Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa. Lista 3 Zad. 1

Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa. Lista 3
Zad. 1 Dystrybuanta zmiennej losowej X jest dana wzorem
F (x) =
4
X
2k
k=1
30
I(k,k+1) (x) + I(5,∞) (x)
dla x ∈ R, gdzie IA jest indykatorem zbioru A, tzn. IA (x) = 1, gdy
x ∈ A ⊂ R i IA (x) = 0, gdy x 6∈ A. a) Wyznaczyć punkty skokowe i skoki
dystrybuanty F ; obliczyć: b) P (|X − 3| ≥ 2); c) medianę zmiennej X.
Zad. 2 Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na przedziale [a, b] o
gęstości
1
I[a,b] (x)
f (x) =
b−a
dla x ∈ R, gdzie I[a,b] (x) jest indykatorem przedziału [a, b]. Narysować
gęstość f . Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej X.
Zad. 3 Zmienna losowa X ma gęstość f (x) = (c/x)I[1/2,2] (x). Obliczyć: a)
nieznaną stałą c; b) medianę zmiennej X; c) P (3/4 < X < 4/3).
Zad. 4 Pewna firma ubezpieczeniowa oferuje, że wypłaci 40000 zł w razie
śmierci pięćdziesięcioletniego mężczyzny w ciągu w roku trwania
ubezpieczenia w zamian za 500 zł jednorazowej wpłaty. Obliczyć przeciętny
zysk firmy, jeśli prawdopodobieństwo śmierci pięćdziesięcioletniego
mężczyzny w ciągu roku, odczytane z polskich tablic trwania życia, równa
się 0, 01081.
Zad. 5 Zmienna losowa X ma wartość oczekiwaną µ i wariancję σ 2 .
Obliczyć, dla jakich wartości a i b zmienna losowa a + bX ma wartość
oczekiwaną zero i wariancję jeden.
Zad. 6 Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na przedziale [−a, a],
gdzie a > 0. Obliczyć P (X 2 ≥ X 3 ).
Zad. 7 Zmienna losowa X ma rozkład normalny N (0, 2.5). Obliczyć
P (6X 2 ≥ 9X + X 3 )).
Zad. 8 Niech X będzie zmienną losową o gęstości
f (x) = θf1 (x) + (1 − θ)f2 (x), gdzie 0 < θ < 1 oraz fi jest gęstością pewnej
zmiennej losowej o wartości oczekiwanej µi i wariancji σi2 dla i = 1, 2
(gęstość f jest nazywana mieszaniną gęstości f1 i f2 ). Obliczyć wartość
oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej X.
Zad. 9 (Schemat Bernoulliego, rozkład dwumianowy). Wykonuje się n
niezależnych doświadczeń, z których każde może zakończyć się sukcesem z
prawdopodobieństwem p, i porażką z prawdopodobieństwem 1 − p
(0 < p < 1). Pokazać, że liczba Kn , wszystkich sukcesów w ciągu n
doświadczeń jest zmienną losową o rozkładzie Bernoulliego
(dwumianowym) b(n, p) z parametrami n, p, tzn. że
n k
P (Kn = k) =
p (1 − p)n−k
k
dla k = 0, 1, . . . , n.
Zad. 10 Co jest bardziej prawdopodobne, wygrać z równorzędnym
przeciwnikiem dwie partie z trzech, czy cztery partie z sześciu?
Zad. 11 Handlowiec zamawia codziennie 80 sztuk pewnego artykułu.
Każdy z dwustu potencjalnych klientów kupuje jedną sztukę przeciętnie raz
na trzy dni, niezależnie od innych klientów. Oliczyć prawdopodobieństwo,
że w ustalonym dniu wszystkie sztuki będą sprzedane.
Zad. 12 Dziesięciu abonentów może połączyć się z siecią telefoniczną za
pomocą lokalnej centrali dysponującej n liniami. Każdy z abonentów
zajmuje linię średnio 12 minut na godzinę. Zakładając, że zamówienia są
dokonywane niezależnie od siebie, obliczyć, jaka jest minimalna liczba linii
wystarczająca na to, by w losowo wybranej chwili z prawdopodobieństwem
0.99 obsłużyć wszystkie zgłoszenia.
