planimetria i geometria analityczna

Zestaw zadań powtórzeniowych do egzaminu maturalnego z matematyki
PLANIMETRIA I GEOMETRIA ANALITYCZNA
Zadanie 1. Punkty A=(1,3) i B=(-3,6) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego ABC, w
którym AB=AC. Podstawa BC trójkąta zawarta jest w prostej o równaniu x + y – 3 = 0.
Wyznacz współrzędne wierzchołka C oraz oblicz pole trójkąta ABC. Wyznacz cos kąta CAB.
Zadanie 2. W trójkącie ABC dane są długości boków AB= 2 10 ,AC=10 oraz cos
10
10
a) Oblicz odległość wierzchołka A od prostej BC.
b) Oblicz sumę długości promieni okręgu opisanego na trójkącie ABC i wpisanego w
trójkąt ABC.
Zadanie 3. W trapezie równoramiennym ABCD ( ABCD), w którym kąt ostry jest równy
450, przekątna AC o długości 2 tworzy z podstawą AB kąt 300.
a) Oblicz pole i obwód trapezu.
b) Wykaż, że długości promieni okręgów opisanych na trójkątach ABC i ACD są równe
długości ramienia trapezu.
Zadanie 4. Dany jest trapez równoramienny ABCD o polu 5, w którym AB CD i
AB>CD. Trapez jest opisany na okręgu o promieniu 1.
a) Oblicz długości boków trapezu oraz długość jego przekątnej.
b) Oblicz długości promieni okręgów opisanego i wpisanego w trójkąt ABC.
Zadanie 5. W trapezie równoramiennym ABCD dane są: BC=AD= a, długość dłuższej
podstawy AB= 3a oraz miara kąta ostrego równa 300.
a) Oblicz długość przekątnej trapezu oraz wyznacz stosunek pola trójkąta BCD do pola
trójkąta ABD.
b) Dla jakiej wartości a pole trapezu jest równe 36  6 3 ?
ABC = 
Zadanie 6. Dany jest trójkąt równoramienny ABC, gdzie AC=BC= 4 3 . Wysokość
opuszczona na podstawę trójkąta jest równa odcinkowi łączącemu środek podstawy ze
środkiem ramienia.
a) Oblicz różnicę między długością promienia okręgu opisanego na trójkącie ABC a
długością promienia okręgu wpisanego w dany trójkąt ABC.
b) Do okręgu wpisanego w trójkąt ABC poprowadzono styczną równoległą do
podstawy, przecinającą ramiona trójkąta w punktach M i N. Znajdź długość odcinka
MN.
Zadanie 7. W trójkącie równobocznym ABC o polu 16 3 na boku BC obrano punkt M tak,
1
że BM= MC.
3
a) Oblicz sinus kąta MAB oraz długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt MAB.
b) Jakie długości mają odcinki, na które symetralna odcinka AM dzieli bok AB?
Zadanie 8. W trójkącie ABC dane są długości boków: AB=18, BC=15, AC = 12.
Wyznacz długość środkowej trójkąta poprowadzonej z wierzchołka C oraz oblicz stosunek
długości promienia okręgu opisanego na trójkącie ABC do długości promienia okręgu
wpisanego w trójkąt ABC.
Zadanie 9. Dany jest trójkąt ABC w którym: AC= 8 cm, BCA=1200. Długość
promienia okręgu opisanego na trójkącie ABC jest równa długości boku AC.
Wyznacz długość środkowej trójkąta poprowadzonej z wierzchołka A oraz oblicz długość
promienia okręgu wpisanego w trójkąt ABC.
1
Zadanie 10. W trapezie równoramiennym ABCD ( ABCD ) kąty ostre mają miarę 300.
Stosunek długości dłuższej podstawy do krótszej wynosi 5: 3. Przekątne trapezu tworzą z
jego ramionami kąt 1350.
a) Oblicz pole i obwód trapezu jeżeli długość ramienia BC=2.
b) Wyznacz stosunek promienia okręgu opisanego na trójkącie ABD do promienia
okręgu opisanego na trójkącie BCD.
