Krok 1

Wykład 27
Macierz odwrotna.
Przy rozwiązywaniu równań często wykorzystuje się pojęcie liczby odwrotnej. W zbiorze
liczb rzeczywistych dla każdej niezerowej liczby rzeczywistej a można znaleźć liczbę
odwrotną a-1, to znaczy liczbę taką, że aa-1 = 1. Przez analogię wprowadzono pojęcie
macierzy odwrotnej.
Definicja 27.1
Macierzą odwrotną do macierzy A nazywamy macierz A-1 taką, że
AA-1 = A-1A = I
Niestety, w przeciwieństwie do liczb rzeczywistych, nie dla każdej macierzy niezerowej
istnieje macierz odwrotna. Aby dla macierzy A istniała macierz odwrotna muszą być
spełnione następujące warunki:
1. Macierz A musi być kwadratowa.
2. Rząd macierzy A musi być równy jej wymiarowi, tzn. r(Ann) = n.
O macierzy spełniającej powyższe warunki mówimy, że jest nieosobliwa.
O macierzy kwadratowej, której rząd jest mniejszy niż wymiar, mówimy że jest osobliwa.
Przykład 27.1
 2  3
Sprawdzić, że macierz 
 jest macierzą odwrotną do A =
 3 5 
5 3
3 2  .


Istnieje kilka sposobów wyznaczania macierzy odwrotnej. Poznamy tu sposób podobny do
metody rozwiązywania układów równań liniowych przy pomocy macierzy rozszerzonej. Jest
on wygodny, gdyż nie wymaga obliczania wyznacznika ani rzędu macierzy i można go
stosować do macierzy kwadratowej dowolnego stopnia.
Aby wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy Ann postępujemy według następującego
schematu:
Krok 1
Tworzymy macierz rozszerzoną [AnnIn], gdzie In jest macierzą jednostkową stopnia n.
Krok 2
Stosując wyłącznie następujące operacje elementarne na wierszach macierzy rozszerzonej:
a) mnożenie wiersza przez liczbę,
b) dodawanie do wiersza kombinacji liniowej innych wierszy,
1
doprowadzamy macierz rozszerzoną do postaci zredukowanej [In  Ann-1],
Jeśli w odpowiadającej macierzy A części macierzy rozszerzonej otrzymamy wiersz
zerowy, to rząd macierzy A jest mniejszy niż wymiar (A jest osobliwa) i macierz A-1 nie
istnieje.
W przeciwnym wypadku krok drugi doprowadza do powstania macierzy [InA-1].
Przykład 27.2
Znaleźć macierze odwrotne do macierzy:
2  1
1

6
0  , b)
a) 2


  4  4 9 
1 2  1
2 6 0 


1 0  3
Rozwiązanie.
a)
Krok 1
Tworzymy macierz rozszerzoną
2  1 1 0 0
1


6
0 0 1 0
2
  4  4 9 0 0 1
Krok 2
Ponieważ a11 = 1, nie musimy dzielić pierwszego wiersza przez a11.
Aby uzyskać zera w pozostałych elementach pierwszej kolumny, do wiersza drugiego
dodajemy wiersz pierwszy pomnożony przez –2, następnie do wiersza trzeciego dodajemy
wiersz pierwszy pomnożony przez 4.
Otrzymujemy:
1 2  1 1 0 0 


 0 2 2  2 1 0
0 4 5
4 0 1
W wierszu drugim musimy otrzymać 1 na miejscu a22, zatem dzielimy wiersz drugi przez 2
2
1 2  1

0 1 1
0 4 5
0

 1 1 / 2 0
4
0 1
1
0
Aby uzyskać zera w pozostałych elementach drugiej kolumny, do wiersza pierwszego
dodajemy wiersz drugi pomnożony przez –2, następnie do wiersza trzeciego dodajemy wiersz
drugi pomnożony przez –4.
1 0  3

0 1 1
0 0 1
1
0

 1 1 / 2 0
8  2 1
3
Ponieważ a33 = 1, nie musimy dzielić trzeciego wiersza przez a33. Aby uzyskać zera w
pozostałych elementach trzeciej kolumny, do wiersza pierwszego dodajemy wiersz trzeci
pomnożony przez 3, następnie do wiersza drugiego dodajemy wiersz trzeci pomnożony przez
–1.
1 0 0

0 1 0
0 0 1
7
3

 9 5 / 2  1
8  2 1 
27
Ponieważ po lewej stronie w macierzy rozszerzonej otrzymaliśmy macierz jednostkową,
zatem
 27  7 3 
A =  9 5 / 2  1


 8  2 1 
Należy sprawdzić, czy A A-1 = A-1  A = I.
-1
b)
Krok 1
Tworzymy macierz rozszerzoną
1 2  1

2 6 0
1 0  3
1 0 0

0 1 0
0 0 1
3
Krok 2
Do drugiego wiersza dodajemy pierwszy pomnożony przez –2, następnie do trzeciego wiersza
dodajemy pierwszy pomnożony przez –1.
1 2  1

2
0 2
0  2  2
0 0

 2 1 0
 1 0 1
1
Gdy dodamy wiersz drugi do trzeciego, to otrzymamy
1 2  1

0 2 2
0 0 0
0 0

 2 1 0
 3 1 1
1
Ostatni wiersz lewej części macierzy rozszerzonej jest zerowy, zatem badana macierz jest
osobliwa. Macierz odwrotna do niej nie istnieje.
4