Dynamika ukladów elektrycznych

Dynamika układów elektrycznych
dr hab. inż. Krzysztof Patan
Wprowadzenie
Modele elektryczne opisują zjawiska zachodzące podczas
przemieszczania się ładunków elektrycznych pomiędzy
punktami obwodu o różnych potencjałach
Natężenie prądu i(t) [A] jest to szybkość przepływu ładunku
elektrycznego q(t) przez przewodnik o danym przekroju
i(t) =
dq(t)
dt
Napięcie u(t) [V ] jest to różnica potencjału pomiędzy dwoma
punktami obwodu elektrycznego
Napięcie jest przyczynkiem do przepływu prądu w obwodzie
Idealne i rzeczywiste źródła energii elektrycznej
Źródło napięciowe
Rzeczywiste
Idealne
e(t)
−
e(t)
i(t) +
−
i(t) R
+
u(t)
u(t)
Idealne źródło napięcia wytwarza
wartość napięcia niezależnie od
obciążenia
Rzeczywiste źródło napięcia posiada pewną rezystancję wewnętrzną więc wytwarza wartość
napięcia zależną od obciążenia
u(t) = e(t)
u(t) = e(t) − Ri(t)
Źródło prądowe
Rzeczywiste
Idealne
is (t)
i(t)
is (t)
−
i(t) +
u(t)
Idealne źródło prądu wytwarza
prąd o natężeniu niezależnym od
napięcia
i(t) = is (t)
−
R
+
u(t)
Rzeczywiste źródło prądowe posiada pewną rezystancję wewnętrzną więc wytwarza prąd o
natężeniu zależnym od napięcia
i(t) = is (t) −
u(t)
R
Podstawowe elementy elektryczne
Rezystancja (opór czynny)
Opór idealnego rezystora
+ i(t)
R
−
u(t)
i(t)
gdzie R – rezystancja [Ω]
u(t)
Konduktancja G =
R=
1
R
– przewodność
Rezystancja typowego elementu metalowego
R=ρ
l
A
gdzie A – przekrój, l – długość, ρ – opór właściwy
Rezystancja przewodników niemetalicznych zależy od punktu pracy i
zwykle jest nieliniowa
Pojemność elektryczna
+ i(t)
Ładunek zgromadzony na okładkach
C
−
u(t)
q(t) = Cu(t)
gdzie C – pojemność [F ]
Korzystając z definicji natężenia prądu otrzymujemy
Z
1
du(t)
lub u(t) =
i(t)dt
i(t) = C
dt
C
Naładowany kondensator to magazyn energii
Pojemność C idealnego kondensatora jest wartością stałą i zależy od
kształtu i wymiaru okładzin oraz przenikalności dielektrycznej
materiału pomiędzy okładkami
W rzeczywistych układach związek pomiędzy ładunkiem i napięciem
może być nieliniowy – pojemność C zależy od punktu pracy
Indukcyjność własna
Strumień pola magnetycznego przenikający cewkę
+
i(t)
eL
Φ(t) =
−
L
u(t)
µzA
i(t)
l
gdzie µ – przenikalność magnetyczna,
A – pole przekroju, z – liczba zwojów,
l – długość
Zmienny strumień Φ(t) powoduje powstawanie w każdym zwoju siły
elektromotorycznej (zachodzi zjawisko samoindukcji)
e(t) = −z
dΦ(t)
µz 2 A di(t)
di(t)
=−
= −L
dt
l
dt
dt
gdzie L – indukcyjność własna [H]
Jeżeli natężenie prądu rośnie to samoindukcja powoduje
gromadzenie się energii w polu magnetycznym cewki
Indukcyjność L jest jedynym parametrem idealnej cewki
Jeśli ośrodkiem jest element ferromagnetyczny to przenikalność
zależy od natężenia pola magnetycznego H, a indukcyjność od
natężenia prądu
L(i) =
µ(H)z 2 A
,
l
H=
zi(t)
dt
Cewka z rdzeniem ferromagnetycznym jest zatem elementem
nieliniowym
Indukcyjność wzajemna
Rozważmy parę cewek sprzężonych
magnetycznie – strumień magnetyczny
Φ1 (t) wytwarzany przez prąd i1 (t) płynący przez pierwszą cewkę częściowo
