Mechanika Kwantowa - if univ rzeszow pl

Mechanika Kwantowa
IV. Atom wodoru
WYKŁAD 12
Stany stacjonarne
w potencjale centralnym
Plan wykładu
•
•
•
•
•
hamiltonian cząstki w polu centralnym,
separacja zmiennych,
radialne równanie Schrödingera,
liczby kwantowe,
zagadnienie dwóch ciał.
Hamiltonian cząstki w polu centralnym
Zakładamy, że cząstka o masie  porusza się
w pewnym polu, którego centrum umieszczone
jest w początku układu współrzędnych. Energia
potencjalna cząstki dana jest funkcją V=V(r)
i zależy jedynie od odległości cząstki od centrum
pola.
Mówimy wtedy, że cząstka porusza się w polu
o potencjale centralnym.
Hamiltonian cząstki w polu centralnym
Hamiltonian cząstki poruszającej się w polu
centralnym ma postać
2 2
H     V r 
2
gdzie
r x y z ,
2
2
2
  
 , , .
 x y z 
Postać hamiltonianu zależy od postaci członu
opisującego energię potencjalną.
Hamiltonian cząstki w polu centralnym
Stacjonarne równanie Schrödingera ma postać:
  2

 2    V r   r   E r 


2
W rozpatrywanym przez nas przypadku potencjał
ma z założenia symetrię sferyczną, tak więc
bardziej użytecznym będzie posługiwanie się
układem współrzędnych sferycznych.
Hamiltonian cząstki w polu centralnym
Laplasjan we współrzędnych sferycznych ma
postać
1  2 
1
 
 
1

  2 r
 2
 sin 
 2 2
  r sin   2
r r  r  r sin   
2
2
dla dowolnej funkcji zależnej od zmiennych r , , .
Pamiętamy, że operator L2 ma postać (we wsp.
sferycznych, w reprezentacji położeniowej):
1  
 
1  
L   
 sin    2
2
  sin   
sin   
2
2
2
Hamiltonian cząstki w polu centralnym
Możemy więc napisać
2
1


L


2
2
  2 r
 2 2
r r  r   r
pamiętając, że oba człony prawej strony
równoważności działają na funkcję zależną od
zmiennych r , , .
Hamiltonian cząstki w polu centralnym
Musimy więc rozwiązać stacjonarne równanie
Schrödingera we współrzędnych sferycznych
w postaci
  2   2   L2

 2 r 2 r  r r   2 r 2  V r   r, ,   E r, , 


Hamiltonian cząstki w polu centralnym
Operator momentu pędu we wsp. sferycznych
(Wykład 11)

 


 Lx  i sin    ctg cos   



 



 ctg sin 

 L y  i  cos 
 



 L  i 
 z

Separacja zmiennych
Ponieważ składowe operatora momentu pędu
działają jedynie na zmienne kątowe, więc
komutują one ze wszystkimi operatorami
działającymi na zmienną radialną. Mamy więc:
H , L  0
Tak więc jako zupełny zbiór komutujących
obserwabli wybieramy H, L2 oraz L3, dla których to
operatorów mamy wspólne stany własne.
Separacja zmiennych
Możemy napisać:
Hr   Er 
L r    l l  1r 
2
2
L3r   mr 
Pamiętamy także (Wykład 11), że:
L2Ylm  ,    2l l  1Ylm  , 
L3Ylm  ,   mYlm  , 
gdzie Y to tzw. harmoniki sferyczne.
Separacja zmiennych
Zapisując hamiltonian w postaci
2
L
H  Hr 
2
2 r
gdzie:
 2 
Hr  
r
  V r 
2
2 r r  r 

2
równanie Schrödingera przybierze formę:
2




2 r H r  E  r, ,  L r, , 
2
(lewa strona zależna od r, prawa od  , )
Separacja zmiennych
co pozwala nam dokonać faktoryzacji funkcji
falowej:
r   r, ,   Rr Ylm  , 
Należy więc rozwiązać „jedynie” równanie
Hr   Er 
Radialne równanie Schrödingera
Wykorzystując postać funkcji falowej:
r   r, ,   Rr Ylm  , 
w równaniu
   2  L