Zad. 13 Towarzystwo ubezpieczeń wzajemnych ma rezerwę 1000 zł z
poprzedniego roku. W bieżącym roku stu klientów wpłaca po 100 zł
ubezpieczenia. W przypadku śmierci ubezpieczonego firma wypłaca 4000
zł. Prawdopodobieństwo śmierci każdego z klientów jest jednakowe i równe
p = 1/100. Załóżmy, że przypadki zgonów są niezależne od siebie. Jakie jest
prawdopodobieństwo tego, że firma nie będzie wypłacalna w bieżącym
roku?
Zad. 14 ( R o z k ł a d P o i s s o n a). Załóżmy, że prawdopodobieństwo pn
uzysania sucesu w schemacie Bernoulliego maleje wraz ze wzrostem liczby
doświadczeń n w ten sposób, że npn = λ dla dowolnego n, gdzie λ jest
ustaloną liczbą dodatnią. Pokazać, że
λk −λ
lim P (Kn = k) = e
n→∞
k!
dla k = 0, 1, 2, . . . , Następnie sprawdzić, czy ciąg liczb {λk e−λ /k!},
k = 0, 1, 2, . . . , jest rozkładem prawdopodobieństwa.
Zad. 15 Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie Poissona z
parametrem λ. Sprawdzić, czy
EX = V arX = λ.
Zad. 16 (Rozkład geometryczny). Niech X oznacza czas czekania na
pierwszy sukces w nieskończonym ciągu niezależnych doświadczeń
opisanych w zad. 47. Wyznaczyć funkcję rozkładu prawdopodobieństwa i
dystrybuantę zmiennej losowej X. Obliczyć jej wartość oczekiwaną.
Zad. 17 Wyznaczyć stałe a i b, by funkcja
a sin x + b dla |x| ≤ π/2;
f (x) =
0 dla |x| > π/2;
była gęstością pewnej zmiennej losowej X. Obliczyć dystrybuantę zmiennej
X oraz kwantyl2 rzędu 1/2.
Zad. 18 Wyznaczyć stałą c, by funkcja
0 dla x ≤ 0;
F (x) =
c
dla x > 0,
1 − 1+x
była dystrybuantą pewnej zmienej losowej X typu ciągłego. Wyznaczyć
gęstość zmiennej X. Obliczyć kwantyl2 rzędu 1/4 i medianę zmiennej X.
Obliczyć P (X > 1.5).
Zad. 19 Dana jest funkcja

 0 √dla x < −1;
a 3 x + b; dla |x| ≤ 1;
F (x) =

1 dla x > 1.
Należy dobrać stałe a i b tak, by funkcja F była dystrybuantą pewnej
zmiennej losowej typu ciągłego. Obliczyć gęstość tej zmiennej.
Zad. 20 Dana jest funkcja F (x) = a + b arctg(x), x ∈ R. Dla jakich
wartości a i b, funkcja F jest dystrybuantą pewnej zmiennej losowej X. a)
Wyznaczyć gęstość tej zmiennej; b) obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję
zmiennej X.
Zad. 21 (Rozkład jednostajny) Załóżmy, że przy odczycie kąta popełniamy
losowy błąd X z przedziału (−0.1, 0.1), dla którego prawdopodobieństwo
P (a ≤ X ≤ b) jest proporcjonalne do b − a, przy dowolnym
a, b ∈ (−0.1, 0.1), a ≤ b. Znaleźć gęstość i dystrybuantę zmiennej X.
Obliczyć jej wartość oczekiwaną, wariancję oraz kwantyle2 rzędu 1/4 i 3/4.
