Grawitacja - mlewandowska.zut.edu.pl

Grawitacja
Wstęp historyczny
Od czasów starożytnych przedmiotem zainteresowania wielu uczonych były dwa zagadnienia:
1. spadek przedmiotów na Ziemię,
2. ruchy ciał niebieskich – planet, komet, Słońca i Księżyca (często dla potrzeb astrologii).
Początkowo uważano, że oba te problemy nie mają ze sobą nic wspólnego.
Przełomowe etapy w rozwoju naszego zrozumienia zjawiska grawitacji:
1. Ptolemeusz (II w. n.e.) – pierwsza poważna próba wyjaśnienia kinematyki Układu
Słonecznego – schemat geocentryczny. Ziemia pozostaje nieruchomym centrum
Wszechświata, zaś planety ( w tym również Słońce i Księżyc) okrążają ją. Cechą ruchów
planetarnych miał być ruch po okręgu (figura idealna), więc w celu wyjaśnienia
złożonych ruchów planet (retrogradacja) Ptolemeusz wprowadził pojęcie deferensu i
epicykli. Planeta porusza się po okręgu (epicyklu), którego środek porusza się po innym
okręgu (deferensie).
2. Mikołaj Kopernik (połowa XVI w.) – wprowadził układ heliocentryczny. Mówiąc
dzisiejszym językiem - podał układ odniesienia (Słońce) o wiele wygodniejszy dla opisu
ruchów ciał niebieskich niż układ związany z Ziemią. Między innymi układ związany ze
Słońcem może być uważany za układ inercjalny przy rozważaniu zagadnień związanych
z ruchem ciał w Układzie Słonecznym. Schemat Kopernika była jednak nadal dość
skomplikowany, ponieważ zachował on nadal koncepcję orbit kołowych i epicykli.
3. Tycho Brahe (koniec XVI w.) na podstawie wieloletnich obserwacji (prowadzonych
jeszcze bez użycia lunety!) zebrał dokładne dane opisujące położenie planet na niebie,
tak jak są widoczne z Ziemi.
4. Johannes Kepler (początek XVII w.) po analizie danych zebranych przez Brahego
zauważył pewne regularności w ruchu planet, które opisał w postaci 3 prostych praw,
zwanych prawami Keplera. Są to prawa empiryczne – opisują obserwowany ruch planet
bez wnikania w jego przyczyny, czyli bez interpretacji teoretycznej.
1. Orbita każdej planety jest elipsą, a Słońce znajduje się w jednym z jej ognisk.
2. Promień wodzący łączący planetę ze Słońcem zakreśla w równych odstępach czasu
równe pola.
3. Kwadrat okresu obiegu dowolnej planety jest proporcjonalny do sześcianu półosi
R3 R3
wielkiej jej orbity. Dla orbit kołowych prawo to przyjmuje postać: 12  22
T1
T2
5. Izaak Newton (druga połowa XVII w.) – opisanie zagadnień spadku przedmiotów na
Ziemi oraz ruchu ciał niebieskich jednym uniwersalnym prawem, zwanym prawem
powszechnego ciążenia: Między każdymi dwoma punktami materialnymi o masach m1 i
m2 znajdującymi się w odległości r działa siła przyciągająca, skierowana wzdłuż prostej
mm
łączącej te punkty, mająca wartość: F  G 1 2 2 , lub w postaci wektorowej
r
 