Zadanie 11. Punkty B = (0,-6) i C = (4,1) są wierzchołkami trapezu równoramiennego
5
ABCD. Środkiem podstawy CD trapezu jest punkt S = ( 3,
). Wyznacz współrzędne
2
wierzchołków D i A oraz napisz równanie okręgu opisanego na tym trapezie.
Zadanie 12. W trójkącie ABC wysokość CD, której długość wynosi 12, dzieli podstawę AB
na dwa odcinki o długościach 16 i 5.
a) Oblicz stosunek długości promienia okręgu opisanego na trójkącie ABC do długości
promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt.
b) Przez środek okręgu opisanego na trójkącie ABC poprowadzono prostą równoległą
do odcinka AB. Oblicz pole powstałego trapezu.
Zadanie 13. W trapezie prostokątnym ABCD, gdzie AB CD, dane są: BD= 4 3 ,
CD= 2 3  3 , DAB = 900, ABD = 300.
a) Oblicz pole trapezu ABCD oraz długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt BDA
b) Wyznacz sumę kwadratów sinusów wszystkich kątów wewnętrznych trapezu ABCD.
Zadanie 14. W trójkącie ABC dane są długości boków: AB= 6, BC= 2.
Przyjmując, że AC= 2 7 wyznacz miarę kąta ABC oraz oblicz stosunek długości
promienia okręgu wpisanego w trójkąt ABC do długości promienia okręgu opisanego na tym
trójkącie. Oblicz sumę kwadratów sinusów kątów wewnętrznych trójkąta ABC.
Zadanie 15. Miara kąta ostrego w rombie wynosi 300, a promień okręgu wpisanego w ten
romb ma długość 4. Oblicz pole rombu i długość jego przekątnych.
Zadanie 16. Dany jest trójkąt ABC, w którym długości boków są równe:BC= 4,CA=
8, AB= 4 7 .
a) Wyznacz miarę kąta rozwartego w trójkącie ABC oraz oblicz długość wysokości
poprowadzonej z wierzchołka tego kąta.
b) Oblicz stosunek długości promienia okręgu opisanego na trójkącie ABC do długości
promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt.
Zadanie 17. W trapezie równoramiennym dane są długości podstaw a i b ( a > b ) i kąt ostry
 = 600. Środki sąsiednich boków danego trapezu połączono odcinkami. Oblicz pole
czworokąta, którego bokami są te odcinki oraz wyznacz stosunek pola trapezu do pola
powstałego czworokąta.
Zadanie 18. Dany jest trójkąt ABC, w którym kąt BCA= 900 a kąt CAB jest dwa razy
mniejszy od kąta CBA. Obwód okręgu wpisanego w ten trójkąt wynosi 2. Prosta
przechodząca przez wierzchołek C danego trójkąta tworzy z krótszą przyprostokątną kąt o
mierze 300 i przecina przeciwprostokątną AB w punkcie D.
a) Oblicz pole koła opisanego na danym trójkącie oraz wyznacz stosunek długości
odcinka DB do długości odcinka DA.
b) Oblicz odległość punktu D od środka okręgu wpisanego w trójkąt ABC.
Zadanie 19. W trójkącie ABC dane są współrzędne wierzchołków A i B, gdzie A = (-1,-1) i
B = (7,1) oraz równanie symetralnej boku BC: x – 4y + 14 = 0. Wyznacz współrzędne
wierzchołka C oraz wykaż, że trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym. Napisz równanie
okręgu opisanego na trójkącie ABC.


2
Zadanie 20. Środkowe trójkąta prostokątnego poprowadzone z wierzchołków kątów ostrych
mają długości 5 i 40 . Oblicz stosunek długości promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt
do długości promienia okręgu opisanego na nim. Oblicz długość środkowej trójkąta
poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego.