Zad. 22 (Rozkład wykładniczy). Element ulega awarii w losowej chwili X
(X ≥ 0), przy czym prawdopodobieństwo, że zepsuje się w przedziale czasu
[t, t + ∆t] pod warunkiem, że nie uległ awarii do chwili t, jest przy małych
∆ wielkością wprost proporcjonalną do ∆, tzn. istnieje takie λ > 0, dla
którego
P (t ≤ X < t + ∆|X ≥ t) = λ∆ + o(∆),
gdzie o(∆) oznacza wielkość zmierzającą do zera szybciej niż ∆, tzn.
o(∆)/∆ → 0 przy ∆ → 0. Pokazać, że X ma rozkład wykładniczy z
parametrem λ.
Zad. 23 (Brak pamięci rozkładu wykładniczego). Załóżmy, że element
podlega wykładniczemu prawu awarii, tzn. moment awarii X ma rozkład
wykładniczy z parametrem λ. Pokazać, że prawdopodobieństwo pojawienia
się awarii w czasie [t, t + ∆t], pod warunkiem, że nie nastąpiła ona do chwili
t, nie zależy od t. Innymi słowy element ”nie pamięta”, jak długo pracuje
(własność tę w klasie rozkładów typu ciągłego ma wyłącznie rozkład
wykładniczy).
Zad. 24 (Rozkład normalny). Mierząc pewną wielkość fizyczną µ
popełniamy błąd losowy, co sprawia, że wynik pomiaru X jest zmienną
losową. Na ogół zakłada się, że wynik pomiaru ma rozkład normalny
N (µ, σ) o gęstości
(x − µ)2
1
f (x) = √ exp −
2σ 2
σ 2π
dla −∞ < x < ∞, gdzie µ ∈ R i σ > 0 są parametrami rozkładu. Parametr
µ odpowiada dokładnej wartości mierzonej wielkości, parametr σ jest
związany z precyzją wykonania pomiarów. Pokazać, że
EX = µ,
V arX = σ 2 .
Zad. 25 (Operacja standaryzacji). Pokazać, korzystając z pojęcia
dystrybuanty, że standaryzowana zmienna losowa Y = (X − µ)/σ,
powstająca ze zmiennej X o rozkładzie N (µ, σ), ma rozkład N (0, 1).
Zad. 26 Automat tokarski ustawiony na pozycji µ produkuje wałki, których
średnica ma rozkład normalny N (µ, 0.05). Wałek uważa się za dobry, jeśli
jego średnica X mieści się w przedziale (20.15, 20.25). Jak powinien być
ustawiony automat, aby prawdopodobieństwo wykonania braku było
najmniejsze? Jaki procentowo udział w całej produkcji będą miały braki
naprawialne (X > 20.25), a jaki nie naprawialne (X < 20.15), jeżeli
automat ustawiono pomyłkowo na pozycji µ = 20.25?
Zad. 27 Jaki jest rozkład energii kinetycznej cząstki o masie m, której
prędkość jest zmienną losową o rozkładzie N (0, 1)?
Zad. 28 (Rozkład arcusa sinusa). Załóżmy, że napięcie U prądu zmiennego
ma losową fazę φ o rozkładzie jednostajnym na przedziale (−π/2, π/2), tzn.
U = Umax sin(φ), gdzie φ jest zmienną losową o gęstości
1
dla − π2 < φ < π2 ,
π
f (φ) =
0 dla pozostałych φ.
Wyznaczyć dystrybuantę i gęstość napięcia U. Jakie jest
prawdopodobieństwo, że wartość napięcia przekroczy co do modułu
0.5Umax ? Zaznaczyć to prawdopodobieństwo na wykresie gęstości i
dystrybuanty. Obliczyć wariancję zmiennej U.
Zad. 29 Wykazać, że gdy X ma rozkład jednostajny na przedziale (0, 1), to
dla dowolnego λ > 0, zmienna losowa Y = −(1/λ) ln(1 − X) ma rozkład
wykładniczy z parametrem λ.