mm 
mm 
F (r )  G 1 2 2 er  G 1 3 2 r , gdzie G  (6,6720  0,0006)  10 11 Nm2/kg2 jest
r
r
uniwersalną stałą grawitacji, mającą tę samą wartość dla wszystkich punktów
materialnych. Wielkim sukcesem teorii Newtona było wyprowadzenie na jej podstawie
wszystkich empirycznych praw Keplera.
6. Albert Einstein 1915 r. – ogólna teoria względności – współczesna teoria grawitacji.
Podstawowymi obszarami zastosowań OTW są skrajne sytuacje astrofizyczne (czarna
dziura, gwiazda neutronowa). W układzie Słonecznym odstępstwa od teorii Newtona
przewidziane przez OTW są niewielkie, zostały jednak zaobserwowane. Do zjawisk
świadczących o tym należą m. in. ugięcie światła przechodzącego w pobliżu Słońca oraz
1
precesja periheliów planet (największy efekt występuje dla Merkurego i wynosi ok. 43’’
na stulecie).
Prawo powszechnego ciążenia
Zajmijmy się prawem powszechnego ciążenia. Zauważmy, że dotyczy ono punktów
materialnych, a więc jest słuszne gdy rozmiary obu ciał są znacznie mniejsze od odległości
między nimi. Natomiast ciała rozciągłe należy podzielić na infinitezymalnie małe elementy.
Każdy element jednego ciała przyciąga każdy element drugiego ciała. Następnie należy
obliczyć całkowite oddziaływanie między wszystkimi elementami. Rachunki takie są
możliwe dzięki całkowaniu. Jednak w niektórych przypadkach (np. gdy badamy siłę z jaką
Ziemia przyciąga ciało znajdujące się na jej powierzchni) dla uproszczenia zakładamy, że
całkowita masa ciała skupiona jest w jego środku. Należy jednak pamiętać, że założenie to
jest poprawne tylko dla jednorodnych kul.
Wartość stałej grawitacji została oszacowana jeszcze przez Newtona. Wynik ten
obarczony jest ok. 10% błędem
Dokładnych pomiarów stałej grawitacji dokonał w 1798 r. Cavendish. Ponieważ
oddziaływanie grawitacyjne jest bardzo słabe, (2 ciała o masie 100 kg znajdujące się w
odległości 1m przyciągają się siłą ok. 6x10-7 N) więc bezpośredni pomiar siły przyciągania
pomiędzy ciałami o dającej się zmierzyć masie jest w warunkach laboratoryjnych
niemożliwy. Dlatego też Cavendish posłużył się metodą pośrednią, wykorzystując tzw. wagę
skręceń.
Znając wartość stałej grawitacji możemy wyznaczyć przyspieszenie z jakim będą spadać ciała
w dowolnej odległości od planety.
M
g (r )  F (r ) / m  G 2 . Przyspieszenie ziemskie na powierzchni Ziemi wynosi zatem
r
M
g ( R z )  G 2 . Na podstawie tego wzoru można oszacować masę Ziemi. Wynosi ona ok.
Rz
Możemy również określić masę dowolnego ciała niebieskiego mającego satelitę. Wystarczy
zmierzyć okres obiegu satelity dookoła planety lub gwiazdy oraz promień jego orbity. W ten
sposób można wyznaczyć np. masę Słońca, Jowisza oraz innych planet mających satelity.
Pole grawitacyjne
Grawitację możemy traktować jako bezpośrednie oddziaływanie pomiędzy 2 ciałami
obdarzonymi masą. Taki punkt widzenia oparty jest na koncepcji działania na odległość.
Odmiennym punktem widzenia jest, nieznana w czasach Newtona, koncepcja pola. Zgodnie z
nią ciało obdarzone masą modyfikuje otaczającą je przestrzeń wytwarzając w niej pole
2
grawitacyjne. Pole to z kolei oddziałuje na każde inne znajdujące się w nim ciało obdarzone
masą, wywierając nań siłę przyciągania grawitacyjnego.
Pojęcie pola zostało stworzone przez Faradaya (XIX w.) dla potrzeb teorii elektromagnetyzmu i dopiero później zastosowano je również do grawitacji. Koncepcja pola została
wykorzystana przez Einsteina w OTW.
Każde pole sił możemy scharakteryzować przy pomocy wielkości wektorowej zwanej
natężeniem pola, zdefiniowanej jako iloraz siły działającej na ciało w danym punkcie pola i
wielkości charakteryzującej zachowanie się ciała w tym polu (dla pola grawitacyjnego będzie
to masa, natomiast dla pola elektrycznego – ładunek). A więc dla pola grawitacyjnego mamy:
 
  F (r )
GM   
 (r ) 
  3 r  g (r )
m
r
Widać, ze natężenie pola grawitacyjnego Ziemi jest równe przyspieszeniu z jakim porusza się
ciało próbne w ziemskim polu grawitacyjnym, czyli przyspieszeniu ziemskiemu.
Energia potencjalna w polu grawitacyjnym. Potencjał pola grawitacyjnego
Siła grawitacji jest siłą zachowawczą, zatem praca w jej polu nie zależy od kształtu toru, lecz
jedynie od położenia początkowego i końcowego badanego ciała. Obliczmy energię
potencjalną dla ciała próbnego o masie m w polu grawitacyjnym Ziemi. Zgodnie z definicją:
A 

E pA  E pO  E p  E pO   F  dr  E pO  WO A - Jeśli przyjmiemy, że EpO = 0, energia
O
potencjalna ciała próbnego w punkcie A jest równa minus pracy wykonanej przez siłę
grawitacji przy przesunięciu tego ciała z punktu odniesienia O do punktu A (lub pracy
przesunięcia z punktu A do punktu odniesienia).
E pA  WO  A  W AO
Dla przemieszczeń małych h<<Rz , w skali laboratoryjnej, jako punkt odniesienia przyjmuje
się powierzchnię Ziemi. Natomiast przy dużych przemieszczeniach (w skali kosmicznej)
punkt odniesienia umieszcza się w nieskończoności. Przy całkowaniu kierunek rosnacych
wartości r traktujemy jako dodatni.
Jak widać w drugim przypadku energia potencjalna jest ujemna i rośnie ze wzrostem r,
przyjmując wartość maksymalną = 0 w nieskończoności. Odpowiada to faktowi, że siła
grawitacyjna wywierana przez Ziemię na ciało próbne jest przyciągająca – gdy punkt
przybywa z nieskończoności praca wykonana przez siłę grawitacji jest dodatnia, zatem

dE p
energia potencjalna musi być ujemna. F (r )  
dr
Grawitację możemy scharakteryzować również przy pomocy pewnego pola skalarnego
zwanego potencjałem. Potencjał dowolnego pola definiujemy jako stosunek energii
potencjalnej ciała w tym polu do wielkości charakteryzującej zachowanie się ciała w tym
polu. Potencjał grawitacyjny określimy więc jako grawitacyjną energię potencjalną na
jednostkę masy ciała próbnego. V (r )  E p (r ) / m  GM / r . Jednostką potencjału jest J/kg,

dV 
er
zaś wymiar l2/t2. Natężenie pola grawitacyjnego:  (r )  
dr
3