Grawitacja - INSTYTUT FIZYKI PWr

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Wykład FIZYKA I
8. Grawitacja
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej
http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
CIĄŻENIE POWSZECHNE (GRAWITACJA)
 Wzajemne przyciąganie się ciał jest źródłem jednej z podstawowych sił w
fizyce – sił przyciągania, które podlegają prawu powszechnego ciążenia
(grawitacji). Prawo to podał Isaac Newton (1687; pierwsze obserwacje już od
1655):
m1m2
F G 2
r
Między każdymi dwoma punktami materialnymi działa siła wzajemnego przyciągania,
wprost proporcjonalna do iloczynu mas tych punktów (m1 i m2) a odwrotnie proporcjonalna
do kwadratu odległości r między nimi.

m1m2 
 W postaci wektorowej prawo to można zapisać jako: F12  G 3 r12
r12

F12 to siła, z jaką punkt „2” działa na punkt „1”, r12 to promień
wodzący, łączący punkt drugi z pierwszym.

m1
F12

r12
m2
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
CIĄŻENIE POWSZECHNE (GRAWITACJA)
 Współczynnik G  6,672 1011 Nm 2 kg 2
to
stała
grawitacji,
wyznaczona po raz pierwszy doświadczalnie w 1797 r. przez Henry`ego
Cavendisha przy użyciu tzw. wagi skręceń.
(długie, cienkie włókno kwarcowe, ołowiane kule)
 Pomiar Richardsa z 1898r
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
CIĄŻENIE POWSZECHNE (GRAWITACJA)
 Ciężar ciała (inaczej: siła ciążenia) – siła przyciągania, jaka działa na dane ciało
ze strony innego ciała (na przykład Ziemi…). W pobliżu Ziemi będzie ona równa:
P  mg
gdzie g oznacza tzw. przyspieszenie ziemskie równe:
MZ
g G 2
RZ
MZ to masa Ziemi, RZ to jej promień.
 Ciężar pozorny to wskazanie wagi sprężynowej, na której ważymy ciało (miara siły,
która na niego działa, a którą ono z kolei działa na wagę). W przypadku ciał
poruszających się z pewnym przyspieszeniem, ciężar pozorny to wypadkowa suma
sił wynikających z przyciągania przez inną masę (np. Ziemię) i sił bezwładności,
wynikających z ruchu z tym przyspieszeniem.
 Ciężar fizjologiczny jest proporcjonalny do siły, jaką działa ciecz na zakończeniu
nerwów w półkolistych kanałach ucha wewnętrznego... (ile wysiłku trzeba włożyć w
uniesienie np. głowy lub ramienia).
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
CIĄŻENIE POWSZECHNE (GRAWITACJA)
 Siła grawitacji jest proporcjonalna do masy ciała jako miary liczebności
materii (np. liczby nukleonów w jądrze) i moglibyśmy ją wobec tego nazwać
masą grawitacyjną. Czy jest to ta sama masa, która występuje w zasadach
dynamiki, a którą nazwijmy masą bezwładną?
Oznaczmy masę grawitacyjną ciała przez m1 ' a jego masę bezładną przez m1 .
Wtedy masa bezwładna, spadająca swobodnie w pobliżu Ziemi osiągnie
przyspieszenie a1 :
m1a1  G
M Z ' m1 '
RZ2
Podobne równanie możemy napisać dla innego ciała o masie
równania stronami, otrzymamy:
m2 .
Dzieląc
m1a1 m1 '

m2 a2 m2 '
Czyli: jeśli wszystkie ciała spadają z jednakowym przyspieszeniem, to oba pojęcia
mas są równoważne (obie masy są równe).
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
CIĄŻENIE POWSZECHNE (GRAWITACJA)
 Próby zbadania zależności między masą bezwładną a grawitacyjną:
- Newton stwierdził równość przyspieszeń z dokładnością do 1/1000;
- 1901 r. Roland Eötvös stwierdził to z dokładnością do 108;
- 1964 r. R. Dicke (University of Princeton, USA): 10300.
 Wyniki tych pomiarów sugerują, że dla wszystkich substancji masa
grawitacyjna jest równa masie bezwładnej –> zasada równoważności –
podstawowe prawo przyrody, opierające się na wynikach doświadczeń.
 Konsekwencją tej zasady jest niemożność rozróżnienia przyspieszenia
grawitacyjnego od przyspieszenia np. całego laboratorium, w którym
odbywałyby się pomiary – punkt wyjścia do ogólnej teorii względności
Einsteina.
 Również kwestia wykładnika w potędze odległości (R-2) jest zagadnieniem,
które stanowi stały przedmiot pomiarów.
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
CIĄŻENIE POWSZECHNE (GRAWITACJA)
 Zagadnienie obliczenia sił wzajemnego przyciągania dwóch ciał o dowolnych
rozmiarach i kształtach (o dowolnym rozkładzie masy):
- „rozbijamy” ciała na wielką liczbę cząsteczek tak małych, aby można je było
potraktować jako punkty materialne;
- sumujemy (wektorowo!) wszystkie siły przyciągania, działające na dany punkt
jednego ciała ze strony punktów drugiego ciała;
- sumujemy siły działające na każdy punkt danego ciała aby otrzymać wypadkową siłę,
działającą na całe ciało.
n
N