Zad. 30 Przypuśćmy, że czas między chwilami zgłoszeń kolejnych klientów
do pewnego systemu obsługi (np. banku) ma rozkład wykładniczy z
parametrem λ = 1/(200 sekund). Należy przeprowadzić symulację zgłoszeń
siedmiu klientów, korzystając z następujących liczb:
0.001, 0.193, 0.585, 0.350, 0.823, 0.174, 0.711.
Liczby te są wartościami zmiennej o rozkładzie jednostajnym na przedziale
(0, 1) wytworzonymi przez komputerowy generator liczb losowych.
Zad. 31 W modelu Blacka-Scholesa zakłada się, że w ustalonej chwili t cena
akcji St ma postać
√
1 2
St = S0 exp (µ − σ )t + σ tWt , t ≥ 0,
2
gdzie µ jest współczynnikiem wzrostu, σ jest współczynnikiem zmiennści
ceny akcji (σ > 0), Wt zaś jest zmienną losową o rozkładzie normalnym
N (0, 1).
a) Obliczyć średnią cenę akcji w chwili t, jeśli S0 jest znaną liczbą.
b) Wyznaczyć dystrybuantę i gęstość zmiennej losowej St . Narysować
wykres gęstości, gdy r = 0.2, S0 = 1, t = 1 oraz σ = 0.1, σ = 0.2 i σ = 0.3.
Zad. 32 W pudełku jest 15 losów pustych, 4 losy wygrywające 1 zł i jeden
los wygrywający 100 zł. Ciągniemy kolejno i bez zwrotu dwa losy. Niech X
oznacza wygraną przypadającą na pierwszy los, Y zaś wygraną
przypadającą na drugi los. Obliczyć E(X + Y ).
Zad. 33 Krupier rzuca symetryczną monetą do chwili, gdy wypadnie orzeł.
Gdy orzeł wypadnie w k-tym rzucie, krupier wypłaca 2k zł, ale gdy orzeł
nie wypadnie po sześciu rzutach, gracz płaci S zł i gra się kończy. Ile
powinna wynosić opłata S, aby gra była sprawiedliwa?
Zad. 34 Dostawca zaopatruje co tydzień punkt sprzedaży w pewien artykuł.
Za każdą sprzedaną sztukę dostawca ma 150 zł zysku, a za każdą nie
sprzedaną traci 90 zł. Popyt jest zmienną losową X o następującym
przykładzie
x
0 1 2 3 4 5 6
1
2
4
9
10
8
2
P (X = x) 36
36
36
36
36
36
36
Ile sztuk powinien sprowadzić dostawca, aby jego przeciętny zysk był
największy?
Zad. 35 Niech l0 oznacza początkową liczebność jakieś generacji, lk zaś
oznacza jej liczebność po upływie k lat, k = 1, 2, . . . , z + 1, gdzie z jest
czasem życia generacji; oczywiście, lz+1 = 0. Załóżmy, że wielkość lk są
znane. Obliczyć:
a) prawdopodobieństwo zgonu losowo wybranej osoby w wieku x lat w
ciągu roku i prawdopodobieństwo przeżycia w ciągu roku;
b) prawdopodobieństwo zgonu w wieku x + k lat losowo wybranej osoby w
wieku x lat;
c) przeciętny czas życia losowo wybranej osoby;
d) przeciętny czas życia losowo wybranej osoby, która ukończyła x lat.
Zad. 36 Pewien człowiek będzie pobierał rentę dożywotnią w stałej
wysokości r zł rocznie, od chwili gdy ukończy x lat, aż do chwili śmierci
(renta będzie płacona z dołu, tzn. pierwsza renta będzie wypłacona, gdy
ubezpieczony ukończy x + 1 lat, druga, gdy ukończy x + 2 lata itd.)
Załóżmy, że znamy liczebność generacji lk w k-tym roku. Obliczyć:
a) przeciętną liczbę wypłaconych rent i przeciętną wypłaconą kwotę do
chwili jego śmierci;
b) jaka musi być minimalna jednorazowa składka ubezpieczenia, jeśli roczna
stopa procentowa lokat bankowych nie zmienia się i wynosi q · 100%, a
odsetki są kapitalizowane rocznie.
