PTG93 - Instytut Kulturoznawstwa UAM

Polskie Towarzystwo Geologiczne, Oddział Poznański - Instytut Geologii UAM
Referaty, Tom III, 48 - 53, Poznań, 1993
___________________________________________________________________________
Andrzej Pawuła, Uniwersytet im. Adama Mickiewicza, Poznań
MODELOWANIE PROCESU PROPAGACJI CIEPŁA
W OŚRODKU GRUNTOWYM
(referat wygłoszony w dniu 27.05.1993)
Zjawisko propagacji ciepła w ośrodku gruntowym rozpatruje się jako superpozycję
pola temperatur oraz pola hydrodynamicznego filtracji. Strumień ciepła (φ) jest więc
traktowany jako suma strumienia kondukcyjnego (φp), uwarunkowanego przewodnictwem
cieplnym ośrodka oraz strumienia konwekcyjnego (φk), wynikającego z przenoszenia ciepła
przez filtrującą wodę.
Strumień kondukcyjny ciepła określony jest równaniem Fouriera:
φp = - λ · grad T
gdzie: T - temperatura (K)
λ - współczynnik przewodności cieplnej ośrodka (J/(s·m·K))
Do
podstawowych
parametrów
termicznych
ośrodka,
obok
współczynnika
przewodności cieplnej λ, należy również objętościowa pojemność cieplna ośrodka cv oraz
współczynnik dyfuzji termicznej Dt. Wartość współczynnika przewodności cieplnej
nawodnionego ośrodka gruntowego uzależniona jest od przewodności szkieletu gruntowego i
przewodności cieplnej wody, a także od tekstury skały i kształtuje się w granicach od 0,3
J/(s·m·K) dla piasków suchych do ok. 3,0 J/(s·m·K) dla wapieni i granitów. Objętościowa
pojemność cieplna ośrodka, równa jest iloczynowi ciepła właściwego i gęstości gruntu:
cv = cρ · ρ [J/(m3·K)]
Pojemność cieplna ośrodka dwufazowego, jaki stanowi nawodniony ośrodek skalny, jest
sumą pojemności cieplnej skały i wody porowej, w proporcji odpowiadającej objętości
poszczególnych faz:
cv = (1 - n)· cs + n· cw
gdzie: cw - ciepło właściwe wody [cw = 4,187·106 J/(m3·K)]
cs - ciepło właściwe szkieletu gruntowego [dla kwarcu cs = 1,85·106 J/(rn3·K)]
Współczynnik dyfuzyjności termicznej jest ilorazem współczynnika przewodności termicznej
i pojemności cieplnej:
Dt = λ/ cv [m2/s]
Strumień konwekcyjny ciepła (φk) jest wynikiem unoszenia ciepła zawartego w wodzie
porowej, definiowany jest więc jako iloczyn strumienia hydraulicznego i ilości
ciepła
-1 -
Polskie Towarzystwo Geologiczne, Oddział Poznański - Instytut Geologii UAM
Referaty, Tom III, 48 - 53, Poznań, 1993
___________________________________________________________________________
zawartego w jednostce wody porowej:

 k  u  cw  T  n
gdzie: T - temperatura względna w stosunku do wartości stałej (K)
u - wektor prędkości porowej wody, jako nośnika ciepła
cw - ciepło właściwe na jednostkę objętości wody
n - zawartość objętościowa wody (porowatość efektywna)
Wyrażenie ogólne na strumieri ciepła w ośrodku wodonośnym przedstawia się
następująco:

    gradT  u  cw  T  n
Przyjmując założenia, że:

wewnątrz rozpatrywanej objętości elementarnej można zdefiniować temperaturę
wody, która jest funkcją ciągłą i różniczkowalną w całym obszarze,

transport ciepła jest rezultatem średniego ruchu konwekcyjnego fazy ruchomej wody i
przewodnictwa nawodnionego ośrodka porowatego,

oraz, że wymiana ciepła między fazą nieruchomą a fazą ruchomą jest
natychmiastowa,
można wyrazić zmiany temperatury w strefie oddziaływania źródła ciepła równaniem
różniczkowym:
cv 
gdzie:
T
 f  div
t
t - zmienna czasowa
f - gęstość źródłowa ciepła
Podstawiając wyrażenie na strumień ciepła oraz przyjmując, że parametry λ, n, c v są
wielkościami stałymi (lapT - laplasjan macierzy temperatur T), otrzymuje się:
T 
c

 lapT  n  w  div (u  T )  f
t
cv
cv
Po uwzględnieniu własności dywergencji i zastąpieniu współczynnika dyfuzji
termicznej Dt współczynnikiem dyspersji D, który uwzględnia również własności
rozpraszające ośrodka wodonośnego, równanie propagacji ciepła przyjmuje postać:
-2 -
Polskie Towarzystwo Geologiczne, Oddział Poznański - Instytut Geologii UAM
Referaty, Tom III, 48 - 53, Poznań, 1993
___________________________________________________________________________
T
c

c 
 D  lapT  n  w  T  divu  n  w  u  gradT  f
t
cv
cv
W równaniu tym występuje człon dyspersyjny (D · lap T) oraz dwa człony konwekcyjne konwekcji naturalnej (n·cw/cv·u·grad T) oraz konwekcji wymuszonej (n·cw/cv·T.grad u).
Współczynnik dyspersji jest parametrem kompleksowym i w polu filtracji stanowi sumę
współczynnika dyfuzji termicznej i współczynnika dyspersji hydrodynamicznej DH:
D = Dt + DH
Liczba Pecleta określa stosunek przepływu konwekcyjnego do przepływu dyfuzyjnego:

Pe  u  L / Dt
gdzie: u - prędkość porowa wody
L - długość charakterystyczna ośrodka porowatego
Dt - współczynnik dyfuzji
Przy wartościach Pe » 1 dominuje dyspersja hydrodynamiczna. Współczynnik dyspersji ma
postać tensora i w układzie dwuwymiarowym (x, y) można go ograniczyć do dwóch
składowych: współczynnika dyspersji podłużnej Dl oraz współczynnika dyspersji poprzecznej
Dp (założenie - kierunek przepływu zgodny z osią x).
T
 T
 T
S H
c 
 Dl ( )  D p ( )  cw  T (
)  n w  u  gradT  T '
t
x x
y y
m t
cv
Otrzymane równanie różniczkowe cząstkowe wyraża bilans ciepła dla elementarnego
wycinka nawodnionego ośrodka gruntowego. Rozwiązanie numeryczne równania propagacji
ciepła polega na aproksymacji pochodnych dla założonej siatki dyskretyzacyjnej pola i
założonego kroku czasowego i utworzeniu systemu równań różnicowych dla wszystkich
elementów siatki modelu.
y
N
W
I
E
x
S
-3 -
Polskie Towarzystwo Geologiczne, Oddział Poznański - Instytut Geologii UAM
Referaty, Tom III, 48 - 53, Poznań, 1993
___________________________________________________________________________
Schemat metody różnic skończonych
I - element siatki dyskretyzacyjnej modelu
W, E, N, S - sąsiadujące oczka siatki modelu
Po aproksymacji wyrażeń różniczkowych metodą różnic skończonych, przy założeniu
modułu kwadratowego, otrzymuje się równanie różnicowe propagacji ciepła oczka
centralnego I:
u  uE
u  uW
T
D n  cw
D n  cw
I  TE ( 2l 
E E
) TW ( 2l 
W W
)
t
l
cv
2l
l
cv
2l
 TN (
 TI (
Dp
l
2

D p n  cw
u  uN
u  uS
n  cw
N N
) TS ( 2 
S S
)
cv
2l
l
cv
2l
u  u E n  cw
u  uW
2 Dl 2 D p n  cw
 2 
E E

W W
)
2
l
l
l  cv
2
l  cv
2
u  uN
u  uS
n  cw
n  cw
N N
)
S S
 cw  q I )  T ' I
l  cv
2
l  cv
2
gdzie: Dl - składowa podłużna współczynnika dyspersji termicznej;

Dp - składowa poprzeczna współczynnika dyspersji termicznej;
n (E,W,N,S) - średnie wartości współczynnika porowatości na
kierunkach głównych schematu różnicowego;
cv (E,W,N,S) - średnie wartości ciepła właściwego ośrodka
wodonośnego, na kierunkach głównych;
cw - ciepło właściwe wody
u (E,W,N,S) - składowe wektora średniej prędkości porowej
na kierunkach głównych;
l - moduł kwadratowej siatki modelu.
Pochodna czasowa aproksymowana jest za pomocą następującego schematu:
T
T t 2  TIt1
I I
t
t
gdzie:
TIt2 - temperatura oczka centralnego I, w czasie aktualnym t2
Δt - krok czasowy (t2 — t1)
TIt1 - temperatura oczka centralnego w czasie t1
-4 -
Polskie Towarzystwo Geologiczne, Oddział Poznański - Instytut Geologii UAM
Referaty, Tom III, 48 - 53, Poznań, 1993
___________________________________________________________________________
Po podstawieniu równania do schematu aproksymacyjnego, otrzymuje się:
TIt 2  TIt1  t[TEt 2 (
 TNt 2 (
 TIt 2 (

Dp

l2
u  uE
u  uW
Dl n  cw
D n  cw

E E
) TWt 2 ( 2l 
W W
)
2
l
cv
2l
l
cv
2l
D p n  cw
u  uN
u  uS
n  cw
N N
) TSt 2 ( 2 
S S
)
cv
2l
l
cv
2l
u E  u E n  cw
uW  uW
2 Dl 2 D p n  cw


E


W

)
l2
l2
l  cv
2
l  cv
2
u  uN
u  uS
n  cw
n  cw
N N
)
S S
 cw  QIt 2 )  TI' ]
l  cv
2
l  cv
2
Podstawiając do równania zmienne robocze α, β, γ, δ, η, gdzie:
  t  (
u  uE
Dl n  cw