 2 r 2 r  r r   2 r 2  V r   r   E r 


2
2
otrzymamy radialne równanie Schrödingera:
 2 d  2 dR r    2l l  1R r 

 V r R r   ER r 
r

2
2
dr 
2 r dr 
2 r
Radialne równanie Schrödingera
Ponieważ w równaniu radialnym występuje liczba
kwantowa l oraz wiemy, że dla każdego l mamy
2l+1 możliwych wartości liczby kwantowej m, tak
więc funkcja radialna R(r) będzie zależeć od dwóch
parametrów:
Rr   Ral r 
gdzie sens fizyczny liczby kwantowej a zostanie
podany w następnym wykładzie.
Radialne równanie Schrödingera
Radialne równanie Schrödingera przyjmie więc
postać:
  2 d  2 d   2l l  1

 2 r 2 dr  r dr   2 r 2  V r  Ral r   Eal Ral r 


Można uprościć powyższy zapis wprowadzając
zależność:
1
Ral r   ual r 
r
otrzymując:
  2 d 2  2l l  1

 2  dr 2  2 r 2  V r ual r   Eal ual r 


Radialne równanie Schrödingera
Radialne równanie Schrödingera możemy także
zapisać w postaci
 2 d 2

 2  dr 2  Veff r ual r   Eal ual r 


gdzie potencjał efektywny:
 l l  1
Veff r   V r  
2
2 r
2
Radialne równanie Schrödingera
Można wykazać, że dla potencjału w postaci
V r  ~ r k , gdzie k  2 , w pobliżu r = 0 funkcja
radialna powinna się zachowywać jak:
Rr  r
r
0
l
Liczby kwantowe
Podsumowanie
1) Dla cząstki poruszającej się w potencjale
centralnym funkcje falowe zależą co najmniej
od trzech liczb kwantowych
1
 r   alm r   Ral r Ylm  ,   ual r Ylm  , 
r
Funkcje te są funkcjami własnymi operatora
Hamiltona, kwadratu momentu pędu oraz rzutu
momentu pędu na oś z.
Liczby kwantowe
2) Funkcje alm r  odpowiadają wartościom
własnym:
Eal
- energia
 2l l  1 - pełny moment pędu
- rzut momentu pędu na oś z
m
Nazewnictwo liczb kwantowych:
a –główna (radialna) liczba kwantowa;
l – orbitalna liczba kwantowa;
m – magnetyczna liczba kwantowa
Liczby kwantowe
3) Funkcje falowe spełniają równania
  2 d 2  2l l  1

 2  dr 2  2 r 2  V r ual r   Eal ual r 


L alm r    l l  1alm r 
2
2
L3alm r   malm r 
gdzie:
1
alm r   ual r Ylm  , 
r
Zagadnienie dwóch ciał
Zakładamy, że dwa ciała o masach m1 i m2
oddziałują ze sobą z potencjałem zależnym jedynie
od ich wzajemnej odległości:
V r1 , r2   V r1  r2 .
Wprowadzamy nowe zmienne:
rŚM
z
r
r2
r  r1  r2
m1r1  m2r2

m1  m2
m2
m1
rŚM
r1
x
y
Zagadnienie dwóch ciał
Lagranżjan w postaci:
1
1
2
L  m1r1  m2r22  V r1  r2 
2
2
w nowych zmiennych przyjmie formę:
1
1 m1m2 2
2
L  m1  m2 rŚM 
r  V r 
2
2 m1  m2
Zagadnienie dwóch ciał
Zalety wprowadzenia nowych zmiennych:
•zagadnienie dwóch oddziałujących z sobą ciał
zostało sprowadzone do zagadnienia dwóch
cząstek (fikcyjnych), które ze sobą nie oddziałują;
•jedną z fikcyjnych cząstek jest środek masy (ŚM)
o masie m1+m2, którego pęd jest zachowany.
Ruch ŚM możemy pominąć przechodząc do
układu środka masy, w którym rŚM  0 ;
m1m2
• drugą cząstką jest cząstka o masie  
m1  m2
(masa zredukowana) poruszająca się w polu
o potencjale V(r), której ruch musimy wyznaczyć.