Struktury danych

Struktury danych
1. Dynamiczne struktury danych
Zmienna dynamiczna jest to zmienna, która pojawia się (i znika) wtedy gdy jest
potrzebna (lub nie jest) podczas wykonywania się programu. Zwykłe zmienne statyczne, istnieją przez cały czas wykonywania się programu. Odwołania do zmiennych dynamicznych odbywają się poprzez wskazy1 , a nie przez nazwy definiowane
przez użytkownika, jak to ma miejsce w przypadku zwykłych zmiennych statycznych.
W skazy. Sytuację tę możemy graficznie przedstawić tak jak pokazano niżej.
z
w −→
Wskaz ’w’ (pointer) pokazuje jakąś wielkość ’z’, której wartość umieszczona jest w jakimś miejscu pamięci komputera (reprezentowanym na rysunku przez prostokąt).
Jak zadeklarować zmienną dynamiczną? Można dokonać tego przez zgłoszenie,
zdefiniowanie typu ( patrz diagram poniżej).
-->( type )-->[ Nazwa typu ]-->( = )-->( ^ )-->[ Typ bazowy ]-->( ; )-->
Przykład.
type intwskaz=\^{~}integer;\\
var iw: intwskaz;
W ten sposób iw jest zmienną wskazującą wielkości typu integer. Wartość
zmiennej wskazanej przez iw jest zadana przez iw^.
5
iw −→
iw^=5. W przedstawionej sytuacji wartość zmiennej pokazywanej przez iw jest
równa 5 (to zawartość obszaru wskazywanego przez iw).
Przykład. Innym przykładem jest zmienna wk typu wrek zdefiniowana następująco:
type wrek=^kalendarz
kalendarz=record
miesiac: (Sty,Lut,Mar,Kwi,Maj,Cze,Lip,Sie,Wrz,Paz,Lis,Gru);
dzien : 1..31
1 Czasami używa się też nazwy wskaźniki co może się mylić ze wskaźnikami tablic lub nazwy
angielskiej pointers.
1
end;
var
wk: wrek;
Zmienna wk jest wskazem do zmiennej o dwóch polach skalarnych: miesiac i
dzien.
wk −→ Gru | 28
Pola rekordu zawierającego fragment kalendarza są dostępne poprzez następujące wielkości
wk^.miesiac
wk^.dzien
Istnieją dwie procedury Turbo Pascala, które tworzą lub usuwają (niszczą) zmienne
dynamiczne. Są to
new(p)
oraz
dispose(p)
Wywołanie procedury new(p) powoduje nadanie wartości wskazowi p oraz
utworzenie zmiennej wskazywanej przez p. Wywołanie podprogramu dispose(p)
powoduje zwolnienie pamięci zarezerwowanej dla zmiennej wskazywanej przez p
oraz "wyzerowanie"p: p=nil. Wielkość nil jest słowem zarezerwowanym języka
Pascal i oznacza ńic". Zmienna o wartości nil nic nie pokazuje.
Wskazy mogą pokazywać złożone struktury danych Pascala. Mogą to
być np. drzewa binarne (patrz dalej).
A
/\
/ \
/
/
B
/\
/ \
/
C
\
\
E
/\
/ \
\
/
\
D F
G
/ /\
I J K
/
\
Drzewo binarne
type
wskaz=^wezel;
wezel=record
lewywskaz : wskaz;
nazwa
: char
prawywskaz: wskaz;
end;
var p, root: wskaz;
2
Każdy węzeł zawiera trzy pola: dwa wskazania do innych węzłów,
lewego i prawego (lewywskaz, prawywskaz) oraz "wartość", nazwa, którą
jest pojedynczy znak. Chcę zwrócić uwagę, że nie deklarujemy zmiennych
typu wezel lecz wskazy! do zmiennych tego typu. Są to wskazy p oraz
root.
