układ współrzędnych
y
3
C (0 ; 2,5)
2
A (1,5 ; 1,5)
H (-3 ; 1)
-4
-3
1
-2
-1
1
O
2
3
B (2,5 ; 0)
G (-3,5 ; 0)
D (2 ; -1)
-1
F (-3 ; -1,5)
x
-2
E (0 ; -2,5)
-3
Wzajemnie prostopadłe dwie osie liczbowe. Punkt ich przecięcia oznaczamy literą O
i nazywa się początkiem układu współrzędnych.
Układ współrzędnych na płaszczyźnie pozwala na opisanie uporządkowaną parą liczb,
położenie każdego punktu.
Uporządkowana para liczb to współrzędne punktu.
Pierwsza współrzędna (odcięta) określa położenie punktu względem osi poziomej
(osi odciętych). Druga współrzędna (rzędna) określa położenie punktu względem
pionowej osi (osi rzędnych).
Początek układu współrzędnych, punkt O ma współrzędne (0 ; 0)
y
IV ćwiartka
I ćwiartka
3
K
2
A (x > 0 ; y > 0)
B (x < 0 ; y > 0)
-4
-3
-2
-1
1
1
O
2
3
x
E
-1
C (x < 0 ; y < 0)
III ćwiartka
D (x > 0 ; -y < 0)
-2
-3
II ćwiartka
Współrzędne punktów leżących na osiach:
E (x(- ; ) ; y = 0)
K (x = 0 ; y(- ; ))
O (x = 0 ; y = 0) – początek układu współrzędnych
Obliczając długość odcinka lub pole figury, na obu osiach zawsze musimy mieć
tą samą jednostkę.
Tablica 40. Geometria. Figury na płaszczyźnie. Figura
geometryczna
Figurą geometryczną nazywamy każdy zbiór punktów.
Na przykład:
Figury, które można na siebie nałożyć nazywamy figurami przystającymi.
Na rysunku poniżej figury przystające są wyróżnione jednakowymi kolorami.
Tablica 41. Geometria. Figury na płaszczyźnie. Prosta
Proste oznaczamy małymi literami. Przez dwa punkty przechodzi dokładnie jedna
prosta. Do każdej prostej należy nieskończenie wiele punktów.
Dwie proste przecinają się jeżeli mają dokładnie jeden punkt wspólny.
k
A
l
Jeśli dwie proste przecinają się pod kątem prostym, to mówimy że są prostopadłe.
Proste k i l na rysunku są prostopadłe.
Zapisujemy: k  l
l
k
Dwie proste leżące na tej samej płaszczyźnie nazywamy równoległymi,
jeżeli się pokrywają lub nie mają punktów wspólnych.
Proste k i l oraz m i n są równoległe.
Zapisujemy: k || l oraz m || n.
Proste s i t pokrywają się, a więc też są równoległe: s || t
k
l
s
t
m
n
Tablica 42. Geometria. Figury na płaszczyźnie. Półprosta,
odcinek
Półprosta
Każdy punkt leżący na prostej dzieli je na dwie półproste. Na przykład punkt A dzieli
przedstawioną na rysunku prostą l na półproste AT  oraz AS  . Punkt A nazywamy
początkiem każdej z tych półprostych.
l
S
A
T
Odcinek
Dwa różne punkty leżące na prostej wyznaczają odcinek. Punkty te nazywamy
końcami odcinka. Na przykład odcinek zaznaczony na rysunku kolorem
pomarańczowym ma końce A i B. Zapisujemy AB lub BA. Długość tego odcinka
oznaczamy |AB| lub |BA|
k
B
A
Odcinki mające tę samą długość nazywamy odcinkami przystającymi lub równymi.
Zapisujemy na przykład AB = CD. Odcinki AB i CD są przystające, a odcinki
CD i OP nie są przystające.
C
P
A
B
D
O
Tablica 43. Geometria. Figury na płaszczyźnie. Kąt
Półproste OA  i OB  dzielą płaszczyznę na dwie części. Każdą z tych części
(wraz z tymi półprostymi) nazywamy kątem i oznaczamy AOB lub
BOA.
Punk O nazywamy wierzchołkiem każdego z tych kątów, natomiast półproste OA 
i OB  ramionami kąta. Na rysunku poniżej kąt wyróżniony kolorem czerwonym jest
zaznaczony łukiem. Oznacza to że rozpatrujemy ten właśnie kąt.
