Zad. 1 Liczby rzeczywiste

Umiejętności/treści
Zadania
1) Liczby rzeczywiste
a) planuję i wykonuję obliczenia
na liczbach rzeczywistych; w
szczególności obliczam
pierwiastki, w tym pierwiastki
nieparzystego stopnia z liczb
ujemnych.
1.a.1. Oblicz:
2
3 4
 1
1  2  3   4
2
3
4 5
a) 
;
1 1
17  16 : 2
2 5
Uwagi/terminy
2
3 1
 1
10  2  3   2
2
5
4 5
b) 
1 1
33 : 16 : 2
2 5
1.a.2. Oblicz:
a)




3
2   3
1
:   2 

3 
4
 22  3 8 
1 3
:
2 5

2
3
8 
b)   3  3  3    21 c)   2 2   1 301 d)
8
27 
5
324



 
 

  3 2  :  3  2 1     3  3 3  3  8   2 1

3  
4  
8
27 
e) 
2
2
301

 2   1
5
324

2
2
33
 1  2
1.a.3. Wynik obliczeń 1 : (1,4)  3,2    1    2   3
to:
5
64
 4  3
1
28
1
1
A) 10
B) 15
C) 16
D) 12
3
75
3
3
1.a.4. Wartość podwojonej różnicy kwadratów liczb 13 i 3 wynosi:
A) 8
B) 16
C) 44  12 3
1.a.5. Podwojony kwadrat sumy liczb
A) 18  4 5
B) 18
D) 6
5 i 2 ma wartość:
C) 14
D) 18  8 5
1.a.6. Iloraz sumy liczb 7 i 2 2 przez ich różnicę ma wartość:
A)  30  8 14 B) 30  8 14 C)  30  8 14 D) 30  8 14
1.a.7. Suma dwóch liczb wynosi 15. Jeżeli pierwszą liczbę zwiększymy dwukrotnie i
weźmiemy drugiej liczby, to suma zwiększy się o 7. Szukane liczby to:
A) 6 i 9 B) 9 i 6 C) 8 i 7
D) 7 i 8
1.a.8. Pan Andrzej jechał samochodem z Poznania do Warszawy przez pierwsze trzy
godziny z prędkością 70 km/h, a następnie przyspieszył i kolejne dwie godziny jechał
z prędkością 90 km/h. Zatem podróż pan Andrzej odbył ze średnią prędkością:
A) 78 km/h
B) 80 km/h
C) 82 km/h
D) 76 km/h
1.a.9. Która z poniższych liczb jest większa od ?
A) 0,03
B)
C)
D)
1.a.10. Liczbą odwrotną do liczby
A)
B)
jest:
C)
1.a.11. Do jakiej potęgi należy podnieść
A) 2
B) -2
C) 4
b) badam, czy wynik obliczeń jest
liczbą wymierną.
D)
aby otrzymać
D) 0,5
1.a.12. Suma liczby odwrotnej do -3,5 i przeciwnej do
jest równa:
A)
D)
5
B) 4,5
C)
-4
1.b.1. Wskaż liczby niewymierne w zbiorze:

14
2
3
; 0;  ; 3,14;
12; 0, (12); 64 ;  ;
.
17 8
5

1.b.2. Rozstrzygnij, czy liczby a 
niewymierne.
2 2
7
2
oraz b  1   2 są wymierne czy
9
2 1
1.b.3. Oblicz wartość wyrażenia:
a)
3
1  3 
3

1  3 
2
b)
3
1.b.4. Porównaj liczby
1.b.5. Liczba
A) (1; 2) \ (
c) wyznaczam rozwinięcia
dziesiętne; znajduję przybliżenia
liczb.
6  5 oraz