Chcąc utworzyć drzewo o jednym węźle napiszemy
new(root);
{ rezerwacja miejsca + nadanie wartości
zmiennej root }
{ definicja pola nazwy węzła }
{ brak węzła z lewej strony }
{ brak węzła z prawej strony }
root^.nazwa:=’a’;
root^.lewywskaz:=nil;
root^.prawywskaz:=nil;
Schematycznie ygląda to następująco:
root −→ nil | a | nil
Jeśli chcemy by któryś ze wskazów pokazywał inny węzeł, tak jak np.
tutaj
root −→ nil | a | *
−→ nil | b | nil
to możemy to zapisać tak
new(p);
root^.prawywskaz:=p;
{ rezerwacja miejsca + nadanie wartości
zmiennej p }
{ prawy wskaz pokazuje nowy węzeł }
p^.nazwa:=’b’;
p^.lewywskaz:=nil;
p^.prawywskaz:=;
{ definicja pola nazwy węzła }
{ brak węzła z lewej strony }
{ brak węzła z prawej strony }
Jeśli teraz chcielibyśmy usunąć utworzony właśnie węzeł, zapiszemy:
root^.prawywskaz:=nil;
dispose(p)
{ usuwa zarezerwowaną wcześniej przestrzeń
zajmowaną przez zmienną wskazywaną przez p }
L isty jednostronne. Przykładem zastosowania rekordów i wskazów jest
jednostronna lista połączona. Jest to struktura, której węzły zawierają
dane i pokazują następne elementy listy.
-nagłówek-
−→ dane|
−→ dane|
−→ . . . −→ dane|
−→
Włączanie nowych elementów do listy jednostronnej. Załóżmy, że mamy następującą
listę.
5|
−→ 10|
−→ 15|
−→
Jeśli między dwa elementy, np. [10| ], [15| ] tej listy, chcemy wprowadzić
element [12| ] wystarczy zarezerwować miejsce w pamięci na element
3
[12| ]. W elemencie [12| ] wstawić wartość wskazu do elementu [15| ]
i następnie wstawić wartość wskazu do elementu [12| ] w elemencie [10| ].
Przykładem konkretnej realizacji może być terminarz spotkań, który
zawiera godzinę, nazwisko osoby oraz wskażuje następne spotkanie. Wykonanie
terminarza przy użyciu tablic nie byłoby tak proste jak to z użyciem
list.
Napiszemy program, który definiuje listę spotkań.
Przykład.
type
wsk=^spotkania;
spotkania=record
dane=record
osoba: array[1..20] of char;
godzina: 0..23;
minuta: 0..59
end;
nastepny: wsk
{ wskaz do następnego spotkania }
end;
var
naglowek: wsk;
Zadanie 1. Organizator spotkań
3
Napisz program, organizator spotkań, który pozwala założyć
i modyfikować listę spotkań (wstawiać, usuwać). Elementami
listy niech będą godzina, minuta, osoba (nazwisko) i miejsca
spotkania (adres).
[Spis ]
M acierze kwadratowe. Duże macierze kwadratowe, np. macierz o wymiarach
5000×5000, czyli zawierająca 25000000 elementów, stwarzają duży problem
numeryczny. Jak zorganizować dane i program, który musi nimi operować?
Jednym z możliwych rozwiązań jest następujące. Można wczytywać z pliku
jeden wiersz macierzy i mieć szybki dostęp do 5000 elementów na raz.
Co jednak zrobić gdy potrzebne są dwa lub więcej wierszy na raz? Tak
jest np. w przypadku mnożenia macierzy.
Zadanie 2. Złożoność
2
Napisz program, który czyta plik z tablicą liczb rzeczywistych
o wymiarach 1000 × 1000. Oceń stopień złożoności programu.
Znajdż czas obliczania sumy elementów takiej tablicy. [Spis ]
Zadanie 3. Wyznacznik
2
Policz wyznacznik tablicy 1000 × 1000 złożonej z liczb losowych
z przedziału <0,1> wygenerowanych przez funkcje rand() Turbo
Pascala.
[Spis ]
Literatura: Cormen Leiserson, Rievest, ...
Do dynamicznych struktur danych należą stosy, kolejki, drzewa itp.
Jak zawsze, z każdym typem danych, związane są typowe dla danej struktury
operacje. Operacje wykonywane na zbiorach dynamicznych, takie jak
wstawianie elementów, usuwanie elementów oraz sprawdzanie przynależności
elementu do zbioru można podzielić na zapytania i operacje modyfikujace.
Są to Search, Insert, Delete, Minimum, Maximum, Successor, Predecessor, itp.
W kolejnych częściach omówimy różne struktury danych dynamicznych
wraz z odpowiadającymi im operacjami.
4
1.1. Stosy, kolejki, listy, drzewa
S tos S jest dynamiczną strukturą danych, w której element najpóźniej
dodany do struktury usuwany jest jako pierwszy (Last in, First out;
jest to tzw. struktura LiFo).
