Rozdział 4. Sumy i iloczyny uogólnione zbiorów

Przedmowa
Rozdział 1. Algebra zbiorów
1. Pojęcie zbioru
2. Suma zbiorów
3. Iloczyn zbiorów. Prawa absorbcji i rozdzielczości
4. Różnica zbiorów. Związki pomiędzy różnicą i działaniami dodawania i mnożenia zbiorów
5. Przestrzeń. Dopełnienie zbioru
6*. Aksjomaty algebry zbiorów
7*. Ciała zbiorów
8. Funkcje zdaniowe jednej zmiennej
9*. Wzmianka o aksjomatach teorii mnogości
10*. Uwagi o potrzebie aksjomatycznego ujęcia teorii mnogości i o teoriach aksjomatycznych.
Rozdział 2. Liczby naturalne. Dowody indukcyjne
1(*). Aksjomatyczne ujęcie liczb naturalnych. Zasada indukcji
2. Przykłady dowodów indukcyjnych
Rozdział 3. Funkcje
1. Pojęcie funkcji
2. Funkcje różnowartościowe. Funkcja odwrotna
3. Superpozycja funkcji
4*. Grupy przekształceń
Rozdział 4. Sumy i iloczyny uogólnione zbiorów
1. Pojęcie sum i iloczynów uogólnionych
2. Własności sum i iloczynów uogólnionych zbiorów
Rozdział 5. Produkty kartezjańskie zbiorów. Relacje. Funkcje jako relacje
1. Produkty kartezjańskie
2. Relacje dwuczłonowe
3. Funkcje zdaniowe dwóch zmiennych
4. Relacje zwrotne, przeciwzwrotne, symetryczne, przeciwsymetryczne, antysymetryczne, przechodnie
5. Funkcje jako relacje
Rozdział 6. Produkty uogólnione. Relacje wieloczłonowe. Funkcje wielu zmiennych. Obrazy i przeciwobrazy
wyznaczone przez funkcję
1. Produkty uogólnione
2. Relacje m-członowe
3. Funkcje zdaniowe m zmiennych
1
4. Funkcje wielu zmiennych
5. Obrazy i przeciwobrazy wyznaczone przez funkcje
Rozdział 7. Relacje równoważności
1. Definicja relacji równoważności. Zasada abstrakcji
2*. Zastosowanie zasady abstrakcji do konstrukcji liczb całkowitych
3*. Zastosowanie zasady abstrakcji do konstrukcji liczb wymiernych
4*. Wzmianka o teorii Cantora liczb rzeczywistych
Rozdział 8. Moce zbiorów
1. Zbiory równoliczne. Moc zbioru
2. Zbiory przeliczane
3. Przykłady zbiorów nieprzeliczalnych
4*. Nierówności dla liczb kardynalnych. Twierdzenie Cantora-Bernsteina
5*. Zbiory mocy continuum
6*. Zbiór potęgowy. Twierdzenie Cantora. Wnioski z twierdzenia Cantora
Rozdział 9. Zbiory uporządkowane
1. Relacje porządkujące
2. Elementy maksymalne i minimalne
3*. Podzbiory zbiorów uporządkowanych. Lemat Kuratowskiego-Zorna
4*. Informacja o kratach
5*. Relacje quasi-porządkujące
6*. Informacja o zbiorach skierowanych
2
Rozdział 10. Zbiory liniowe uporządkowane
1. Relacje liniowo porządkujące
2. Podobieństwo (izomorfizm) zbiorów liniowo uporządkowanych
3*. Uporządkowanie liniowe gęste
4*. Uporządkowanie liniowe ciągłe
Rozdział 11*. Zbiory dobrze uporządkowane
1. Relacje dobrze porządkujące. Liczby porządkowe
2. Porównywanie liczb porządkowych
3. Zbiory liczb porządkowych
4. Moce liczb porządkowych. Liczba kardynalna Ŕ (m)
5. Twierdzenie o indukcji pozaskończonej. Ciągi pozaskończone
6. Twierdzenie o definiowaniu przez indukcję pozaskończoną
7. Twierdzenie Zemelo o możliwości dobrego uporządkowania każdego zbioru. Uwagi o akasjomacie
wyboru
8. Dowód lematu Kuratowskiego-Zorna
9. Hipoteza continuum
Rozdział 12. Rachunek zdań i jego zastosowanie do dowodów matematycznych
1. Wiadomości wstępne
2(*). Funktatory zdaniotwórcze
3(*). Pojęcie prawa rachunku zdań
4(*). Pojęcie reguł dowodzenia. Reguła odrywania
5(*). Równoważność zdań i równoważność funkcji zdaniowych
6. Reguły odrywania dla równoważności
7. Kwadrat logiczny
8. Reguły sylogizmu warunkowego
9. Reguły dowodzenia z koniunkcją i alternatywą
10*. Reguły symplifikacji, Fregego, Dunsa Scotusa i Claviusa
11. Dowody apagogiczne
12. Ważniejsze prawa rachunku zdań i ich zastosowania
13*. Ujęcie aksjomatyczne rachunku zdań
Rozdział 13. Elementy rachunku funkcyjnego i jego zastosowanie do dowodów matematycznych
1. Kwantyfikatory i funkcje zdaniowe jednej zmiennej
2. Kwantyfikatory o zakresie ograniczonym przez funkcję zdaniową
3. Kwantyfikatory i funkcje zdaniowe m zmiennych
4. Prawa rachunku funkcyjnego
5. Prawa włączania i wyłączania dla kwantyfikatorów
6. Prawa dotyczące rozdzielności kwantyfikatorów
7. Prawa przemianowywania i prawa przedstawiania kwantyfikatorów
8. Reguły dowodzenia
9. Kwantyfikatory a sumy i iloczyny uogólnione zbiorów
10. Przykłady zastosowań rachunku funkcyjnego w dowodach matematycznych
11*.Wzmianka o sformalizowanych teoriach matematycznych
Rozdział 14*. Elementarne pojęcia algebry abstrakcyjnej
1. Algebry abstrakcyjne
2. Podalgebry. Zbiory generatorów
3. Algebry podobne. Homomorfizmy. Izomorfizmy
4. Kongruencje. Algebry ilorazowe
5. Produktowanie algebr
6. Funkcje algebraiczne
7. Klasy algebr definiowalne równościowo
8. Algebry wolne
9. Konstrukcja algebr wolnych dla pewnych klas algebr
Skorowidz symboli
Skorowidz nazw
Skorowidz nazwisk
∗ - rozdziały lub paragrafy oraz dowody niektórych twierdzeń wykraczające poza program obowiązujący
studentów I roku matematyki
(∗) – tylko pewne części tego paragrafu wykraczają poza program obowiązujący studentów I roku matematyki
3