Równania funkcyjne

Jelenia Góra, 2 marca 2013 r.
UNIWERSYTECKIE KӊKO MATEMATYCZNE - POZIOM
β
WWW.MATH.UNI.WROC.PL/PREISNER/JG/
Równania funkcyjne
Równanie funkcyjne to równanie, w którym niewiadom¡ jest funkcja. Równania funkcyjne
opisuj¡ cz¦sto pewne wªasno±ci funkcji lub nakªadaj¡ warunki jakie rozwi¡zanie powinno speªnia¢. Korzystaj¡c z postaci równania funkcyjnego potramy cz¦sto wyznaczy¢ bezpo±redni
wzór funkcji. Równanie funkcyjne mo»e mie¢ niesko«czenie wiele rozwi¡za« (tzn. funkcji,
które speªniaj¡ to równanie w ka»dym punkcie dziedziny). Naszym celem b¦dzie znalezienie
wszystkich takich funkcji i uzasadnienie, »e nie istniej¡ inne funkcje mog¡ce speªnia¢ takie równanie. Niestety nie istnieje ogólny algorytm rozwi¡zywania tego typu zada«, istnieje jednak
wiele metod, które s¡ pomocne przy równaniach funkcyjnych np.
• Przeksztaªcenie równania funkcyjnego poprzez wprowadzenie nowej zmiennej w = ψ(x)
np. w = −x, w = x + 1.
• Wywnioskowanie pewnych informacji o funkcji w pewnych charakterystycznych punktach np. x = 0.
• Wielokrotna iteracja równania funkcyjnego.
• Je»eli wyst¦puj¡ dwie zmienne w równaniu funkcyjnym x, y to mo»emy je zwi¡za¢ np.
x = −y , x = 2y .
Zadania.
1.
2.
3.
Wska» kilka rozwi¡za« f (f (x)) = x
Znajd¹ wszystkie funkcje f : R → R dla których f (x + y)2 = f (x)2 + f (y)2
Znajd¹ funkcje f : R → R speªniaj¡ce dla wszystkich rzeczywistych x i y równanie:
f (x + y) − 2f (xy) − 3f (x) + (2x2 − 1)f (y) = 2x(xy − 1) − 5
4.
Rozwi¡» równanie funkcyjne, gdzie f : R → R speªnia dla dowolnych liczb warunek:
f (x)f (y) + 1 = f (x) + f (y) + xy
5.
6.
Znale¹¢ wszystkie funkcje f : R → R speªniaj¡ce dla ka»dych x, y ∈ R równanie
f (x + y) = f (f (x)) + y + 1.
Znale¹¢ wszystkie funkcje f : R\{1} → R speªniaj¡ce dla ka»dego x 6= 1 równanie:
x+1
(x − 1)f ( x−1
) − f (x) = x
7.
8.
Znale¹¢ wszystkie funkcje f : N → R speªniaj¡ce warunek f (x + y) + f (x − y) = f (3x)
dla dowolnych x, y ∈ N
Rozstrzygn¡¢, czy istnieje taka funkcja f : N → N, »e f ((f (n)) = 2n dla ka»dego
n ∈ N.
materiaªy przygotowaª: Damian Dudek ([email protected]).
1
Funkcj¦ f : D → R nazywamy okresow¡ o okresie T > 0, je»eli
dla ka»dego x ∈ D f (x + T ) = f (x).
Funkcja okresowa.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
Wyka», »e je»eli funkcja f : R → R speªnia dla ka»dej liczby rzeczywistej x warunek
(x)
f (x + a) = 3ff(x)−1
, gdzie a 6= 0, to jest okresowa.
Dana jest funkcja f : R → R , która speªnia warunke f (x) + f (x + a) + f (x − a) = 0
dla ka»dej liczby rzeczywistej x. Wyka», »e jest to funkcja okresowa, podaj jej okres.
Poka», »e funkcja speªniaj¡ca dla dowolnego x ∈ R i ustalonego a ∈ R\{0} warunek:
1+f (x)
f (x + a) = 1−f
(x) jest okresowa.
√
Funkcja f : R → R speªnia dla wszystkich x warunek f (x + 1) + f (x − 1) = 2 2f (x).
Pokaza¢, »e jest okresowa.
(zad 1 53 OM II etap) Dana jest taka funkcja f : R → R, »e dla ka»dej liczby rzeczywistej x zachodz¡ równo±ci: f (x) = f (2x) = f (1 − x). Dowie±¢, »e funkcja f jest
okresowa.
(zad 3 55 OM I etap) Niech Q oznacza zbiór wszystkich liczb wymiernych. Wyznaczy¢
wszystkie funkcje f : Q → Q speªniaj¡ce warunek: f (x2 + y) = xf (x) + f (y), dla
ka»dej pary liczb wymiernych x, y
(zad 5 57 OM I etap Niech a, b b¦d¡ liczbami rzeczywistymi. Rozwa»my funkcje
f (x) = ax + b|x| oraz g(x) = ax − b|x|. Wykaza¢, »e je±li f (f (x)) = x dla ka»dej liczby
rzeczywistej x, to równie» g(g(x)) = x dla ka»dej liczby rzeczywistej x.
(zad 3 59 OM II etap) Wyznaczy¢ wszystkie takie funkcje f , okre±lone na zbiorze
wszystkich liczb rzeczywistych i przyjmuj¡ce warto±ci rzeczywiste, »e dla dowolnych
liczb rzeczywistych x i y zachodzi równo±¢:
f (f (x) − y) = f (x) + f (f (y) − f (−x)) + x
Pewne równania funkcyjne przy dodatkowym
zaªo»eniu ci¡gªo±ci funkcji jednoznacznie wyznaczj¡ znane funkcje elementarne.
Równania funkcyjne Cauchy'ego.
17.
18.
19.
20.
Poka», »e rozwi¡zaniami ci¡gªymi równania funkcyjnego f (x + y) = f (x) + f (y) s¡
funkcje postaci f (x) = cx.
Poka», »e rozwi¡zaniami ci¡gªymi równania funkcyjnego f (x+y) = f (x)f (y) s¡ funkcje
postaci f (x) = ax .
Poka», »e rozwi¡zaniami ci¡gªymi równania funkcyjnego f (xy) = f (x)+f (y) s¡ funkcje
postaci f (x) = loga (x).
Poka», »e rozwi¡zaniami ci¡gªymi równania funkcyjnego f (xy) = f (x)f (y) s¡ funkcje
postaci f (x) = xa .
2