Pole_wycinka_kola

Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej
Portalu www.szkolnictwo.pl
Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie
w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie
i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania
w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.
„W matematyce nie ma drogi
specjalnie dla królów.”
Euklides
Pole wycinka koła.
Jeśli umiesz obliczyć pole koła, obliczenie pola wycinka
koła nie powinno sprawić ci problemu, a jest to bardzo
przydatna umiejętność.
OZNACZENIA.
Przyjmujemy
następujące oznaczenia:
r – długość promienia
d – długość średnicy
P – pole koła
Ważne:
d = 2r
LICZBA π.
Przypomnijmy (dokładne informacje znajdziesz w lekcji
„Koło. Okrąg. Liczba π”):
l – długość okręgu
Najczęściej stosowane przybliżenia:
π ≈ 3,14
KĄT ŚRODKOWY.
Kątem środkowym nazywamy kąt o wierzchołku w środku
okręgu (koła) i ramionach zawierających promienie okręgu
(koła).
α – kąt środkowy
WYCINEK KOŁA.
Wycinkiem koła (wycinkiem kołowym)
wyznaczonym przez kąt środkowy α nazywamy część
koła ograniczoną ramionami kąta środkowego i
łukiem, na którym oparty jest kąt α.
Kolorem zielonym
zaznaczono wycinek koła
wyznaczony przez kąt α.
POLE WYCINKA KOŁA.
Przyjrzyj się poniższym rysunkom. Pole narysowanych
kół wynosi 4π (P = 4π). Potrafisz określić pola
wycinków zaznaczonych kolorem zielonym?
POLE WYCINKA KOŁA.
Oto prawidłowe odpowiedzi (pola wycinków oznaczyliśmy Pw):
Pw = 2π
Ponieważ
Pw = 0,5 ∙ P
Pw = π
Ponieważ
Pw = 0,25 ∙ P
Pw = 3π
Ponieważ
Pw = 0,75 ∙ P
Skąd się wzięły te ułamki? Po pierwsze widać jaką częścią całego
okręgu jest zaznaczony łuk, a po drugie…
POLE WYCINKA KOŁA.
Ten wycinek wyznaczony jest przez kąt
środkowy o mierze 180°. Cały okrąg to 360°.
A więc:
Ten wycinek wyznaczony jest przez kąt
środkowy o mierze 90°. A więc:
POLE WYCINKA KOŁA.
Znając wzór na obliczenie pola koła P o promieniu r,
jesteśmy wstanie obliczyć pole wycinka koła dla
którego znamy miarę kąta środkowego α który
wyznacza ten wycinek.
Pw – pole wycinka koła
r – promień koła
α – miara kąta środkowego który wyznacza wycinek
POLE WYCINKA KOŁA.
Pw
PRZYKŁADY.
PRZYKŁAD 1.
Kąt o wierzchołku w środku koła o promieniu 10 ma
miarę 40°. Oblicz pole wycinka wyznaczonego przez ten
kąt.
PRZYKŁADY.
PRZYKŁAD 2.
Jaki promień ma koło, w którym wycinkowi o polu
odpowiada kąt o mierze 30°?
PRZYKŁADOWE ZADANIA.
ZADANIE 1.
Rysunek przedstawia fragment projektu ścieżki
rowerowej w miejscu w którym zakręca po łuku okręgu.
Oblicz jaką powierzchnie będzie zajmować ścieżka na
tym łuku.
Najpierw musimy obliczyć pole
całego wycinka, następnie
odjąć od niego pole wycinka
który nie będzie ścieżką
(niezacieniowany obszar).
PRZYKŁADOWE ZADANIA.
ZADANIE 1 – ciąg dalszy.
m2
PRZYKŁADOWE ZADANIA.
ZADANIE 1 – ciąg dalszy.
Z obliczeń wynika że ścieżka rowerowa na tym łuku
będzie zajmować 7π m2 czyli około 21,98 m2 (π ≈ 3,14).
PRZYKŁADOWE ZADANIA.
ZADANIE 2.
Przyjmując, że bok jednej kratki ma długość 1 oblicz pole
figury z rysunku.
Narysowana figura składa
się z trójkąta i dwóch
półkoli. Jej pole obliczymy
dodając do siebie pole
trójkąta o podstawie 4 i
wysokości 2 oraz pole koła o
promieniu 1 (dwa półkola).
P = 0,5 ∙ 4 ∙ 2 + π ∙ 12 = 4 + π