przenika także drugą cewkę
e1 (t)
e2 (t)
Część strumienia przepływającego przez drugą cewkę
Φ01 (t) = Φ1 (t) − Φr (t) = M12 i1 (t)
gdzie M12 – indukcyjność wzajemna, Φr – strumień rozproszony
Zmiana natężenia prądu i1 (t) powoduje indukowanie siły
elektromotorycznej w drugiej cewce
e2 (t) = −z2
dΦ01 (t)
di1 (t)
= −M12
dt
dt
Opisy zastępcze elementów elektrycznych
Do analizy układów elektrycznych stosuje się metody operatorowe
model operatorowy rezystora
u(t) = Ri(t) ⇒ U (s) = RI(s) ⇒ R =
U (s)
I(s)
model operatorowy kondensatora
i(t) = C
du(t)
U (s)
1
⇒ I(s) = sCU (s) ⇒
=
= xC
dt
I(s)
sC
gdzie xC – reaktancja pojemnościowa
model operatorowy cewki
u(t) = L
di(t)
U (s)
⇒ U (s) = sLI(s) ⇒
= sL = xL
dt
I(s)
gdzie xL – reaktancja indukcyjna
uogólnione porawo Ohma
U (s) = Z(s)I(s) lub I(s) = Y (s)U (s)
gdzie Z(s) – impedancja, Y (s) – admitancja
Połączenie równoległe RC
Uogólnione prawo Ohma
Z(s) =
U (s)
I(s)
Spadek napięcia jest taki sam na obu elementach
UC (s) = UR (s) = U (s)
Z pierwszego prawa Kirchoffa otrzymujemy
I(s) = IR (s) + IC (s)
Stąd
Z(s) =
U (s)
=
IR (s) + IC (s)
U (s)
U (s)
R
Ostatecznie
Z(s) =
+ sCU (s)
R
1 + sRC
=
RU (s)
U (s) + sRCU (s)
Połączenie równoległe RL
Uogólnione prawo Ohma
Z(s) =
U (s)
I(s)
Spadek napięcia jest taki sam na obu elementach
UL (s) = UR (s) = U (s)
Z pierwszego prawa Kirchoffa otrzymujemy
I(s) = IR (s) + IL (s)
Stąd
Z(s) =
U (s)
=
IR (s) + IL (s)
U (s)
U (s)
R
Ostatecznie
Z(s) =
+
U (s)
sL
sRL
R + sL
=
sRLU (s)
sLU (s) + RU (s)
Połączenie szeregowe RC
Uogólnione prawo Ohma
Z(s) =
U (s)
I(s)
Przez oba elementy płynie ten sam prąd
IC (s) = IR (s) = I(s)
Z drugiego prawa Kirchoffa otrzymujemy
U (s) = UR (s) + UC (s)
Stąd
Z(s) =
1
I(s)R + sC
I(s)
UR (s) + UC (s)
1
=
=R+
I(s)
I(s)
sC
Ostatecznie
Z(s) =
sRC + 1
sC
Połączenie szeregowe RL
Uogólnione prawo Ohma
Z(s) =
U (s)
I(s)
Przez oba elementy płynie ten sam prąd
IC (s) = IR (s) = I(s)
Z drugiego prawa Kirchoffa otrzymujemy
U (s) = UR (s) + UL (s)
Stąd
Z(s) =
UR (s) + UL (s)
I(s)R + sLI(s)
=
= R + sL
I(s)
I(s)
Ostatecznie
Z(s) = R + sL
Alternatywnie można skorzystać ze wzorów na impedancję
zastępczą
dla połączenia szeregowego
Z(s) = Z1 (s) + Z2 (s)
dla połączenia równoległego
Z(s) =
Z1 (s)Z2 (s)
Z1 (s) + Z2 (s)
Ćwiczenie
Wyznaczyć impedancje zastępcze szeregowych i równoległych
połączeń elementów R, L i C
Transformator
Transformator bez obciążenia
i1
M
u1
L1
R1
L2 u
2 R0
R2
Równanie uzwojenia pierwotnego
M – indukcyjność wzajemna
R1 , R2 – rezystancje uzwojeń
L1 , L2 – indukcyjności uzwojeń
i1 – prąd w uzwojeniu pierwotnym
u1 – napięcie po stronie pierwotnej
u2 – napięcie po stronie wtórnej
R0 = ∞
u1 (t) = R1 i1 (t) + L1
di1 (t)
dt
Równanie uzwojenia wtórnego (zakładając liniową zależność pomiędzy
strumieniem magnetycznym, a natężeniem prądu)
u2 (t) = M
di1 (t)
dt
W dziedzinie operatorowej
(
u1 (s) = (R1 + sL1 )i1 (s)
u2 (s) = sM i1 (s)
Eliminując i1 (s)
R1 + sL1
u2 (s)
sM
Stąd transmitancja transformatora bez obciążenia
u1 (s) =
G(s) =
Ms
ks
u2 (s)
=
=
,
u1 (s)
L1 s + R1
Ts + 1
k=
L1
