zestaw01

DMAD - dowodzenie twierdze«, indukcja
Jak przygotowa¢ si¦ do rozwi¡zywania zada«?
Przeczytaj rozdziaªy 1.1 i 1.2 z podr¦cznika/wykªadu.
Co powinna±/powiniene± wiedzie¢:
I. Jak udowodni¢, »e prawdziwa jest implikacja wykorzystuj¡c: dowód wprost, dowód nie wprost, dowód przez
zaprzeczenie.
II. Jak udowodni¢ zdania typu
A
∀n­n0 p(n)
korzystaj¡c z zasady indukcji.
Zadania na ¢wiczenia
Zadanie A.1. Udowodnij wprost, »e je±li
a
i
b
s¡ wymierne, to ich suma
wymierna wtedy i tylko wtedy, gdy istniej¡ liczby caªkowite
Zadanie A.2. Poka» nie wprost, »e dla caªkowitych
jest nieparzyste. (Liczba caªkowita
»e
t
ris
takie, »e
a i b, je±li (a + b + 1)2
a + b te»
t = r/s).
jest liczb¡ wymiern¡. (Liczba
jest liczb¡ parzyst¡, to
t
jest
a jest nieparzyste lub b
k taka,
jest parzysta (nieparzysta) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba caªkowita
t = 2k (t = 2k + 1)).
Zadanie A.3. Udowodnij przez zaprzeczenie, »e dla caªkowitych
m, n i r,
je±li
m+n i n+r
s¡ parzyste, to
m+r
te»
jest liczb¡ parzyst¡.
Zadanie A.4. Zaproponuj metod¦ dowodu twierdzenia: Je±li wybierzemy 3 skarpetki z szuady zawieraj¡cej tylko czarne
i niebieskie skarpetki, to b¦dziemy mieli pewn¡ jednokolorow¡ par¦ skarpetek.
Zadanie A.5. Udowodnij indukcyjnie, »e dla wszystkich
n­1
12 + 22 + 32 + . . . + n2 =
Zadanie A.6. Udowodnij indukcyjnie, »e dla wszystkich
n­1
n(n + 1)(2n + 1)
.
6
i dowolnej liczby rzeczywistej
x > −1
(1 + x)n ­ 1 + nx.
Zadanie A.7. Pokaza¢ indukcyjnie, »e je»eli dla ci¡gu
an (n ­ 0)
speªnione s¡ warunki:
a0 = 1;
a1 = −1;
a2 = 1;
an = an−1 + an−2 − an−3 ,
to
B
an = (−1)n
dla
dla
n ­ 3,
n ­ 0.
Zadania na ¢wiczenia - je±li czas pozwoli
Zadanie B.1. Pewna gra zaczyna si¦ ze stosem
n
zapaªek. Ka»dy z dwóch graczy w jednej rundzie mo»e usun¡¢ 1, 2 lub
3 zapaªki. Gracz usuwaj¡cy ostatni¡ zapaªk¦ przegrywa. Korzystaj¡c z indukcji poka», »e je±li
dla pewnej liczby caªkowitej
pozostaªym przypadku, gdy
j , to pierwszy
n = 4j + 1.
n = 4j, 4j + 2 lub n = 4j + 3
gracz ma strategi¦ wygrywaj¡c¡ a drugi gracz ma strategi¦ wygrywaj¡c¡ w
Zadanie B.2. Udowodni¢ indukcyjnie, »e maj¡c do dyspozycji nieograniczon¡ liczb¦ monet o warto±ci
mo»na kupi¢ w automacie (niewydaj¡cym reszty) dowolny napój, którego cena wynosi
Zadanie B.3. Rozwa» gr¦, w której na pocz¡tku mamy dwa stosy po
n­5
2
lub
5
zªotych,
zªotych.
n »etonów (n ­ 1). W ka»dej rundzie kolejno ka»dy
z dwóch graczy bierze dowoln¡ liczb¦ »etonów z jednego ze stosów. Gracz, który zabierze ostatni »eton wygrywa. Poka»
indukcyjnie, »e dla dowolnego
n­1
drugi gracz ma strategi¦ wygrywaj¡c¡ (tzn. gdy obaj gracze graj¡ optymalnie, to
zawsze drugi wygrywa).
Zadanie B.4. Zaªó»my, »e ka»da prostok¡tna tabliczka czekolady skªada si¦ z identycznych kwadratowych kostek. Do-
wolna taka tabliczka mo»e zosta¢ przeªamana tylko wzdªu» pionowej lub poziomej linii prostej rozdzielaj¡cej kostki.
Ile przeªama« nale»y zrobi¢, aby podzieli¢ dowoln¡ prostok¡tn¡ tabliczk¦ czekolady skªadaj¡c¡ si¦ z
kwadratowych kostek na
n
kostek? Odpowied¹ uzasadnij korzystaj¡c z indukcji.
1
n
identycznych
C
Zadania do samodzielnej pracy w domu
Zadanie C.1. Poka» wprost, »e je±li
a
i
b
s¡ podzielne przez
5,
podzielna przez 5 wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba caªkowita
Zadanie C.2. Poka» wprost, »e je±li
aib
s¡ nieparzyste, to
Zadanie C.3. Poka» wprost, »e je±li ka»da z liczb
wi¦ksza ni»
to ich suma te» jest podzielna przez
s
taka, »e
(a − b + 1)2
x1 , x2 , . . . , x8
r
jest
te» jest liczb¡ nieparzyst¡.
jest wi¦ksza ni»
7,
to ich ±rednia arytmetyczna jest
x1 , . . . , x10
jest mniejsza ni» 3, to pewna z liczb
jest mniejsza ni» 3.
Zadanie C.5. Udowodnij nie wprost, »e dla caªkowitego
n,
je±li
Zadanie C.6. Udowodnij przez zaprzeczenie, »e dla caªkowitego
n3 + 5
arytmetyczna jest wi¦ksza ni»
jest nieparzyste, to
x1 , x2 , . . . , x8
jest wi¦ksza ni»
n­1
1 · 2 · 3 + 2 · 3 · 4 + . . . + n · (n + 1) · (n + 2) =
Zadanie C.9. Udowodnij indukcyjnie, »e dla wszystkich
7 | 23n−1 + 3
n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
.
4
n­1
(tzn. ∃k−caªkowite 23n−1 + 3 = 7k).
Zadanie C.10. Poka» indukcyjnie, »e dla wszystkich
n­1
4n > n2 .
cn (n ­ 0) speªnione


