7.2. Funkcje charakterystyczne

Funkcje charakterystyczne
Rachunek prawdopodobieństwa
Rozdział 7. Funkcje tworzące i
charakterystyczne.
7.2. Funkcje charakterystyczne
Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska
Funkcje charakterystyczne
Funkcje charakterystyczne
„W poprzednim odcinku”
Funkcje tworzące momenty
jednoznacznie wyznaczają rozkład.
pozwalają w prosty sposób wyznaczyć momenty.
„ładnie” się zachowują w przypadku sum niezależnych
zmiennych losowych.
można wykorzystać w dowodzeniu zbieżności według rozkładu.
niestety nie zawsze istnieją – niebawem coś na to poradzimy.
Funkcje charakterystyczne
Funkcje charakterystyczne
Definicja
Niech X : Ω → R będzie zmienną losową.
Funkcją charakterystyczną (rozkładu) zmiennej losowej X
będziemy nazywać funkcję ϕ : R → C daną wzorem
ϕ(t) = Ee itX .
(transformata Fouriera).
Uwaga
e itX : Ω → C jest zmienną losową o wartościach zespolonych.
Funkcje charakterystyczne
Funkcje charakterystyczne
Definicja
Niech X : Ω → R będzie zmienną losową.
Funkcją charakterystyczną (rozkładu) zmiennej losowej X
będziemy nazywać funkcję ϕ : R → C daną wzorem
ϕ(t) = Ee itX .
(transformata Fouriera).
Uwaga
e itX : Ω → C jest zmienną losową o wartościach zespolonych.
Uwaga
∀x,t∈R |e itX | = 1, więc E|e itX | = E1 = 1.
Stąd funkcja charakterystyczna istnieje dla dowolnego rozkładu.
Funkcje charakterystyczne
Funkcje charakterystyczne
Kilka własności funkcji charakterystycznych
Twierdzenie
Niech ϕ(t) będzie funkcją charakterystyczną zmiennej losowej X .
1
ϕ(t) jest jednostajnie ciągła względem t ∈ R;
2
Jeśli dla pewnego n ­ 1 E|X |n < ∞,
to dla każdego 0 ¬ k ¬ n istnieją pochodne ϕ(k) (t);
E(X k ) =
ϕ(k) (0)
ik
(it)k
(it)n
k
k=0 k! E(X ) + n! εn (t),
gdzie εn (t) ¬ 3E(|X |n ) oraz εn (t) → 0,
3 ϕaX +b (t) = e ibt ϕ(at)
ϕ(t) =
4
Pn
gdy t → 0;
dla niezależnych X1 , . . . , Xn
ϕX1 +...+Xn = ϕX1 (t) · . . . · ϕXn (t).
Funkcje charakterystyczne
Funkcje charakterystyczne
F. tworzące momenty i f. charakterystyczne
f.tworzące momenty
f.charakterystyczne
Jeśli MX (t) jest określona dla
t ∈ (−t0 , t0 ), t0 > 0, wówczas
Jeśli dla pewnego n ­ 1 E|X |n < ∞,
to
(k)
∀k­0 EX k = MX (0)
MX (t) =
tk
k
k=0 k! EX ,
P∞
ϕX (t) =
(k)
ϕX (0)
ik
Pn (it)k
tn
k
k=0 k! EX +o( n! ),
∀0¬k¬n EX k =
Dla a, b ∈ R
MaX +b (t) = e bt MX (at)
ϕaX +b (t) = e ibt ϕX (at)
Dla niezależnych X1 , . . . , Xn
MX1 +...+Xn = MX1 · . . . · MXn .
ϕX1 +...+Xn = ϕX1 (t) · . . . · ϕXn (t).
Funkcje charakterystyczne
Funkcje charakterystyczne
Twierdzenie o jednoznaczności
Funkcje tworzące - przypomnienie
Rozkład prawdopodobieństwa
zmiennej losowej o wartościach całkowitych nieujemnych
jest jednoznacznie wyznaczony przez jej funkcję tworzącą.
Funkcje tworzące momenty - przypomnienie
Jeśli funkcje tworzące momenty zmiennych losowych X i Y
są równe na przedziale (−t0 , t0 ) o dodatniej długości, to zmienne
losowe X i Y mają ten sam rozkład
Twierdzenie (o jednoznaczności)
Jeśli funkcje charakterystyczne zmiennych losowych X i Y
są równe to zmienne losowe X i Y mają ten sam rozkład.
Funkcje charakterystyczne
Funkcje charakterystyczne
Twierdzenie o ciągłości
X , X1 , X2 , . . . ciąg zm. los. o wartościach całkowitych nieujemnych
o funkcjach tworzących g (s) i gXn (s), n = 1, 2 . . ..
D
Dla s ∈ [0, 1) gXn (s) → gX (s) wtw Xn −
→ X.
X , X1 , X2 , . . . ciąg zmiennych losowych, których funkcje tworzące
momenty są określone w przedziale (−t0 , t0 ) o dodatniej długości.
D
Jeśli MXn −−−→ MX dla t ∈ (−t0 , t0 ), to Xn −
→ X.
n→∞
Twierdzenie (o ciągłości)
X , X1 , X2 , . . . ciąg zmiennych losowych
o funkcjach charakterystycznych ϕX (t) i ϕXn (t), n = 1, 2 . . ..
D
Xn −
→X
wtw
∀t ϕXn (t) −−−→ ϕX (t).
n→∞
Funkcje charakterystyczne
Funkcje charakterystyczne
Centralne Twierdzenie Graniczne – przypomnienie
Niech X , X1 , X2 , . . . będzie ciągiem
niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie.
Niech EX = m i VarX = σ 2 > 0. Wtedy
X1 + · · · + Xn − nm D
√
−
→ N(0, 1)
σ n
Dowód: Z czego skorzystamy:
2
(1) Dla Y ∼ N(0, 1) mamy ϕY (t) = e −t /2
(2) ϕY1 +...+Yn = ϕY1 (t) · . . . · ϕYn (t), dla niezależnych Y1 , . . . , Yn
(3) ϕaY +b (t) = e ibt ϕY (at)
(4) Jeśli E|Y |n < ∞, to
k
P
k
ϕY (t) = nk=0 (it)
k! E(Y ) +
D
(5) Yn −
→Y
wtw
(it)n
n! εn (t),
εn (t) −−→ 0.
∀t ϕYn (t) −−−→ ϕY (t).
n→∞
t→0