A
O
B
Miarę kąta ustalamy za pomocą kątomierza i wyrażamy ją w stopniach. Punkt
wierzchołkowy kątomierza musi się pokrywać z wierzchołkiem mierzonego kąta,
a początek skali z jednym z ramion. Drugie ramie wskaże na odpowiedniej podziałce
kątomierza miarę kąta. Na rysunku mierzony kąt ma miarę 60o.
Zapisujemy: | AOB| = 60o
A
O
B
Tablica 44. Geometria. Figury na płaszczyźnie. Podział kątów
Kąt o mierze 360 o nazywamy kątem pełnym.
Kąt o mierze 180 o nazywamy kątem półpełnym.
Kąty, które mają takie same miary nazywamy kątami równymi lub przystającymi.
Kąt, którego miara wynosi 90 o , nazywamy kątem prostym.. Oznaczamy go kropką
zamkniętą łukiem.
Kąt, którego miara jest mniejsza od 90 o , nazywamy kątem ostrym.
Kąt, którego miara jest większa od 90 o , lecz mniejsza od 180 o , nazywamy kątem
rozwartym.
Tablica 45. Geometria. Figury na płaszczyźnie. Podział kątów –
c.d.
Kąt, którego miara jest mniejsza bądź równa 180 o , nazywamy kątem wypukłym
Kąt, którego miara jest większa od 180 o oraz mniejsza od 360 o , nazywamy
kątem wklęsłym.
Kąty wypukłe, których ramiona wzajemnie przedłużają się do prostych, nazywamy
kątami wierzchołkowymi. Są one przystające.


Kąty wypukłe o wspólnym wierzchołku i jednym wspólnym ramieniu, których dwa
pozostałe ramiona leżą na jednej prostej, nazywamy kątami przyległymi.
Suma ich miar wynosi 180 o


Dwie proste równoległe przecięte trzecią prostą wyznaczają pary kątów
odpowiadających. Na rysunku poniżej są zaznaczone jednakowymi kolorami.
Kąty odpowiadające mają równe miary (są przystające).
Dwie proste równoległe, przecięte trzecią prostą wyznaczają pary kątów
naprzemianległych, które na rysunku poniżej są zaznaczone jednakowymi
kolorami. Kąty naprzemianległe mają równe miary (są przystające)
Tablica 46. Geometria. Figury na płaszczyźnie. Wielokąt
Wielokąt jest to część płaszczyzny ograniczona łamaną zwyczajną zamkniętą, razem
z tą łamaną. Boki łamanej nazywamy bokami wielokąta, a wierzchołki łamanej
wierzchołkami wielokąta. Długość tej łamanej nazywamy obwodem wielokąta.
Kąty zaznaczone na rysunku nazywamy kątami (wewnętrznymi) wielokąta.
W wielokącie ABCDE np. o kącie BAE mówimy krótko A (jest to kąt przy
wierzchołku A)
D
C
E
A
B
Odcinek, którego końcami są wierzchołki wielokąta i który nie jest jego bokiem,
nazywamy przekątną wielokąta. W wielokącie na rysunku obok przekątnymi
są odcinki zaznaczone kolorem niebieskim.
Tablica 47. Geometria. Figury na płaszczyźnie. Wielokąt – c.d.
Wielokąt nazywamy wypukłym, jeżeli odcinek łączący dowolne dwa punkty tego
wielokąta zawiera się w tym wielokącie. Na rysunku poniżej wielokąt ABCDEF jest
wypukły. Wielokąt, który nie jest wypukły nazywamy wklęsłym. Wielokąt GHIJKLM
jest wielokątem wklęsłym.
E
D
F
L
M
C
K
I
J
G
A
B
H
Wielokąt o wszystkich bokach równych i wszystkich kątach wewnętrznych równych
nazywamy wielokątem foremnym.
Tablica 48. Geometria. Figury na płaszczyźnie.
Trójkąt – podział ze względu na kąty
Trójkąt jest to wielokąt mający trzy boki (trzy kąty wewnętrzne). Suma długości
dowolnych dwóch boków trójkąta jest większa niż długość boku trzeciego.
Trójkąt , w którym wszystkie kąty są ostre nazywamy, nazywamy
trójkątem ostrokątnym.
Trójkąt, w którym jeden z kątów jest prosty, nazywamy trójkątem prostokątnym.