Zwyczajowo, operacja Insert nosi nazwę Push, a operacja Delete nazywa
się Pop. Przykłady: stos talerzy w barach samoobsługowych, stos rozkazów
i danych w pamięci komputera, itp.
Stos o liczbie elementów nie większej niż n można zaimplementować
w tablicy S[1..n]. Dodatkowa cecha (atrybut) top[S] określa aktualną
długość stosu S. Elementem na dnie stosu jest S[1], a S[top[S]] jest
ostatnim elementem stosu. Jeśli top[S] = 0 to stos jest pusty (Stack-Empty).
Próba zdjęcia elementu ze stosu pustego nazywa się niedomiarem.,
W przypadku gdy top[S] > n (przekroczona dopuszczalna długość stosu)
mówimy, że stos jest przepełniony.
Poniżej przedstawione są algorytmy typowych operacji na stosach.
Stack-Empty(S)
1 if top[S]=0
2
then return True
3
else return False
Push(S,x)
1 top[S] <- top[S]+1
2 S[top[S]] <- x
Pop(S)
1 if Stack-Empty(S)
2
then error ,,niedomiar’’
3
else top[S] <- top[S]-1
4
return S[top[S]+1]
Rysunek przedstawia działanie operacji Push i Pop na stosie S.
(a)
(b)
1 2 3 4 5 xxxxx
6xxxxx
7xxxxx
8 xxxxx
9xxxxx
10
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
S 12 5 7 8 2xxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
(c)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
xxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
S 12 5 7 8 2 4 3 xxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxx
top[S]=5
top[S]=7
Zadanie 4. Palindromy
1 2 3 4 5 6xxxxx
7xxxxx
8 xxxxx
9xxxxx
10
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
xxxxx
xxxxxxxxxxxxxxx
3 xxxxx
S 12 5 7 8 2 4 xxxxx
xxxxx
xxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
top[S]=6
2
Napisać program, który rozpoznaje palindromy, wykorzystując
[Spis ]
stos i operacje na stosie.
K olejki reprezentują np. kolejki ludzi na poczcie, w banku lub sklepie,
kolejka samochodów na skrzyżowaniu, itp. Operacja wstawiania do kolejki
nazywana jest Enqueue, a operacją usuwania elementu z kolejki jest Dequeue. Kolejka posiada początek, head (głowę) oraz koniec tail (ogon).
Element może być usunięty z kolejki jeśli tylko wtedy gdy znajduje
się na jej początku.
5
Rysunek poniżej przedstawia implementację kolejki o maksymalnej
liczbie elementów n−1 = 10 oraz działanie operacji Enqueue i Dequeue na tej kolejce. Tutaj przyjęto, że tablica reprezentująca kolejkę
jest cykliczna, tzn. pozycja o numerze 1 jest następnikiem pozycji
o numerze n.
(a)
(b)
(c)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
xxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxx
Q xxxxx
7 8 xxxxx
Q
xxxxxxxxxx 7 8 2 12xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx 2 12 6 1 9 5 4
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
head[Q]=3
tail[Q]=7
tail[Q]=3
head[Q]=5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
xxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
2 12 6 1 9 5 4
Q 7 8 xxxxx
xxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxx
tail[Q]=3
head[Q]=5
Algorytmy dodawania elementów do kolejki i usuwania elementów z kolejki
przedstawiamy poniżej.
Enqueue(Q,x)
/* wstaw element x do kolejki
1
Q[tail[Q]] <- x
2
if tail[Q]=length[Q]
3
then tail[Q] <- 1
4
else tail[Q] <- tail[Q]+1
Dequeue(Q)
/*
Usun element z kolejki
1
x <- Q[head[Q]]
2
if head[Q]=length[Q]
3
then head[Q] <- 1
4
else head[Q] <- head[Q]+1
5
return
Zadanie 5. Kolejki
*/
*/
3
Kolejka dwustronna (dwukierunkowa) jest strukturą danych
pozwalającą na wstawianie i usuwanie elementów na obu jej
końcach. Napisz cztery procedury, służące do wstawiania
i usuwania elementów z obu końców kolejki przechowywanej
[Spis ]
w tablicy.
Zadanie 6. Kolejki i stosy
2
Pokaż, jak zaimplementować kolejkę, używając dwóch stosów.
Oszacuj czas działania operacji na takiej kolejce.
[Spis ]
Zadanie 7. Stosy i kolejki
2
Pokaż, jak zaimplementować stos za pomocą dwóch kolejek.