E E
)
2
l
cv
2l
  t  (
u  uW
Dl n  cw

W W
)
2
l
cv
2l

u  uN
n  cw
N N
)
cv
2l

u  uS
n  cw
S S
)
cv
2l
  t  (
Dp
  t  (
Dp
  t  (
u  uE
u  uW
2 Dl aD p n  cw
n  cw
 2 
E E
)
W W

2
l
l
l  cv
2
l  cv
2

l
2
l2
u  u N n  cw
u  uS
n  cw
N N

S S
 cw  QIt 2 )  TI'
l  cv
2
l  cv
2
otrzymuje się równanie w postaci symbolicznej:
TIt 2 
  TEt 2    TWt 2    TNt 2    TSt 2  TIt1  t  TI'

Uzyskanie jednoznacznego rozwiązania układu równań wymaga założenia dwojakiego
rodzaju warunków: początkowego i brzegowego. Warunkiem początkowym dla równania
propagacji ciepła jest założenie dla wszystkich oczek siatki modelu temperatury początkowej
T = T0, dla czasu t = t0. Warunkiem brzegowym I - go rodzaju (warunek Dirichleta),
założonym w oczkach brzegowych modelu, jest znana funkcja temperatury T = T (x,y,t).
Warunek brzegowy może być również założony wewnątrz siatki modelu. Oczka modelu z
założonym warunkiem brzegowym odwzorowują oddziaływanie źródeł ciepła.
-5 -
Polskie Towarzystwo Geologiczne, Oddział Poznański - Instytut Geologii UAM
Referaty, Tom III, 48 - 53, Poznań, 1993
___________________________________________________________________________
Otrzymany układ równań liniowych rozwiązuje się z kolei metodą relaksacyjną:
t 2 ( k 1)
I
T
  TEt 2( k 1)    TWt 2( k 1)    TNt 2( k 1)    TSt 2( k 1)  TIt1  t  TI'


TI t 2( k 1)  TIt 2( k )   (TIt 2( k 1)  TIt 2( k )
gdzie: TIt2(k+1) - temperatura w czasie t2, w aktualnej iteracji (k+1}
skorygowana współczynnikiem nadrelaksacji (ω)
t2 - czas aktualny
t1 - czas poprzedni
Δt - krok czasowy (t2 - t1)
k+1 - aktualna iteracja
k - poprzednia iteracja
I - wskaźnik oczka centralnego w schemacie różnicowym
ω - współczynnik nadrelaksacji (1ω< 2)
Rozwiązaniem układu równań liniowych dotyczących wszystkich oczek modelu, z
wyjątkiem oczek z założonym warunkiem brzegowymi I - go rodzaju (TI = constans), jest
mapa pola temperatur.
W referacie przedstawiono stanowisko eksperymentalne do badań in situ oraz model
symulacyjny do pomiarów porównawczych. W warstwie nawodnionych utworów pylastych,
na głębokości 2 m, zainstalowana została sonda źródłowa o ustabilizowanej temperaturze
50˚C oraz 22 pomiarowe sondy termistorowe. Do zasilania sondy źródłowej oraz
wykonywania pomiarów temperatury służył monitor pola MP - 22. Badania eksperymentalne
wykonano w dwóch fazach czasowych, po 72 godziny każda. W modelu symulacyjnym
badanego pola temperatur uwzględniono lokalne warunki hydrogeologiczne oraz
odpowiednie dla każdej fazy warunki początkowe i brzegowe. Wyniki obliczeń
komputerowych zostały porównane z pomiarami temperatury jako funkcji położenia i czasu.
Pomiary eksperymentalne w powiązaniu z modelem symulacyjnym mogą służyć do
wyznaczania parametrów dyspersji ośrodka gruntowego. W przypadku dysponowania
przestrzenną charakterystyką parametrów dyspersji - model symulacyjny może posłużyć do
prognozowania strumienia ciepła w ośrodku gruntowym i analizowania zasięgu
oddziaływania źródeł ciepła.
-6 -
Polskie Towarzystwo Geologiczne, Oddział Poznański - Instytut Geologii UAM
Referaty, Tom III, 48 - 53, Poznań, 1993
___________________________________________________________________________
LITERATURA
Benderitter Y., Tabbagh A., Lacazedieu G., 1976: Echange de chaleur entre l’eau en circulation et l'aquifère. Centre de Recherches Géophysique CNRS, Garchy; Centre
d’Hydrogéologie Université de Bordeaux.
Burger A., Recordon E., Bovet D., Cotton L, Saugy B., 1985: Thermique des nappes souterraines. Presses Polytechniqués Romandes. Lausanne.
Ledoux E., de Marsily G., 1976: Transport de masse et énergie en milieu poreux. Ecole des
Mines de Paris, Centre d’Informatique Géologique, Fontainebleau.
Pawuła A., 1979: The Study on Migration ot Chemical Pollutions in Compounds Hydrogeological Structures. Polish-Austrian Seminar - Environment Protection. Politechnika
Wrocławska. Raporty IIOŚ, Wrocław.
Pawuła A., Mazurek K., 1980: Analiza procesów migracji wody i zanieczyszczeń
chemicznych w gruncie, z zastosowaniem metody modelowania matematycznego.
Instytut Kształtowania Środowiska, Poznań.
53
-7 -