Pole trójkąta prostokątnego jest połową iloczynu długości przyprostokątnych.
przeciwprostokątna
c
a
przyprostokątna
b
przyprostokątna
Dla trójkąta przedstawionego powyżej wzór na pole powierzchni przyjmuje postać:
1
ab
a b 
2
2
Trójkąt, w którym jeden z katów jest rozwarty, nazywamy
trójkątem rozwartokątnym.
Tablica 49. Geometria. Figury na płaszczyźnie.
Trójkąt – podział ze względy na długość boków
Trójkąt równoboczny to taki trójkąt, w którym wszystkie boki są równe
(mają równe długości).
abc
W trójkącie równobocznym wszystkie kąty są przystające (mają miarę 60 o ) – trójkąt
równoboczny jest wielokątem foremnym. Obwód trójkąta równobocznego:
L  3 a
a
a
a
Trójkąt równoramienny to taki trójkąt, w którym dwa boki są równe.
Boki te nazywamy ramionami trójkąta, a trzeci bok jego podstawą. W trójkącie
równoramiennym kąty przy podstawie są przystające (mają równe miary).
Obwód trójkąta równoramiennego:
L  2a  b
a
a
b
Trójkąt, w którym wszystkie boki mają różne długości, nazywamy
trójkątem różnobocznym.
Tablica 50. Geometria. Figury na płaszczyźnie.
Trójkąt – wysokość i pole powierzchni
Wysokością trójkąta, wychodzącą z danego wierzchołka, nazywamy najkrótszy
odcinek, którego jednym końcem jest ten wierzchołek, a drugi koniec leży na prostej
zawierającej przeciwległy bok, zwany podstawą trójkąta. Mówimy też, że wysokość
została opuszczona na podstawę. Wysokość jest odcinkiem prostopadłym do
podstawy. Na rysunku wysokości zostały zaznaczone kolorem czerwonym.
Jeśli wysokość trójkąta ma długość h, a podstawa, na którą ta wysokość jest
opuszczona, ma długość a, to pole trójkąta obliczamy:
P
1
ah
ah 
2
2
h
h
a
a
h
a
Tablica 51. Geometria. Figury na płaszczyźnie.
Trójkąt – dwusieczna kąta trójkąta, trójkąty przystające
Dwusieczna kąta trójkąta jest to półprosta mająca swój początek w wierzchołku
tego trójkąta i dzieląca ten kąt na połowy.


W trójkątach przystających odpowiednie boki i odpowiednie kąty są równe. Aby
stwierdzić czy trójkąty są przystające, że mają na przykład odpowiednie boki równe.
Tablica 52. Geometria. Figury na płaszczyźnie.
Prostokąt i kwadrat
Czworokąt, w którym wszystkie kąty są proste, nazywamy prostokątem.
Obwód prostokąta:
L  2  a  2  b  2a  2b  2(a  b)
Każdy prostokąt jest równoległobokiem i trapezem.
Pole prostokąta:
P  a b
a
b
b
a
Prostokąt, w którym wszystkie boki są równe, nazywamy kwadratem.
Obwód kwadratu:
L  4  a  4a
Każdy kwadrat jest prostokątem, rombem, równoległobokiem i trapezem.
Pole kwadratu:
P  a2
a
a
a
a
Przekątne kwadratu przecinają się pod kątem prostym. Są równe i dzielą się na
połowy. Kąt, jaki tworzy przekątna kwadratu z jego bokiem, ma miarę 45 o . Jeśli d
oznacza długość przekątnej kwadratu, to jego pole można obliczyć:
1
d2
2
P  d 
2
2
d
d
Tablica 53. Geometria. Figury na płaszczyźnie. Równoległobok
Czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych, nazywamy
równoległobokiem. W równoległoboku boki równoległe są przystające
(mają tę samą długość).
Obwód równoległoboku:
L  2a  2b  2(a  b)
Każdy równoległobok jest trapezem.
a
b
b
a
W każdym z równoległoboków przedstawionych na rysunku poniżej, wysokość
oznaczona jest kolorem czerwonym. Jeśli przyjmiemy, że wysokość równoległoboku
to h a długość podstawy to a zatem pole powierzchni równoległoboku wynosi:
P  ah
h
h
a
Przekątne równoległoboku dzielą się na połowy
a
Tablica 54. Geometria. Figury na płaszczyźnie.
Równoległobok - romb
Równoległobok, który ma wszystkie boki równe nazywamy rombem.