[Spis ]
Oszacuj czas działania operacji na takim stosie.
L ista z dowiązaniami jest strukturą danych, w której elementy są ułożone
w liniowym porządku. Porządek wyznaczają indeksy, wskazy, związane
z każdym elementem listy. Lista posiada początek (head) i koniec (tail).
Elementy listy mają swoje poprzedniki (prev, od previous) oraz następniki
(next). Często mamy doczynienia z listami posortowanymi. Operacje
związane z listami to: wyszukiwanie, wstawianie elementów i usuwanie
elementów.
Elementy listy składają sie z pól zawierających wskazy do elementów
poprzedniego i następnego. Jeśli takich elementów nie ma to wskaz
zawiera wartość Nil. Oprócz pól zawierających wskazy, elementy listy
zawierają pola zwane kluczami (key). Pola te mogą być dowolnego typu.
6
Mogą to być np. różnego rodzaju rekordy itp.
listy pokazany jest na rysunku.
head
prev
7
next
tail
9
Nil
Przykład bardzo prostej
14
4
key (klucz)
Nil
List-Search(L,k)
1
x <- head[L]
2
while x <> Nil i key[x] <> k
3
do x <- next[x]
4
return
List-Insert
/*
wstaw na poczatek listy L
1
next[x] <- head[L]
2
if head[L] <> Nil
3
then prev[head[L]] <- x
4
head[L] <- x
5
prev[x] <- Nil
*/
Algorytm ten pozwala wstawiać element x na początek listy. Następny
algorytm usuwa element listy. W realizacji list za pomocą tablic wartość
usuwanego elementu tablicy pozostaje niezmieniona. W ten sposób zaśmieca się pamięć (tablicę) reprezentującą listę. Podobnie dzieje się
gdy korzystamy bezpośrednio z zasobów pamięci komputera używając wskazów.
List-Delete(L,k)
1
if prev[x] <> Nil
2
then next[prev[x]] <- next[x]
3
else head[L] <- next[x]
4
if next[x] <> Nil
5
then prev[next[x]] <- prev[x]
Jeśli udałoby się pominąć warunki brzegowe dotyczące głowy i ogona
listy dwukierunkowej, wówczas treść procedury Delete byłaby prostsza.
List-Delete(L, x)
1
next[prev[x]] <- next[x]
2
prev[next[x]] <- prev[x]
Można to osiągnąć wprowadzając tzw. wartownika, który jest elementem
NIL listy. Jeśli każdy wskażnik do Nil zamienimy wskaźnikiem do wartownika
to lista staje się listą cykliczną.
wartownik
9
14
4
nil[L]
Zadanie 8. Listy
2
Napisać procedurę List-Search i List-Insert dla przypadku listy
cyklicznej (z wartownikiem).
[Spis ]
7
Zadanie 9. Sortowanie list
3
Napisać procedurę, która łączy dwie listy jednokierunkowe,
posortowane w jedną listę posortowaną i jednokierunkową, bez
używania wartowników. Następnie, zmodyfikować ją dodając
wartownika o kluczu ∞ na koniec każdej z list. Porównać
[Spis ]
stopień komplikacji obu procedur.
Zadanie 10. Odwracanie list
3
Napisać nierekurencyjną procedurę odwracającą kolejność
elementów listy jednokierunkowej, działającą w czasie Θ(n).
Dodatkowa pamięć (oprócz tej zajętej przez listę) powinna być
stała (tj. niezależna od liczby elementów na liście). [Spis ]
D rzewa binarne są w zasadzie połączonymi listami, w których każdy
węzeł (ojciec) może zawierać wskazy do pary synów: lewego i prawego.
Najwyższy węzeł nosi nazwę pnia (korzenia).
Drzewa zawierające tylko węzeł główny noszą nazwą drzew o zerowej
wysokości (czasami o jednostkowej). Każdy nowy poziom węzłów (znajdujących
się na jednakowej wysokości) zwiększa wysokość drzewa o jeden. Drzewo
całkowicie wypełnione posiada 2wysokość drzewa węzłów.
Drzewo poszukiwań binarnych (binary search tree, BST) jest drzewem
o uporzadkowanych węzłach, przy czym, porządek węzłów zadany jest wg.
jakiejś operacji binarnej lub boolowskiej.