6 5
jest elementem zbioru:
)
B) W \ C
C) (

1
 
1  3 
2
( 1 3
3
.
)\W
D) (1; 2) \ <
)
1.c.1. Liczbę 3,72491 zaokrąglij z dokładnością do:
a) całości
b) części dziesiątych
c) części setnych
1.c.2. O liczbach a i b wiemy, że a  17,5 i jest to przybliżenie z nadmiarem, a błąd
bezwzględny tego przybliżenia wynosi 0,224, oraz że b  8,5 i jest to przybliżenie
z niedomiarem, a błąd bezwzględny tego przybliżenia wynosi 0,116.
a) znajdź liczby a i b.
b) oblicz sumę liczb a i b. Otrzymany wynik zaokrąglij do pierwszego miejsca po
przecinku, a następnie oblicz błąd bezwzględny i błąd względny otrzymanego
przybliżenia.
1.c.3. Ułamek okresowy zamień na nieskracalny ułamek zwykły
a) 0, 6
b) 0,46 
c) 3,3(123).
1.c.4. Dane są liczby x  0, 15 oraz y  0,136 . Znajdź rozwinięcie dziesiętne
liczby x  y .
1.c.5. Liczba 0,(45) po zamianie na ułamek zwykły jest równa:
A)
B)
C)
D)
d) stosuję pojęcie procentu
i punktu procentowego
w obliczeniach.
1.d.1. Oprocentowanie kredytu mieszkaniowego w BR wynosiło dotychczas 6%.
Zarząd banku podniósł wysokość oprocentowania tego kredytu o 20%. O ile punktów
procentowych wzrosło oprocentowanie kredytu mieszkaniowego?
1.d.2. Jeden bok prostokąta zmniejszono o 25%, a drugi zwiększono o 25%. Pole tak
otrzymanego prostokąta:
A) zmniejszyło się o 6,25% B) zwiększyło się o 6,25%
C) nie zmieniło się
D) stanowi 0,75 pola pierwszego prostokąta
2
1.d.3. Liczba dodatnia b jest mniejsza od liczby a o 16 %. O ile procent liczba a jest
3
większa od liczby b.
1.d.4. Cenę produktu zmniejszono o 10%, a potem podwyższono o 10% i wynosi
ona 49,50 zł. Jaką cenę miał produkt przed tymi zmianami?
1.d.5. Na diagramie przedstawiono wyniki ankiety przeprowadzonej w III SP wśród
120 uczniów na temat „Czym się interesujesz?”. Wyniki przedstawiono na
diagramie. Odpowiedz na pytania:
a) Ile osób interesuje się sportem?
b) Jaki jest procent uczniów lubiących czytać książki?
c) Ile osób lubi TV i komputer?
1.d.6. Do 10% roztworu soli kuchennej dolano 2,5 kg wody. Stężenie otrzymanego
roztworu wynosi:
A) 6%
B) 8%
C) 2,5%
D) 7,5%
1.d.7. Nektarynki i brzoskwinie kosztują tyle samo. Jeśli nektarynki zdrożeją o 4% a
brzoskwinie o 8%, to koszyk zawierający 2 kg nektarynek i dwa kg brzoskwiń
zdrożeje o:
A) 24%
B) 12%
C) 6%
D) 10%
1.d.8. Jakim procentem liczby a jest 100?
A)
B)
C)
D)
1.d.9. Cena towaru nie uległa zmianie, jeśli najpierw:
A) podniesiono ją o 30% a następnie nową cenę obniżono o 30%
B) obniżono ją o 10%, a następnie nową cenę podniesiono o 10%
C) obniżono ją o 20%, a następnie nową cenę podniesiono o 25%
D) obniżono ją o 20%, a następnie nową cenę podniesiono o 15%
1.d.10. Kontroler jakości akceptuje przeciętnie 15 wyrobów na 20
wyprodukowanych. Jaki procent wyrobów jest przyjmowany do sprzedaży?
A) 25%
B) 5%
C) 75%
D)
%
e) posługuję się pojęciem osi
liczbowej i przedziału
liczbowego; zaznaczam
przedziały na osi liczbowej.
1.e.1. Zaznacz na osi liczbowej i zapisz w postaci przedziału zbiór wszystkich liczb
rzeczywistych, których odległość na osi liczbowej od liczby (-1) jest mniejsza niż 4.
1.e.2. Liczba 6,5 stanowi 175% liczby a. Sprawdź, czy liczba a należy do przedziału
(-6; 3  .
1
1.e.3. Zaznacz na osi liczbowej liczby i 0,25. Podaj dwie liczby, które leżą
3
pomiędzy nimi.
1.e.4. Jakim liczbom odpowiadają punkty A, B i C, zaznaczone na osi?
A
11
B
C
13
1.e.5 Elementami zbioru A = [(-3; 8) \ <5; 9)] ∩ N są:
A) {-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4} B) {0; 1; 2; 3; 4; 5} C) {0; 1; 2; 3; 4} D) {1; 2; 3; 4; 5}
f) wykorzystuję pojęcie wartości
bezwzględnej i jej interpretację
geometryczną, zaznaczam na osi
liczbowej zbiory opisane za
pomocą równań i nierówności.
1.e.6. Zbiór X = <-10; 100> ∩ C jest:
A) przedziałem obustronnie domkniętym
B) podzbiorem zbioru liczb wymiernych
C) zbiorem o parzystej liczbie elementów
D) zbiorem o skończonej liczbie elementów
1.f.1. Rozwiąż nierówność: x  3  2 . Zaznacz zbiór rozwiązań na osi liczbowej,
a następnie wskaż wśród rozwiązań nierówności
a) liczby naturalne
b) najmniejszą liczbę pierwszą
1.f.2. Rozwiązanie nierówności x  4  1
A) jest takie samo jak suma rozwiązań dwóch nierówności: x  5 lub x  4 .
B) to przedział <3; 5>
C) to zbiór liczb mniejszych od 5
D) to zbiór liczb większych od 3.
1.f.3. Na osi liczbowej zaznaczono zbiór rozwiązań nierówności :
A) x  1
B) x  1  1
C) x  1  1
D) x  1  1
1.f.4. Zapisz podane zdanie w postaci równania lub nierówności i rozwiąż to
równanie lub nierówność:
a) Odległość na osi liczbowej między liczbą 3 a liczbą x wynosi 5.
b) Odległość na osi liczbowej między liczbą x a liczbą 5 jest mniejsza lub równa 7.
c) Odległość na osi liczbowej między liczbą x a liczbą o 3 mniejszą od x wynosi 4.
1.f.6. Znajdź liczby spełniające jedną lub drugą nierówność
Nierówności to: x  3  3 i
x  2  1.
1.f.7. Oblicz 5  5  5  5 .
1.f.8. Oblicz:
a)
(8  2 3) 2  (2 3  8) 2
b) Liczbę 10  4 6 można zapisać
64 6 4 
 6
2
 2  2 6  22 