M
,T =
R1
R1
W przypadku rdzenia ferromagnetycznego opis transformatora jest
nieliniowy i powyższa transmitancja może opisać działanie transformatora
w punkcie pracy
Transformator z obciążeniem
i1
i2
M
L1
u1
R1
L2
u 2 R0
R2
M – indukcyjność wzajemna
R1 , R2 – rezystancje uzwojeń
L1 , L2 – indukcyjności uzwojeń
i1 – prąd w uzwojeniu pierwotnym
i2 – prąd w uzwojeniu wtórnym
u1 – napięcie po stronie pierwotnej
u2 – napięcie po stronie wtórnej
R0 – rezystancja obciążenia
Równanie uzwojenia pierwotnego
u1 (t) = R1 i1 (t) + L1
di2 (t)
di1 (t)
−M
dt
dt
Równanie uzwojenia wtórnego (zakładając liniową zależność pomiędzy
strumieniem magnetycznym, a natężeniem prądu)
M
di1 (t)
di2 (t)
= R2 i2 (t) + R0 i2 (t) + L2
,
dt
dt
u2 (t) = R0 i2 (t)
W dziedzinie operatorowej
(
u1 (s) = (R1 + sL1 )i1 (s) − sM i2 (t)
sM i1 (s) = (R2 + R0 + sL2 )i2 (t)
Eliminując i1 (s) i podstawiając i2 (s) =
u1 (s) =
u2 (s)
R0
(R1 + sL1 )(R2 + R0 + sL2 ) − s2 M 2
u2 (s)
sM R0
Stąd transmitancja transformatora z obciążeniem
G(s) =
u2 (s)
M R0 s
= 2
2
u1 (s)
s (L1 L2 −M )+s(L1 R0 +L1 R2 +L2 R1 )+R1 (R0 +R2 )
lub
G(s) =
gdzie k =
M R0
R1 (R0 +R2 ) ,
T =
q
ks
T 2 s2 + 2ξT s + 1
L1 L2 −M 2
R1 (R0 +R2 ) ,
ξ= √
2
L1 (R0 +R2 )+L2 R1
(L1 L2 −M 2 )(R0 +R2 )R1
Silnik prądu stałego
Wytworzenie momentu obrotowego w silniku prądu stałego
opiera się na wykorzystaniu stałego pola magnetycznego
oddziałowywującego na przewód z płynącym prądem
Pole magnetyczne generowane jest przez:
magnes trwały
uzwojenie zasilane stałym napięciem
Na wirniku silnika umieszczone jest uzwojenie zasilane
napięciem stałym
Pole magnetyczne działa na uzwojenie twornika i powoduje
obrót wirnika
Uzwojenia twornika zasilane są przez komutator, więc
następuje zmiana kierunku zasilania uzwojeń co powoduje
kontynuowanie obrotu w tym samym kierunku
Silnik z magnesem trwałym
M – silnik
S,N – bieguny magnesu trwałego
N
R – rezystancja uzwojenia twornika
R
L – indukcyjność uzwojenia twornika
u
L M ω
i – prąd twornika
S
u – napięcie na zaciskach twornika
ω – prędkość obrotowa
Równanie podsystemu elektrycznego silnika
i
u(t) = Ri(t) + L
di(t)
+ e(t)
dt
gdzie e(t) – siła elektromotoryczna
Siła elektromotoryczna jest proporcjonalna do prędkości obrotowej silnika
e(t) = Ke ω(t)
gdzie Ke – stała napięciowa silnika
Moment elektryczny silnika jest proporcjonalny do prądu twornika
Me (t) = Km i(t)
gdzie Km – stała momentu obrotowego silnika
Ostatecznie
u(t) =
L dMe (t)
RMe (t)
+
+ Ke ω(t)
Km
Km dt
Zakładając jako zmienne wejściowe u(t) i Me (t), a jako wyjściową ω(t)
model operatorowy ma postać
R + sL
1
u(s) −
ω(s) =
Me (s)
Ke
Km Ke
Lub macierzowo
ω(s) =
1
Ke
R + sL
Km Ke
u(s)
Me (s)
Silnik obcowzbudny
iw
Rw
i
Lw
u
R
L M
uw
ω
uw , iw – napięcie i prąd wzbudzenia
Rw – rezystancja uzwojenia wzbudzenia
Lw – indukcyjność uzwojenia wzbudzenia
R – rezystancja uzwojenia twornika
L – indukcyjność uzwojenia twornika
u, i – napięcie i prąd twornika
ω – prędkość obrotowa
Równanie obwodu wzbudzenia
uw (t) = Rw iw (t) + Lw
diw (t)
dt
Dla obwodu twornika otrzymujemy
u(t) = Ri(t) + L
