Planimetria - trójkąty

Planimetria – trójkąt
Planimetria – trójkąt (profil podstawowy)
1.
W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna ma długość 12, a cosinus jednego
2
z kątów ostrych wynosi . Oblicz wysokość opuszczoną na przeciwprostokątną.
3
2.
W trójkącie prostokątnym ABC na boku AB obrano punkt D oddalony od punktu A o 6
i od punktu B o 4. Przez punkt D poprowadzono prostą równoległą do boku AC,
przecinającą bok BC w punkcie E. Oblicz długość odcina DE jeśli AC = 12.
3.
W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych ma długość a . Kąt ostry przy
tym boku ma miarę a. Wykaż, że sin a + cos a > 1.
4.
Państwo Nowakowie przeznaczyli 26000 zł na zakup działki. Do jednej z ofert
dołączono rysunek dwóch przylegających do siebie działek w skali 1:1000. Jeden metr
kwadratowy gruntu w tej ofercie kosztuje 35 zł. Oblicz, czy przeznaczona przez
państwa Nowaków kwota wystarczy na zakup działki P2, jeśli:
AE  5cm, EC  13cm, BC  6,5cm i kąty przy wierzchołkach A i D są proste.
E
P1
D
P2
A
B
C
5.
Miara jednego z kątów ostrych w trójkącie prostokątnym jest równa α.
a) Uzasadnij, że spełniona jest nierówność sinα − tgα < 0 .
2 2
b) Dla sin  
oblicz wartość wyrażenia cos 3   cos   sin 2  .
3
6.
Trójkąty ABC i CDE są równoboczne. Punkty A, C i E leżą na jednej prostej. Punkty
K, L i M są środkami odcinków AC, CE i BD (zobacz rysunek). Wykaż, że punkty K,
L i M są wierzchołkami trójkąta równobocznego.
str. 64
7.
Pole trójkąta prostokątnego jest równe 60 cm2 . Jedna przyprostokątna jest o 7 cm
dłuższa od drugiej. Oblicz długość przeciwprostokątnej tego trójkąta.
8.
Trójkąty prostokątne równoramienne ABC i CDE są położone tak, jak na poniższym
rysunku (w obu trójkątach kąt przy wierzchołku C jest prosty). Wykaż, że AD = BE .
C
E
D
A
B
9.
W trójkącie ABC poprowadzono dwusieczne kątów A i B. Dwusieczne te przecinają
się w punkcie P. Uzasadnij, że kąt APB jest rozwarty.
10.
W trójkącie równoramiennym ABC dane są: AB = BC = 6 i <ACB = 300 (zobacz
rysunek). Oblicz wysokość AD trójkąta opuszczoną z wierzchołka A na bok BC.
11.
Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny ABC jest styczny do przeciwprostokątnej w
punkcie K . Wiadomo, że AK  4 KB  6 j. Oblicz promień tego okręgu.
12.
Maszt telekomunikacyjny rzuca cień, który jest 2 razy krótszy niż wysokość masztu.
Oblicz cosinus kąta, pod jakim padają promienie słoneczne.
13.
Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego jest dłuższa od jednej przyprostokątnej o 1
cm i od drugiej przyprostokątnej o 32 cm. Oblicz długości boków tego trójkąta.
14.
Uzasadnij, że przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego jest średnicą okręgu na nim
opisanego.
15.
Kąt CAB trójkąta prostokątnego ACB ma miarę 300. Pole kwadratu DEFG, wpisanego
w ten trójkąt (zobacz rysunek), jest równe 4. Oblicz pole trójkąta ACB.
str. 65
16.
Na trójkącie o bokach
17.
W trójkącie prostokątnym, w którym przyprostokątne mają długości 2 i 4, jeden z
kątów ostrych ma miarę  . Oblicz sin   cos.
18.
Na zewnętrz trójkąta prostokątnego ABC, w którym  ACB  900 oraz
7 ; 8 ; 15 opisano okrąg. Oblicz promień tego okręgu.
AC  5, BC  12 zbudowano kwadrat ACDE (zobacz rysunek). Punkt H leży na
prostej AB i kąt  EHA  90 0 . Oblicz pole trójkąta HAE.
19.
Punkt D leży na boku BC trójkąta równoramiennego ABC, w którym AC  BC .
Odcinek AD dzieli trójkąt ABC na dwa trójkąty równoramienne w taki sposób, że
AD  CD oraz AB  BD (zobacz rysunek). Udowodnij, że  ADC  5   ACD .
20.