6 2

2
 6  2.
W podobny sposób oblicz 7  2 6 .
1.f.9. Rozwiąż równania i nierówności.
a) x  2  3
b) 5x  3  2
c) x  3  2
e) 3x  3  2
f) x  5
g)  x  1  8
d) 10 x  4  0
h) 3  7 x  10
1.f.10. Jaką najmniejszą wartość może mieć wyrażenie x  3 ?
A) 0
B)
3
C) –3
D) 6.
1.f.11. Korzystając z graficznej interpretacji wartości bezwzględnej zapisz
nierówność, której rozwiązaniem są liczby rzeczywiste należące do danego
przedziału.
A) x  1  3
B)
x  3  2 C) x  5
D) x  3  2
1.f.12. Jeżeli
A)
, to
B)
C)
1.f.13. Wartość wyrażenia
A) -4
B) -10
C)
D)
dla x= -5 jest równa:
D) -6
-2
1.f.14. Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność
A) - 4
B) - 3
C) - 5
D) 0
jest liczba:
1.f.15. Który układ równań przedstawia treść zadania:
Obwód prostokąta wynosi 200 cm. Jeden z boków jest 5 razy dłuższy od drugiego.
A)
B)
C)
g) obliczam potęgi
o wykładnikach wymiernych oraz
stosuję prawa działań na potęgach
o wykładnikach wymiernych
i rzeczywistych.
D)
1.g.1. Oblicz:
a)
b) 5  5
49  81
2
4
c)
49  81
d) (4  16)
1
3
3
e) (6 : 6)
2

 6 
g)   
  36 

1
2





4
h) 210  2 9
14
15
i) 14 : 14
 2 1   3 2
 2    3
3  2
j)
2304 1
1.g.2. Przedstaw w postaci potęgi o podstawie 2 wyrażenie:
56
f)
25 2
2



3
0,5  166  9  2166
1
 
2
148
2
.
 23
10
k
Przyjmując, że 2  1000 zapisz przybliżenie otrzymanej liczby w postaci a  10 , gdzie
a  1; 10) , a k jest liczbą całkowitą.
4
1.g.3. Liczba 33 3  9 3  27 1,5 jest równa
1
2
3
A) 3
B)
3
1.g.4. Porównaj liczby
 1
C)   
 3

1
2
D) 
3
3
1
a)
3 4
5 i 6 12
b)
35 i
1.g.5 Liczba x jest równa 49, gdy
( 7 )6
A) x =
B) x = 7-6∙492∙73
( 7 ) 2
3
94
75  7 2  6  76
C) x =
74
1.g.6. Czwarta część liczby 872 ma wartość:
A) 4108
B) 2214
C) 272
D)
h) znam definicję logarytmu
i stosuję w obliczeniach wzory na
logarytm iloczynu, logarytm
potęgi, logarytm ilorazu.
D) x = - 72
2216
10
 1020 .
b
1.h.2. Stosując własności działań na logarytmach, oblicz:
1
a) 2 log 5 5  log 5 125  log 5 5 5
b) log 3 27  log 3
9
1.h.3. Oblicz x.
a) log x  log 4  log 5  log 6
b) log x  log 40  log 5
2
c) log x  0,5 log 5  0,5 log 2
c) log 8 x  log 8 0,4  log 8 2  log 8 15
3
1.h.4. Wartość wyrażenia log340,5 + log32 jest równa:
A) 81
B) 42,5
C) 38,5 D) 4
1.h.1 Oblicz log ab , wiedząc, że log 10a  2010 i log
1.h.5 Wyrażenie x = log3(log224 – log23) jest równe:
A) log621
B) 1
C) 7
D) 21
1
1.h.6. Jeżeli log3 81 = x, to
A) x = 2
B) x = -2
C)
x = -4
D)
x=4