mk 
F  G  mi  3 rik
i 1
k 1 rik
W przypadku ciał o ciągłym rozkładzie masy, należy zastosować oczywiście całkowanie zamiast
sumowania.
 Newton w swych rozważaniach zakładał, że Ziemię można potraktować tak, jakby
cała masa była skupiona w jej środku, ale udowodnił to dopiero 20 lat później (stąd
rozbieżności w podawanych datach odkrycia prawa powszechnego ciążenia i stąd
opracowanie przez niego podstaw rachunku całkowego!).
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
CIĄŻENIE POWSZECHNE (GRAWITACJA)
 Pole grawitacyjne to próba opisu wzajemnego oddziaływania ciał (na wskutek
istnienia sił wzajemnego przyciągania) poprzez pewną wielkość wektorową,
„niezależną” od ciała, które to pole wytwarza. Jest to inaczej przyspieszenie
grawitacyjne w funkcji położenia. Można wtedy obliczyć siłę F, działającą na daną
masę m, jako:


F  mg
gdzie g jest natężeniem pola grawitacyjnego, charakteryzującym siły pola grawitacyjnego.
 Pole nazywamy jednorodnym, jeśli natężenie we wszystkich jego punktach jest
jednakowe.
 Pole nazywamy centralnym, jeżeli we wszystkich jego punktach wektory
natężenia skierowane są wzdłuż prostych, przecinających się w jednym punkcie,
nieruchomym względem dowolnego układu inercjalnego (punkt ten nazywamy
środkiem sił).
 Pole centralne nazywamy kulisto-symetrycznym, jeśli liczbowa wartość wektora
natężenia pola zależy tylko od odległości od środka sił.
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
CIĄŻENIE POWSZECHNE (GRAWITACJA)
 Zasada superpozycji pól (nakładania się pól): przy nałożeniu się kilku pól
(np. ciążenia), natężenie pola wypadkowego równa się sumie wektorowej
natężeń wszystkich tych pól.
 Pola charakteryzuje się również pewną wielkością skalarną, zwaną
potencjałem pola. Równy jest on stosunkowi energii potencjalnej punktu
materialnego do jego masy:
E
V
p
m
W przypadku pola grawitacyjnego pojedynczego punktu materialnego o masie m, potencjał
tego pola wyraża się wzorem:
Gm
Vg  
r
 Związek pomiędzy natężeniem pola i jego potencjałem:

g   grad Vg 
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
CIĄŻENIE POWSZECHNE (GRAWITACJA)
 Pole grawitacyjne wewnątrz i na zewnątrz jednorodnej kuli:
- pole grawitacyjne na zewnątrz pustej czaszy kulistej
(bądź pełnej kuli) o masie M i promieniu R:
g
g 0
- pole wewnątrz tejże czaszy:
- pole wewnątrz jednorodnej kuli o gęstości
:
4
Mr

g r   Gr   G 2 
3
 R R
Przykład: pole grawitacyjne Ziemi
GM
R2
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
PRAWA KEPLERA
 Nauki Arystotelesa i Ptolemeusza: wszystkie planety i gwiazdy poruszają się wokół
Ziemi po skomplikowanych torach (będących superpozycjami ruchów po okręgach);
 Mikołaj Kopernik (1540): planety krążą
wokół Słońca, Księżyc wokół Ziemi.
 Giordano Bruno - zwolennik teorii
heliocentrycznej Kopernika -> stos (1600).
 Galileusz (również przełom XVI i XVII wieku):
odwołał publicznie swoje teorie w obawie
przed stosem.
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
PRAWA KEPLERA
 Johannes Kepler (korzystając z obserwacji Tycho Brache) podał
wyprowadzone empirycznie prawa ruchu planet – prawa te
można wyprowadzić z prawa powszechnego ciążenia Newtona.
Tycho Brahe (właśc. Tyge Ottesen Brahe, także (mylnie)
Tycho de Brahe; ur. 14 grudnia 1546 r. w zamku
Knutstorp w Skanii – zm. 24 października 1601 r. w
Pradze)
Johannes Kepler
(ur. 27 grudnia 1571 r. w Weil der Stadt,
zm. 15 listopada 1630 r. w Ratyzbonie)
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
PRAWA KEPLERA
 Pierwsze prawo Keplera:
Każda planeta krąży po orbicie eliptycznej, ze
Słońcem w jednym z ognisk tej elipsy.
 Drugie prawo Keplera (prawo równych pól):
Linia łącząca Słońce i planetę zakreśla
równe pola w równych odstępach czasu.
 Trzecie prawo Keplera:
Sześciany półosi wielkich orbit jakichkolwiek
dwóch planet mają się tak do siebie, jak
kwadraty ich okresów obiegu:
a13 T12
 2
3
a2 T2
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
PRAWA KEPLERA
 Rozpatrzmy ruch ciała w polu sił centralnych:
Moment siły F względem środka pola jest równy zeru:
dlatego moment pędu tego ciała względem środka
pola jest zachowany:
 Fr 
F r
r
     Fr  
M  r  F  r   r  0
r 
 