gdzie e(t) – siła elektromotoryczna
di(t)
+ e(t)
dt
Siła elektromotoryczna zależy od sprzężenia magnetycznego z obwodem
wzbudzenia i prędkości obrotowej silnika
e(t) = Kt Φw (t)ω(t)
(∗)
gdzie Kt – stała, Φw (t) – sprzężenie magnetyczne twornika pochodzące
od strumienia wzbudzenia
Moment elektryczny silnika jest proporcjonalny do prądu twornika i
strumienia wzbudzenia
Me (t) = Km Ψw (t)i(t)
(∗∗)
gdzie Km – stała momentu obrotowego silnika, Ψw – strumień
wzbudzenia
Równania (*) i (**) są nieliniowe (iloczyn funkcji zależnych od czasu),
aby uzyskać opis operatorowy należy dokonać linearyzacji w punkcie
pracy (i0 , iw0 )
Dla równania (∗)
∆e(t) = K1 ∆iw + K2 ∆ω
dΦw (t) gdzie K1 = Kt ω(iw0 ) diw (t) , K2 = Kt Φw (iw0 )
0
Dla równania (∗∗)
∆Me (t) = K3 (i0 ∆iw + iw0 ∆i)
gdzie K3 = Km M21 , M21 – indukcyjność wzajemna
Zakładając jako zmienne wejściowe u(t), uw (t) i Me (t), a jako wyjściową
ω(t) model operatorowy ma postać


u(s)
1
R + sL
(R + sL)i0 − K1 iw0 
Me (s) 
−
ω(s) =
K2
K2 K3 iw0
K2 (Rw + sLw )iw0
uw (s)
Zastosowania silników prądu stałego
elementy wykonawcze samolotów
motoryzacja
układy płynnej regulacji prędkości obrotowej
trakcja elektryczna
napędy manipulatorów i robotów – możliwość płynnej
regulacji prędkości kątowej
Silnik krokowy
Silnik krokowy (skokowy) to silnik przekształcający ciąg
sterujących impulsów elektrycznych na ciąg przesunięć
kątowych lub liniowych
Silnik krokowy jest układem znacznie prostszym niż układ
nadążny wykonujący to samo zadanie
Klasyfikacja silników krokowych:
o wirniku czynnym – najczęściej wirnik wykonany jest z twardej
stali, rzadziej używa się uzwojenia wzbudzenia
o wirniku biernym (reluktancyjnym) – wirnik wykonany jest z
blachy elektrolitycznej, jest uzębiony ale nie ma żadnego
uzwojenia
hybrydowe – posiadają wirnik reluktancyjny, a ponadto magnes
trwały, wzmacniający przepływ wywołany impulsem sterującym
dla pożądanego ustawienia zębów
Skok silnika krokowego to przesunięcie kątowe lub liniowe
wirnika pod wpływem działania jednego impulsu sterującego
Silnik krokowy z magnesem trwałym
N
S
1
1
1
S
N
2
2
N
2
S
2
N
N
2
2
S
S
1
1
S
1
N
wirnik stanowi magnes trwały
u
na stojanie znajdują się bieguny z
pasmami uzwojeń 1-1, 2-2
1-1
t
do pasm doprowadza się odpowiednio
uformowane impulsy
u
2-2
t
pod wpływem wytworzonego
momentu obrotowego wirnik obraca
się o kąt skoku
Skok silnika
α=
2π
2pm
gdzie p – liczba pasm uzwojeń, m – liczba par biegunów stojana
Równanie pasma uzwojenia
uj (t) = Rij (t) + L
dij (t)
+ ej (t),
dt
dla j = 1, 2
Siła elektromotoryczna
ej (t) = Ke
dθ(t)
sin(θ(t) + (j − 1)α)
dt
gdzie Ke – stała napięciowa, θ(t) – kąt obrotu
Moment elektryczny
Me (t) = Km i2 (t) cos(θ(t)) − Km i1 (t) sin(θ(t))
gdzie Km – stała momentu obrotowego
Zastosowania silników krokowych
napędy obrabiarek numerycznych
napędy drukarek, ploterów
układy zabezpieczeń w reaktorach jądrowych – sterowanie
prętami bezpieczeństwa pochłaniającymi neutrony
technika pomiarowa – dokładne pozycjonowanie
elementów pomiarowych
robotyka – manipulatory, pozycjonowanie robotów