Dany jest trójkąt ABC, w którym |𝐴𝐶| > |𝐵𝐶|. Na bokach AC i BC tego trójkąta
obrano odpowiednio takie punkty D i E, że zachodzi równość |𝐶𝐷| = |𝐶𝐸|. Proste AB
i DE przecinają się w punkcie F (zobacz rysunek). Wykaż, że
|< 𝐵𝐴𝐶| = |< 𝐴𝐵𝐶| − 2 ∙ |< 𝐴𝐹𝐷|.
21.
Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych AC, BC, takich, że |𝐴𝐶| =
6; |𝐵𝐶| = 8. Okrąg o środku C i promieniu 𝑟 = |𝐴𝐶| przecina przeciwprostokątną AB
w punkcie P. Wyznacz długość odcinka BP
22.
Trójkąt ostrokątny ABC jest wpisany w okrąg o środku O i promieniu 4. Kąt CAB jest
równy kątowi OCB oraz kąt CBA jest równy kątowi OCA. Oblicz długość wysokości
CD opuszczonej z wierzchołka C na bok AB.
str. 66
23.
Punkty A, B, C, D są położone w tej kolejności na okręgu o środku O (zobacz
rysunek). Odcinek DB jest średnicą tego okręgu i BAC   , CBD   . Wykaż,
że     90 .
24.
Parami różne punkty A, B, C, D, E leżą na okręgu. Odcinki DE i AC są równoległe,
zaś odcinek BD jest średnicą tego okręgu (zobacz rysunek). Wykaż, że prosta BE
zawiera wysokość trójkąta ABC opuszczoną na bok AC .
25.
Pole trójkąta ABC równe jest S. Każdy bok trójkąta podzielono w stosunku x : y : x,
gdzie x i y są pewnymi liczbami dodatnimi. Wyznacz pole sześciokąta, którego
wierzchołkami są punkty podziałów boków trójkąta (zobacz rysunek).
26.
Odcinki AD i BE przecinają się w punkcie C . W trójkątach ABC i CDE zachodzą
związki: CAB  CED , AC  5 , BC  3 , CE  10 (zobacz rysunek). Wykaż,
że trójkąty ABC i CDE są podobne. Oblicz długość boku CD .
str. 67
27.
Dany jest trójkąt prostokątny ABC, w którym przyprostokątna AC ma długość 12.
Punkt E jest środkiem przeciwprostokątnej AB, spodek D wysokości CD leży między
punktami A i E, a odległość między punktami D i E jest równa 1 (zobacz rysunek).
Oblicz obwód tego trójkąta.
28.
W trójkącie ABC o bokach długości AC  b , BC  a i kącie między nimi 60
poprowadzono dwusieczną kąta ACB, która przecięła bok AB w punkcie D. Zapisz
długość odcinka CD w zależności od a i b.
29.
W trójkącie ABC punkt D jest środkiem boku AB oraz CD  CB (zobacz rysunek).
Bok CB przedłużono tak, że CB  BE . Wykaż, że AC  DE .
C
A
D
B
E
30.
31.
32.
W trójkącie prostokątnym ABC kąt przy wierzchołku A jest prosty oraz
1
sin  ABC   . Oblicz tg  ABC  .
3
Na mapie turystycznej w skali 1 : 25 000 zaznaczono stacje kolejki górskiej A i B.
Odległość między nimi jest równa 8 cm. Turysta po dojściu do stacji A zauważył, że
stację B na szczycie góry widać pod kątem 30°. Wiadomo, że kolejka porusza się z
prędkością 10 km/h. Oblicz czas podróży kolejką ze stacji A do stacji B. Podaj wynik
w minutach.
Z punktu A poprowadzone styczne AQ i AP do okręgu. Przez punkt R na okręgu
poprowadzono styczną do okręgu przecinającą styczne AQ i AP w punktach B i C
(zobacz na rysunku).
Wiedząc, że |AP| = a, uzasadnij, że obwód trójkąta ABC jest równy 2a.
str. 68
33.
Liczby a, b, c są długościami boków trójkąta. Pokazać, że a 2  b 2  c 2  2b  c  .
2
34.
Dany jest trójkąt prostokątny ABC, gdzie  ACB = 90°, o długościach boków a = 3,
b = 4, c = 5. Na przeciwprostokątnej obrano punkt F. W trójkąt wpisano prostokąt
w ten sposób, że dwa jego boki leżą na przyprostokątnych, a wierzchołkami są punkty
C i F. Wyznacz wymiary prostokąta o największym polu.
35.