K  r  mv   const
Stąd z kolei wynika, że w centralnym polu sił tor ruchu tego ciała jest krzywą płaską
(płaszczyzna, zawierająca wektory położenia r i prędkości v nie zmienia swej
orientacji względem środka pola).
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
PRAWA KEPLERA
 Skoro krzywa ruchu jest krzywą płaską, położenie punktu w przestrzeni
określimy we współrzędnych biegunowych r , , a prędkość rozłożymy na
prostopadłe składowe: radialną i transwersalną (poprzeczną) vr v :
  
v  vr  v
dr
vr 
dt
d
v  r
dt
 Moment pędu układu zależy tylko od prędkości poprzecznej:
 

K  r  mv   const
 Wartość momentu pędu jest równa:
d
K  mr
 const
dt
2
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
PRAWA KEPLERA

 Promień wodzący rzakreśla przy swoim obrocie o mały kąt
wycinek kołowy, którego pole jest równe:
1 2
stąd wielkość
v p:
vp 
dA 1 2 d
 r
dt 2 dt
dA 
2
wd
czasie
dt
r d
nazywamy prędkością polową (wycinkową).
 Biorąc pod uwagę powyższą definicję i zasadę zachowania momentu pędu,
otrzymujemy:
vp 
K
 const
2m
Przy ruchu ciała w polu siły centralnej jego prędkość polowa
(rozumiana jako pole zakreślane przez promień wodzący w
jednostce czasu) jest stała. (II prawo Keplera)
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
PRAWA KEPLERA
 Aby wyprowadzić I i III prawo Keplera, skorzystajmy z zasady zachowania
momentu pędu (była) i zasady zachowania energii:
E  Ek  E p  const
2
2
2
2



mv
m  dr 
d 
m  dr   K  

Ek 
    r          
2
2  dt 
 dt   2  dt   mr  
2
skąd otrzymujemy:
a ponieważ:
dr
2
E  E p    K 

dt
m
 mr 
2
d
K
 2
dt mr
więc ostatecznie:
d 
K r2
2mE  E p    K r 
2
dr
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
PRAWA KEPLERA
 Aby rozwiązać podane równanie trajektorii ruchu, musimy podstawić
konkretne wyrażenie na energię potencjalną, która w przypadku pola
grawitacyjnego ma postać:
Ep 

r
gdzie:
  GMm
 Ostateczne rozwiązanie można przedstawić w postaci:
p
r   
1  e cos
gdzie:
K2
p
m
2 EK 2
e
1
2
m
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
PRAWA KEPLERA
p
r   
1  e cos
K2
p
m
2 EK 2
e
1
2
m
 Tor ruchu (orbita), jest krzywą drugiego stopnia (krzywą stożkową), przy
czym p jest jej parametrem ogniskowym a e - mimośrodem.
 W zależności od tego, jaka jest energia całkowita ciała, możliwe są
następujące rozwiązania równania toru (trajektorii):
•dla E<0 (czyli e<1) jest to orbita eliptyczna;
•dla E=0 (e=1) jest to orbita paraboliczna;
•dla E>0 (e>1) jest to orbita hiperboliczna;
•dla K=0 (e=1, p=0) jest to tor prostoliniowy, przechodzący przez
środek pola.
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
PRAWA KEPLERA
 Dla planet, poruszających się w polu grawitacyjnym Słońca:
E0
a więc torami ruchu planet są elipsy (I prawo Keplera).
 Wtedy również można wyprowadzić wzór na okres T obiegu planety
po tej elipsie:
2
4

2
3
T 
a
GM
gdzie a jest dużą osią elipsy. Stąd otrzymujemy III prawo Keplera.
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
PRĘDKOŚCI KOSMICZNE
 Pierwszą prędkością kosmiczną (prędkością kołową) dla Ziemi
nazywamy prędkość, którą powinien mieć satelita Ziemi, obiegający ją
po orbicie kołowej.
Znajdziemy ją z zasady zachowania energii:
- całkowita energia satelity na orbicie kołowej (e=0):
- energia kinetyczna satelity:
- energia potencjalna satelity:
stąd:
GM
vI 
r
Ek 
mv
2
Ep 
2
E

2r
  GMm

r
przy powierzchni Ziemi:
vI  g Z RZ  7,9 km / s
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
PRĘDKOŚCI KOSMICZNE
 Drugą prędkością kosmiczną (prędkością paraboliczną) dla Ziemi
nazywamy prędkość, którą trzeba nadać ciału, aby jego orbita w polu
grawitacyjnym stała się paraboliczna – to znaczy, aby ciało mogło
pokonać przyciąganie ziemskie i stać się satelitą Słońca (lot na inne
planety).
Znajdziemy ją z zasady zachowania energii:
- całkowita energia satelity na orbicie kołowej (e=1):
- energia kinetyczna i potencjalna: jak poprzednio
a stąd:
przy powierzchni Ziemi:
E0
mv 2
Ek 
2
2GM
vII 
 2vI
r
vII  2 g Z RZ  11,2 km / s
Ep 

r