Obwód rombu:
L  4a
Każdy romb jest równoległobokiem i trapezem
Pole rombu:
P  ah
a
a
a
h
a
Przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym i dzielą się na połowy.
Pole rombu o przekątnych długości d oraz t:
1
dt
P  d t 
2
2
d
t
Tablica 55. Geometria. Figury na płaszczyźnie. Trapez
Czworokąt, który ma dwa boki równoległe, nazywamy trapezem.
podstawa
ramię
ramię
podstawa
Trapez, w którym chociaż jeden kąt wewnętrzny jest prosty,
nazywamy trapezem prostokątnym.
Trapez, który ma ramiona równe, nazywamy trapezem równoramiennym.
Na rysunku poniżej |AD| = |BC|
C
D
A
B
Tablica 56. Geometria. Figury na płaszczyźnie. Trapez, deltoid
Przekątna trapezu tworzy z podstawami kąty o tej samej mierze
Jeżeli przyjmiemy, że a i b są długościami podstaw, c i d długościami ramion,
natomiast h wysokością trapezu, to:
- obwód trapezu wynosi
L  abcd
-
pole trapezu wynosi
P
1
 ( a  b)  h
2
b
c
d
h
a
Czworokąt, którego dwa kolejne boki mają równe długości, ale różne od poprzednich,
nazywamy deltoidem
Przekątne deltoidu są wzajemnie prostopadłe
Tablica 57. Geometria. Figury na płaszczyźnie. Okrąg, koło
Okręgiem o środku w punkcie M i promieniu r > 0 nazywamy zbiór wszystkich
punktów płaszczyzny, których odległość od punktu M jest równa r. Nazwy promień
nazywamy w znaczeniu długości tego odcinka. Okręgi rysujemy cyrklem.
Uwaga: środek okręgu nie należy do okręgu.
r
M
Odcinek, którego oba końce należą do okręgu, nazywamy cięciwą okręgu.
A
B
Cięciwę, która przechodzi przez środek okręgu, nazywamy średnicą.
M
C
D
Okrąg dzieli płaszczyznę na dwie części. Część płaszczyzny ograniczoną okręgiem
(wraz z tym okręgiem), która zawiera środek okręgu, nazywamy kołem.
Inaczej: Kołem o środku w punkcie M i promieniu r > 0 nazywamy zbiór tych
wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od punktu M jest mniejsza
bądź równa r.
r
M
Tablica 58. Geometria. Graniastosłup prosty
Graniastosłupem (prostym) nazywamy taką figurę przestrzenną, której podstawy
są wielokątami leżącymi w płaszczyznach równoległych, a ściany boczne
są prostokątami prostopadłymi do podstaw. W zależności od rodzaju wielokąta
w podstawie mówimy o graniastosłupie trójkątnym, czworokątnym itp.
podstawa
górna (Pp)
ściany
boczne
ściany
boczne
podstawa
dolna (Pp)
Sumę pól wszystkich ścian bocznych graniastosłupa nazywamy nazywamy polem
powierzchni bocznej (Pb) tego graniastosłupa. Pole podstawy oznaczamy symbolem
(Pp). Sumę pól obu podstaw oraz pola pola powierzchni bocznej graniastosłupa
nazywamy polem powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.
h
-
Pole powierzchni całkowitej:
Pc  2 Pp  Pb
-
Objętość
V  Pp  h
Graniastosłup prosty, którego podstawą jest wielokąt foremny, nazywamy
graniastosłupem prawidłowym. Na rysunku poniżej pokazany jest graniastosłup
prawidłowy czworokątny, jego podstawą jest kwadrat.
Tablica 59. Geometria.
Graniastosłup – Prostopadłościan, sześcian
Graniastosłup, którego podstawą jest prostokąt, nazywamy prostopadłościanem.
h
b
a
-
Objętość prostopadłościanu:
-
Pole powierzchni bocznej:
Pb  2  a  h  2  b  h  2(a  h  b  h)
-
Pole powierzchni całkowitej:
Pc  2(a  b  a  h  b  h)
V  a b  h
Graniastosłup, którego podstawą jest kwadrat i ściany boczne są kwadratami,
nazywamy sześcianem
a
a
a
-
Objętość sześcianu:
V  a3
-
Pole powierzchni bocznej:
Pb  4a 2
-
Pole powierzchni całkowitej:
Pc  6a 2
Download

Liczby naturalne