Dany jest kwadrat o boku a = 6. W ten kwadrat wpisano trójkąt równoboczny w ten
sposób, że jeden wierzchołek trójkąta jest wierzchołkiem kwadratu, a przeciwległy
bok trójkąta jest równoległy do przekątnej kwadratu (patrz rysunek). Wykaż, że bok
trójkąta jest równy: 6 6  2 .


36.
Jeden z kątów trójkąta jest trzy razy większy od mniejszego z dwóch pozostałych
kątów, które różnią się o 500. Oblicz kąty tego trójkąta.
37.
Dany jest trójkąt równoboczny o boku a = 12. W ten trójkąt wpisano kwadrat w ten
sposób, że jeden bok kwadratu jest zawarty boku trójkąta, a dwa wierzchołki należą do
pozostałych boków trójkąta. Wyznacz długość boku kwadratu.
38.
Dany jest trójkąt ABC o wysokości CD. Wiadomo, że BC  10, AB  12 i pole
trójkąta jest równe P  36. Wyznacz długość boku AC.
39.
Rozważamy wszystkie trójkąty, których dwa boki mają długość 5 i 10. Wykaż, że –
spośród takich trójkątów – trójkąt o największym polu ma trzeci bok długości 5 5.
(profil rozszerzony)
1
ab dwa boki mają długość a i b. Znajdź długość trzeciego boku.
4
1.
W trójkącie o polu
2.
W trójkącie ABC są dane: AC  10; BC  10 2. Promień okręgu opisanego na tym
trójkącie ma długość: R = 10. Oblicz miarę kąta ACB.
3.
Boki trójkąta ABC są równe a, b, c. Oblicz długość środkowej poprowadzonej z
wierzchołka A do boku a.
4.
5.
3
Dany jest trójkąt o bokach długości 1; ;2. Oblicz cosinus i sinus kąta leżącego
2
naprzeciw najkrótszego boku tego trójkąta.
W trójkącie prostokątnym ABC przyprostokątne mają długości: BC = 9 , CA = 12 .
Na boku AB wybrano punkt D tak, że odcinki BC i CD mają równe długości. Oblicz
długość odcinka AD .
str. 69
6.
Obiekty A i B leżą po dwóch stronach jeziora. W terenie dokonano pomiarów
odpowiednich kątów i ich wyniki przedstawiono na rysunku. Odległość między
obiektami B i C jest równa 400 m. Oblicz odległość w linii prostej między obiektami
A i B i podaj wynik, zaokrąglając go do jednego metra
7.
Podstawa AB trójkąta równoramiennego ABC ma długość 8 oraz <BAC = 30° . Oblicz
długość środkowej AD tego trójkąta.
8.
Dany jest prostokąt ABCD, w którym AB  a, BC  b  a  b. Odcinek AE jest
wysokością trójkąta DAB opuszczoną na jego bok BD. Wyraź pole trójkąta AED za
pomocą a i b.
9.
Bok kwadratu ABCD ma długość 1. Na bokach BC i CD wybrano odpowiednio
punkty E i F umieszczone tak, by |CE |= 2 DF . Oblicz wartość x = | DF | , dla której
pole trójkąta AEF jest najmniejsze.
10. W czworokącie ABCD dane są długości boków: AB = 24 , CD =15 , AD = 7 . Ponadto
kąty DAB oraz BCD są proste. Oblicz pole tego czworokąta oraz długości jego
przekątnych.
11. Dwa okręgi o środkach A i B są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest jednocześnie
styczny do ramion tego samego kąta prostego (patrz rysunek). Udowodnij, że stosunek
promienia większego z tych okręgów do promienia mniejszego jest równy 3  2 2.
12. Na bokach BC i CD równoległoboku ABCD zbudowano kwadraty CDEF i BCGH
(zobacz rysunek). Udowodnij, że AC = FG .
E
F
str. 70
D
C
G
A
B
H
13. Dany jest czworokąt wypukły ABCD niebędący równoległobokiem. Punkty M, N są
odpowiednio środkami boków AB i CD. Punkty P, Q są odpowiednio środkami
przekątnych AC i BD. Uzasadnij, że MQ PN .
14. Trapez równoramienny ABCD o podstawach AB i CD jest opisany na okręgu o
promieniu r. Wykaż, że 4r 2  AB  CD .
15. W trójkącie ABC kąt przy wierzchołku B jest ostry, długość promienia okręgu
opisanego na tym trójkącie jest równa 5 oraz AC  6, AB  10. Na boku BC wybrano
taki punkt K, że BK  2. Oblicz długość odcinka AK.