c0 = −3;
c1 = 1;


cn = 2cn−1 − cn−2 for n ­ 2.
Zadanie C.11. Pokaza¢ indukcyjnie, »e je»eli dla ci¡gu
dla
jest liczb¡ parzyst¡.
5.
Zadanie C.8. Udowodnij indukcyjnie, »e dla wszystkich
cn = 4n − 3
n
n, je±li n3 + 5 jest nieparzyste, to n jest liczb¡ parzyst¡.
Zadanie C.7. Udowodnij przez zaprzeczenie, »e je±li ka»da z liczb
to
(wsk.
7.
Zadanie C.4. Poka» nie wprost, »e je±li ±rednia arytmetyczna liczb
x1 , . . . , x10
5.
r = 5s).
s¡ warunki:
n ­ 0.
Zadanie C.12. Zadanie B.2, je±li nie byªo zrobione na zaj¦ciach.
Zadanie C.13. Zadania 1.2 - 1.16 z podr¦cznika.
Zadanie C.14. Udowodnij indukcyjnie, »e dla wszystkich
n­1
12 − 22 + 32 − . . . + (−1)n−1 n2 = (−1)n−1
Zadanie C.15. Udowodnij indukcyjnie, »e dla wszystkich
n(n + 1)
.
2
n­1
1
1
1
n
+
+ ... +
=
.
1·2 2·3
n · (n + 1)
n+1
2
5,
to ich ±rednia