Zad. 37 W pewnej partii urządzeń jest 5% urządzeń, które nie działają.
Pozostałe urządzenia są sprawne i czas działania każdego z nich jest
zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ = 0.1. Niech T
oznacza czas pracy losowo wybranego urządzenia z partii. a) Wyznaczyć
dystrybuantę zmiennej losowej T i narysować jej wykres. Jakiego typu jest
to zmienna losowa? b) Obliczyć ET.
Zad. 38 Handlowiec kupuje jakiś podzielny towar po stałej cenie c zł za
jednostkę i sprzedaje po stałej cenie s zł za jednostkę, gdzie s > c.
Załóżmy, że popyt Y jest zmienną losową typu ciągłego z dystrybuantą F
oraz gęstością f ciągłą i dodatnią na przedziale (0, ∞). Zysk handlowca jest
różnicą między wpływem ze sprzedaży, a wydatkiem na zakup towaru (nie
sprzedany towar traci na ważności i jest wyrzucany). Ile towaru powinien
on zamówić, aby jego przeciętny zysk był największy?
Zad. 39 Niech X będzie zmienną losową typu ciągłego oraz E|X| < ∞.
Wykazać, że
Z∞
Z0
EX = (1 − P (X ≤ t))dt −
P (X ≤ t)dt.
0
−∞
Podać geometryczną interpretację tego wzoru.
Zad. 40 Z partii towaru o wadliwości 5% pobrano losowo (ze zwrotem)
próbkę 475 elementów. Użyć nierówności Czebyszewa1 do oszacowania
prawdopodobieństwa, że wadliwość pobranej próbki jest zawarta w
przedziale (1%, 9%).
Zad. 41 Rzucono 1024 razy symetryczną monetą. Posłużyć się nierównością
Czebyszewa1 do wyznaczenia przedziału, w którym z
prawdopodobieństwem 0.99 znajdzie się liczba otrzymanych reszek.
Zadania dodatkowe (nieobowiązkowe, ale polecane do samodzielnego
rozwiązania)
Zad. 42 Niech X oznacza wzrost losowo wybranej osoby z pewnej populacji
(w centymetrach). Wykazać, że X jest zmienną losową, tzn. określić Ω i
X(ω) dla każdego ω ∈ Ω.
Zad. 43 Niech K oznacza kwotę, jaką ma na koncie w danym banku losowo
wybray klient. Wykazać, że K jest zmienną losową.
Zad. 44 Rozkład zmiennej losowej X jest dany w następującej tabeli:
x
−1 1 2
1
1
1
P (X = x) 16
4
2
3
3
16
Narysować wykres dystrybuanty zmiennej X. Obliczyć: a) P (X > 1); b)
P (X ≤ 2); c) P (X 2 < 2); d) P (2X − 1 > 5); e) EX.
Zad. 45 Zmienna losowa X ma następujący rozkład:
x
−2 −1 0 2
P (X = x) 18
a 12 b
Wiemy, że EX = 1/8. Wyznaczyć stałe a i b; b) obliczyć V arX.
Narysować wykres dystrybuanty zmiennej X.
Zad. 46 Podać wzór na kwantyl2 rzędu p w rozkładzie o gęstości
f (x) = e−|x| /2 (jest to tzw. rozkład Laplace’a).
Zad. 47 (Rozkład zerojedynkowy). Doświadczenie może zakończyć się
dwoma wynikami, które nazwiemy odpowiednio sukcesem i porażką, przy
czym prawdopodobieństwo sukcesu równa się p, porażki zaś 1 − p
(0 < p < 1). Niech X = 1, jeżeli uzyskano sukces oraz X = 0 dla porażki.
Pokazać, że EX = p, V arX = p(1 − p).
Zad. 48 Dana jest funkcja
f (x) =
√ c
1−x2
dla |x| < 1;
0 dla |x| ≥ 1;
gdzie c jest nieznaną stałą. Wiemy, że funkcja f jest gęstością rozkładu
prawdopodobieństwa jakieś zmiennej losowej X. a) Wyznaczyć wartość c,
b) podać wzór na dystrybuantę zmienej X, c) obliczyć EX.