16. Kąty w trójkącie mają miary: α; 2α; 4α. Wykaż, że długości boków a, b, c tego
1
1
1
trójkąta spełniają równość: 𝑎 − 𝑏 − 𝑐 = 0
17. Trójkąt ABC jest wpisany w okrąg o środku S. Kąty wewnętrzne CAB, ABC i BCA
tego trójkąta są równe, odpowiednio, α; 2α; 4α Wykaż, że trójkąt ABC jest
rozwartokątny, i udowodnij, że miary wypukłych kątów środkowych ASB, ASC i BSC
tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny.
18. Punkty M i L leżą odpowiednio na bokach AB i AC trójkąta ABC, przy czym zachodzą
równości: MB  2  AM oraz LC  3  AL . Punkt S jest punktem przecięcia
odcinków BL i CM. Punkt K jest punktem przecięcia prostej AS z odcinkiem BC
(zobacz rysunek).
Pole trójkąta ABC jest równe 600. Oblicz pola trójkątów: AMS, ALS, BMS i CLS.
str. 71
19. Dany jest trójkąt ABC i prosta k styczna w punkcie A do okręgu opisanego na tym
trójkącie. Prosta BC przecina prostą k w punkcie P. Długości odcinków AC, BC, PB
zostały podane na rysunku.
Oblicz długość odcinka AB. Zakoduj cyfrę jedności i dwie pierwsze cyfry po
przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
20. Dany jest trójkąt równoboczny ABC. Na boku AB obrano punkt D dzielący bok AB w
stosunku 3 : 2. Wyznacz sinus kąta ACD.
21. Dany jest trójkąt ABC, w którym |AB| = 8, |AC| = 6 i |BC| = 4. Wykaż, że miara kąta
BAC jest mniejsza niż 30°.
22. Oblicz sinus najmniejszego kąta trójkąta o bokach: a = 8, b = 10, c = 12. Zakoduj
trzy początkowe cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
23. Dany jest trójkąt równoboczny ABC, w którym punkt D jest środkiem boku AB. Przez
punkt D poprowadzono prostą pod kątem do boku AB, która przecięła bok BC w
1
punkcie E takim, że pole trójkąta BDE jest równe pola trójkąta ABC. Wykaż, że
8
0
  30 .
24. Trójkąt o boku a i kącie ostrym  , leżącym naprzeciw tego boku, jest wpisany w
okrąg o promieniu R, zaś trójkąt o boku a  1 i kącie ostrym  , leżącym naprzeciw
tego boku, jest wpisany w okrąg o promieniu R  1 .Wyznacz miarę kąta  .
5
. Oblicz stosunek
3
promienia okręgu opisanego na trójkącie ABC do promienia okręgu wpisanego w ten
trójkąt.
25. W trójkącie ABC są dane AB  8 , BC  6 oraz sin ABC 
26. W trójkąt równoramienny ABC wpisano kwadrat w taki sposób, że bok DE kwadratu
zawiera się w podstawie AB trójkąta, a wierzchołki F i G kwadratu leżą odpowiednio
na ramionach BC i AC trójkąta (zobacz rysunek).
Pole trójkąta CFG jest równe sumie pól trójkątów ADG i BEF. Oblicz sinus kąta
str. 72
ostrego, pod jakim przecinają się odcinki DF i BG.
27. W trapez prostokątny ABCD wpisano okrąg o środku O, który
w punkcie P jest styczny do dłuższego ramienia BC tego trapezu (zobacz rysunek).

Wykaż, że jeżeli BP  p i CP  q , to obwód trapezu jest równy 2

2
p q .
28. Na podstawie AB trapezu ABCD ( AB  CD ) wyznaczono taki punkt E, że czworokąt
AECD jest równoległobokiem. Przekątna BD przecina odcinki CA i CE odpowiednio
AB 1 5
w punktach F i G. Odcinki DG i BF są równej długości. Uzasadnij, że
.

CD
2
29. Na boku AB trójkąta ABC obrano punkty D i E takie, że AD  EB 
1
AB (zobacz
4
rysunek).
2
2
2
2
Udowodnij, że: AC  2 CE  BC  2 CD .
30. Dany jest trójkąt ABC, w którym odcinek BD jest środkową, punkt E – jej środkiem.
Przez punkt E i wierzchołek A poprowadzono prostą, która przecięła bok BC w
2
punkcie F. Wykaż, że CF  BC .
3
31. Bok AB jest podstawą trójkąta równoramiennego ABC. Środkowe AE i BF przecinają
się pod kątem prostym. Oblicz cos  , gdzie    ACB .
str. 73