C:\\swp55\\Docs\\Zestawy zadań\\t03

-1-
1. Obliczyć całki
a)
x sin ydxdy , gdzie D
D
2
b)
2, 4
0,
,
5
2y 3
dx
1
5x 2 y dy ,
2
2x 2
c)
4xy
6x
4y
2 dxdy , gdzie D jest trójkątem o wierzchołkach
D
w punktach A 1, 2 , B 2, 2 , C 2, 4 ,
8x 2
d)
2y 2
4xy
6x
2y dxdy , gdzie D jest trójkątem o wierzchołkach
D
w punktach A 0, 0 , B 1, 2 , C 1, 3 ,
e)
xdxdy , gdzie D jest trójkątem o wierzchołkach A 1, 1 , B 0, 0 , C 1, 5
D
y
x dxdy , gdzie D jest czworokątem o wierzchołkach w punktach:
f)
D
A 2, 2 ,B 4, 4 ,C 4, 8 , D 2, 4 ,
x2
g)
y dxdy , gdzie D jest obszarem ograniczonym parabolami y
x2 , x
y2 .
D
2. Wykorzystując współrzędne biegunowe obliczyć całki
R2 x2
R
a)
dx
ln 1
0
x2
y 2 dy ,
0
b)
R
2
x2
y 2 dxdy , gdzie D jest obszarem określonym nierównościami: y
0,
D
x2
y2
c)
Rx
0,
3y dxdy , gdzie D jest kołem o środku w początku układu współrzędnych
2x
D
i promieniu R .
3. Obliczyć pole obszaru ograniczonego parabolami y 2
4a 2
4. Znalęźć objętość bryły ograniczonej powierzchniami:
z 2x 2 y 2 1 , x y 1 , x 0 , y 0 , z
5. Obliczyć całki
a)
x
y
z dxdydz , gdzie D
0, a
0, c ,
0, b
D
1
x
b)
D
1
y
1 dxdydz , gdzie D
z
1, e
3
,
3ax , y 2
0.
ax .
-2-
xdxdydz , gdzie D jest obszarem ograniczonym płaszczyznami układu
c)
D
y
z
współrzędnych oraz płaszczyzną o równaniu x
1,
2
3
1
dxdydz
, gdzie D jest obszarem ograniczonym płaszczyznami układu
d)
2
x
y
z
1
D
współrzędnych oraz płaszczyzną o równaniu x
y
1.
z
6. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami
a) z x y , z xy , x y 1 , x 0 , y 0 ,
b) x 2 z 2 a 2 , x y a , x y
a , x y a , x
a.
y
7. Wykorzystując współrzędne cylindryczne obliczyć objętość bryły ograniczonej
powierzchniami:
a) az a 2 x 2 y 2 , x y z a , x 0 , y 0 , z 0 ,
b) z
x2 y2 , x2 y2 6 z
8. Wykorzystując współrzędne sferyczne obliczyć
dx
0
1 x2 y2
1 x2
1
x2
dy
0
y2
z 2 dz .
0
9. Wykorzystując współrzędne sferyczne obliczyć objętość bryły opisanej
nierównościami: x 2 y 2 z 2 a 2 , z 2 x 2 y 2 .
10. Znaleźć współrzędne środka masy jednorodnej bryły ograniczonej
powierzchniami: x y z a , x 0 , y 0 , z 0 .
11. Obliczyć masę substancji zapełniającej część wspólną dwu kul
x 2 y 2 z 2 R 2 i x 2 y 2 z 2 2Rz
jeżeli w każdym jej punkcie gęstość objętościowa jest wprost proporcjonalna
do odległości tego punktu od płaszczyzny Oxy . (Wsk.: wsp. cylindryczne.)
12. Gęstość objętościowa walca x 2 y 2 R 2 , 0 z h w każdym jej punkcie
jest wprost proporcjonalna do kwadratu odległości tego punktu od osi walca.
Obliczyć moment bezwładności walca względem średnicy podstawy.