Najczęściej porządek jest następujący. Numer schodzącego węzła
porównywany jest z numerem pnia i jeśli jest on mniejszy lub równy
numerowi pnia to węzeł umieszczany jest z lewej jego strony. W przeciwnym
wypadku węzeł umieszczany jest po prawej stronie pnia. Operacja powtarzana
jest na każdym poziomie drzewa, aż do momentu gdy osiągnie się poziom
ostatni gdzie umieszcza się ów węzeł. W ten sposób drzewo posiada
strukturę logiczną.
Istnieje kilka metod przechodzenia (przemiatania) drzewa binarnego.
Są to metoda preorder, metoda inorder oraz metoda postorder.
Metoda preorder polega na wypisaniu klucza pnia drzewa w pierwszej
kolejności, a następnie jego lewego poddrzewa. W następnym kroku przechodzi
się do poddrzewa prawego. W każdym przypadku (lewego lub prawego poddrzewa)
stosuje się również metodę preorder.
W metodzie postorder wypisuje się klucz korzenia po wypisaniu wartości
znajdujących się w poddrzewach: lewym i prawym.
W metodzie przechodzenia drzewa zwanej inorder klucz korzenia wypisuje
się pomiędzy kluczami z jego poddrzewa lewego i poddrzewa prawego.
5
7
4
8
5
3
nil
3
2
8
Zadanie 11. Skanowanie drzewa
3
Zaprojektuj algorytmy przechodzenia drzewa metodami inorder,
postorder i preorder.
[Spis ]
Zadanie 12. Drzewa
2
Narysuj drzewa poszukiwań binarnych o wierzchołkach (węzłach)
[Spis ]
1, 4, 5, 10, 16, 17, 21 o wysokościach 2, 3, 4, 5.
P liki są strukturami danych które zawierają sekwencje elementów jednego
typu. Dostęp do nich, w przeciwieństwie do tablic, jest sekwencyjny,
tzn. element pliku jest dostępny gdy odpowiedni wskaz pokazuje ten
element (patrz niżej).
Przykład. Zadeklarujemy kilka typów plikowych.
type
PlikDanych:
file of integer;
PlikKolorow: file of (r, g, b);
PlikZnakowy: file of char;
Plik Tablic: file of array [1..10] of real;
PlikPersonaliow: file of
record
Nazwisko: array [1..20] of char;
RodzajZatrudnienia: (stałe, godzinowe, zlecone)
end; { rekordu }
var
x: PlikDanych;
y: PlikKolorow;
z: PlikTablic;
Spis: PlikPersonaliow;
Podanie po zmiennej plikowej znaku ˆ pozwala wyłuskać wartość zmiennej
z pliku (lub wstawić ją). Np. xôznacza liczbę całkowitą, yĵest jedną
z wartości r, b lub g koloru. zĵest tablicą 10-o elementową. Pisząc
zˆ
[7] mamy dostęp do 7-go elementu tej tablicy. Pola rekordów z pliku
Spis osiągalne są za pomocą konstrukcji:
Spis^.Nazwisko[1] ... Spis^.Nazwisko[20]
Spis^.RodzajZatrudnienia
Funkcje związane z plikami (file) Z typami danych deklarowanych z pomocą
file of wiążą się funkcje operujące na tych strukturach. Są to
— eof(plik) – boolean, = true jeśli jest koniec struktury plik;
— reset(plik) – ustawia wskaz do pierwszego elementu struktury plik;
pozwala czytać plik;
— rewrite(plik) – ustawia plik do zapisu; eof(plik)=true;
— get(plik) – przesuwa wskaz do następnego elementu pliku i pobiera ten
element; ...
— put(plik) – dopisuje do pliku odpowiadający element
Pliki tekstowe. W języku Pascal (w innych językach jest podobnie) istnieje
specjalny typ predefiniowany, który zawiera znaki. Jest to typ text.
Plik ten składa się z linii tekstu (line) oddzielonych znakiem nowej
linii (W systemach Unix: new line; w systemach Dos, Win9x: new line
+ carriage return). Linie składają się ze znaków (char).
9
Z plikami tekstowymi związane są następujące operacje (zmienna plik
jest typu text, zmienna znak jest typu char):
— eoln(plik) – boolean; =true jeśli koniec linii
— read(plik, znak) – czytanie znaku;
— readln(plik, znak) –
z:=plik^;
while not eoln(plik) do
get(plik);
get(plik);
— write(plik, z) – plikˆ:=z; put(plik);
— writeln(plik,z) –
z:=plik^;
put(plik);
plik^:="znl";
put(plik);
Tutaj znl jest znakiem nowej linii.
10