Zad. 49 Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie jednostajnym na
przedziale (0, 1). Niech F będzie dowolną ściśle rosnącą dystrybuantą.
Wyznaczyć dystrybuantę zmiennej losowej Y określonej wzorem
Y (ω) = F −1 (X(ω)) dla ω ∈ Ω, gdzie F −1 oznacza funkcję odwrotną do F.
Zad. 50 W ekonometrii duże znaczenie ma funkcja produkcji typu
Cobba-Douglasa postaci
Y = β0 xβ1 1 · xβ2 2 . . . xβkk eW ,
gdzie Y jest wielkością produkcji x1 , . . . , xk oznaczają (nielosowe) nakłady
czynników produkcji β0 , β1 , . . . , βk są nielosowymi parametrami, W zaś jest
błędem losowym o rozkładzie N (0, σ). Wyznaczyć dystrybuantę i gęstość
wielkości produkcji Y.
Zad. 51 W urnie jest dziesięć kul czarnych i jedna biała. Losujemy jedną
kulę i zwracamy ją do urny razem z dziewięcioma kulami o tym samym
kolorze co wylosowana kula. Następnie z urny losujemy ponownie jedną
kulę. Gdy obie wylosowane z urny kule będą białe, wygrywamy 10 zł, a gdy
obie wylosowane będą różnych kolorów, wygrywamy 1 zł. W pozostałych
przypadkach płacimy 2 zł. Sprawdzić, czy gra ta jest sprawiedliwa, tzn. czy
wartość oczekiwana wygranej równa się zeru.
Zad. 52 W urnie są trzy czarne kule i jedna biała. Losujemy kolejno i bez
zwrotu kule, aż do momentu wyciągnięcia kuli białej. Niech X oznacza
liczbę wyciągniętych kul. Obliczyć EX.
Zad. 53 Rzucamy trzy razy symetryczną kostką do gry. Jeżeli wypadnie k
razy parzysta liczba oczek, to wygrywamy 2k złotych, gdzie k = 0, 1, 2, 3.
Ile powinna wynosić opłata za grę, aby gra była sprawiedliwa, tzn. wartość
oczekiwana wygranej była równa zeru.
Zad. 54 Są dwa typy rejestratorów. Pierwszy ignoruje sygnał, którego
natężenie X jest zbyt małe (X < a) lub zbyt duże (X > b) dla ustalonych
liczb 0 < a < b (np. oko ludzkie rejestruje fale elektrmagnetyczne tylko w
zakresie od 7 · 10−7 m do 4 · 10−7 m). Drugi rejestrator, z powodu swej
bezwładności, rejestruje sygnały o natężeniu mniejszym od a, jako brak
sygału (zero) i natężeniu większym od b, jako sygnał maksymalny X = b
(np. amperomierz). Załóżmy, że sygnał wejściowy jest zmienną losową o
rozkładzie jednostajnym na przedziale (0, 2b). Wyznaczyć dystrybuantę
rejestrowanych sygnałów dla obu typów uządzeń.
Zad. 55 Rzucono 360 razy symetryczną sześcienną kostką. Użyć
nierówności Czebyszewa1 do wyznaczenia przedziału, w który z
prawdopodobieństwem 0.9 wpadnie liczba uzyskanych szóstek.
1. Nierówność Czebyszewa:
dla dowolnego > 0 i dowolnej zmiennej losowej X zachodzi
P (|X| ≥ ) ≤
1
EX 2 .
2
2. Kwantylem rzędu p (0 < p ≤ 1) zmiennej losowej X typu ciągłego o
dystrybuancie F i gęstości f nazywamy każdą liczbę xp , spełniającą
którykolwiek z następujących równoważnych warunków
F (xp ) = p,
P (X < xp ) = p,
Zxp
f (x)dx = p.
−∞