Relacje równoważności

Ewa Wojciechowska
Temat: Relacja równoważności, klasy abstrakcji relacji równoważności, relacje porządku.
Iloczynem kartezjańskim zbiorów A i B nazywamy zbór wszystkich par uporządkowanych o
poprzednikach należących do A i następnikach należących do B.
AxB={(a,b): a∈A i b∈B}
Relacje równoważności
Relacją nazywamy każdy podzbiór iloczynu kartezjańskiego(w zbiorze XxY)
Rodzaje relacji:


Relacja zwrotna
∀x∈X xϱx
Relacja symetryczna
∀x,y∈X (xϱy ⇒ yϱx)

Relacja przechodnia
∀x,y,z∈X [(xϱy ∧ yϱz) ⇒ xϱz]

Relacja przeciwzwrotna
∀x∈X ~xϱx ⇔ ∀x∈X (x,x)∉ϱ

Relacja przeciwsymetryczna
∀x,y∈X (xϱy ⇒ ~yϱx)

Relacja antysymetryczna
∀x,y∈X [(xϱy ∧ yϱx) ⇒ x=y]

Relacja spójna
∀x,y∈X (xϱy ∨ yϱx)
Relację ϱ∈XxX nazywamy relacją równoważności, jeśli jest zwrotna, symetryczna i przechodnia.
Przykład 1
1. Proste równoległe są relacją równoważności, natomiast proste prostopadłe nie są relacją
równoważności.
2. W zbiorze wszystkich samolotów istnieje relacja równoważności: dwa samoloty są
równoważne, gdy mogą przewieźć tę samą liczbę pasażerów.
Klasy abstrakcji
Zasada abstrakcji
Relacja równoważności określona w zbiorze X ustala podział tego zbioru na podzbiory niepuste i
parami rozłączne zwane klasami abstrakcji tej relacji w taki sposób, że dwa elementy x,y∈X należy do
tego samego zbioru wtedy i tylko wtedy, gdy są sobie równoważne.
1
Klasy abstrakcji
Jeśli ρ jest relacją równoważności w zbiorze X, to przyjmujemy oznaczenie
[x] = {y ∈ X : xρy}.
O zbiorze [x] mówimy: klasa abstrakcji lub klasa równoważności
elementu x, ze względu na relację ρ. O elemencie x mówimy, że jest
reprezentantem klasy [x].
Zbiór wszystkich klas abstrakcji w zbiorze X oznaczamy [X]
Własności klas abstrakcji
Niech ∼ będzie relacją równoważności w X oraz [x], [y] klasami abstrakcji
elementów x i y wyznaczonymi przez relację ∼. Wówczas
1. x ∈ [x],
2.[x] = [y] ⇔ xρy,
3.jeżeli [x] ≠ [y], to [x] ∩ [y] = ∅.
Relacje porządku
Relację , która jest zwrotna, antysymetryczna i przechodnia, nazywamy relacją porządkującą.
Relację porządkującą oznaczamy zazwyczaj symbolem ≼. Relację R ⊂ X × X nazywamy relacją
porządku (częściowego porządku), jeśli jest ona:
1. Zwrotna
∀x∈X x≼x
2. Słabo antysymetryczna
∀x,y∈X x≼y ∧ y≼x ⇒x=y
3. Przechodnia
∀x,y,z∈X x≼y ∧ y≼z ⇒x≼z
Parę (X,≼) nazywamy zbiorem częściowo uporządkowanym lub po prostu zbiorem
uporządkowanym .
Jeśli dodatkowo zachodzi:
4. Spójna
∀x,y∈X x≼y ∨ y≼x ∨ x=y
to relację nazywamy porządkiem liniowym, a parę (X,≼) zbiorem uporządkowanym liniowo.
Niech (X,≼) będzie zbiorem liniowo uporządkowanym. Porządek ≼ jest dobry, jeśli w każdym
niepustym zbiorze A⊆X istnieje element najmniejszy.
Przykład 2
1. Zbór liczb rzeczywistych z relacja ≤ jest liniowo uporządkowany.
2. Relacja określona w zbiorze liter{a,…,z} w taki sposób, że x1≤x2 wtedy i tylko wtedy ,gdy
litera x1 poprzedza w alfabecie literę x2 albo x1=x2, jest relacją porządku liniowego.
3.
Liczby 1,…100 ze standardowym porządkiem są porządkiem dobrym
4.
Zbiór liczb naturalnych N ze standardowym porządkiem są porządkiem dobrym.
2
Element a∈Y nazywamy elementem najmniejszym zbioru Y, jeśli ∀y∈Y a ≼ y.
Element a∈Y nazywamy elementem minimalnym zbioru Y, jeśli ∀y∈Y (y≼a) ⇒ (y=a).
Element a∈Y nazywamy elementem największym zbioru Y, jeśli ∀y∈Y y≼a.
Element a∈Y nazywamy elementem maksymalnym zbioru Y, jeśli ∀y∈Y (a≼y) ⇒ (y=a).
Przykład 3
1. Zbiory Z, Q, R uporządkowane przez ≼ nie mają elementu minimalnego. W zbiorze N
istnieje element najmniejszy 1.
2. W zbiorze N uporządkowanym przez relację podzielności istnieje element najmniejszy 1.
W N \ {1} nie ma elementu najmniejszego; elementem minimalnym jest każda liczba
pierwsza.
3