Zadanie 21. Promień koła opisanego na trójkącie prostokątnym jest 2,5 razy większy od
promienia koła wpisanego w ten trójkąt.
a) Wyznacz cosinusy kątów ostrych w tym trójkącie.
b) Określ w procentach, jaką część pola trójkąta ABC zajmuje koło wpisane w ten
trójkąt.
Zadanie 22. Punkt A = (-2, -3) jest wierzchołkiem rombu, którego jeden bok zawiera się w
prostej o równaniu x –2y – 4 = 0. Środkiem symetrii rombu jest punkt S = (1,1).
a) Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków rombu.
b) Napisz równanie okręgu wpisanego w ten romb.
Zadanie 23. Na okręgu o promieniu 6 opisano trapez prostokątny, którego dłuższa podstawa
ma długość 24. Wyznacz pole trapezu oraz cosinus kąta rozwartego tego trapezu.
Zadanie 24. Znajdź współrzędne wierzchołków trójkąta, jeżeli boki trójkąta zawierają się w
prostych o równaniach: x + 2y – 2 = 0, 2x – y – 4 = 0, x – y + 4 = 0.
a) Wykaż, że trójkąt jest prostokątny i napisz równanie okręgu opisanego na tym
trójkącie.
b) Oblicz stosunek pola koła opisanego na tym trójkącie do pola tego trójkąta.
Zadanie 25. Dane są punkty A = (4,0) i B = (8,2) oraz prosta l o równaniu x – y + 1 = 0.
a) Wyznacz współrzędne punktu P należącego do prostej l takiego, by suma kwadratów
odległości punktu P od punktów A i B była najmniejsza.
b) Wyznacz długość promienia okręgu opisanego na trójkącie AOB, gdzie O to początek
układu współrzędnych.
c) Sprawdź, czy punkt P należy do tego okręgu.
Zadanie 26. W trapezie ABCD dane są:
AB= 10 cm,
BC= 10 cm,

BAD=ADC=
i AC = 4 5 . Wyznacz pole trapezu ABCD i wartość jednej z
2
funkcji trygonometrycznych kąta ostrego tego trapezu. Czy w ten trapez można wpisać okrąg?
Czy można na nim opisać okrąg?
Zadanie 27. Prosta: x – 2y + 2 = 0 przecina okrąg: x2 + y2 – 6x – 16 = 0 w punktach A i B.
a) Oblicz długość cięciwy okręgu zawartej w danej prostej.
b) Oblicz pole trójkąta ABS, gdzie S jest środkiem danego okręgu.
Zadanie 28. Na kole o promieniu r = 2 opisano trapez równoramienny ABCD o podstawach
AB i CD i polu równym 20.
a) Oblicz długość przekątnej trapezu ABCD oraz pole koła opisanego na tym trapezie.
b) Wyznacz skalę podobieństwa trójkątów ABS i CDS, gdzie S jest punktem przecięcia
przekątnych trapezu ABCD.
Zadanie 29. W trójkącie ABC dane są długości boków: AB= 4, AC= 6 i długość
środkowej AA’= 10 .
a) Oblicz długość trzeciego boku trójkąta.
b) Oblicz stosunek długości promienia okręgu opisanego na tym trójkącie do długości
promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt.
Zadanie 30. W trójkącie ABC dane są: AB= 7, BC+AC= 13 oraz iloczyn skalarny
wektorów CA  CB  20 . Oblicz długości boków BC i AC oraz miarę kąta ACB.
Zadanie 31. Na kole opisano romb, którego jeden z kątów wewnętrznych ma miarę 1500.
a) Oblicz stosunek pola rombu do pola koła.
3
b) Wiedząc, że pole rombu jest o 4 większe od pola koła oblicz długość boku rombu.
c) Zbadaj i uzasadnij, jaki ciąg tworzą: krótsza przekątna, bok i dłuższa przekątna rombu
w podanej kolejności.
Zadanie 32. Punkty A = (-1,-2), B = (7,2) i C = (1,4) są kolejnymi wierzchołkami trapezu
ABCD, w którym CDA=DAB= 900. Wyznacz współrzędne wierzchołka D.
a) Oblicz pole trapezu ABCD oraz długość odcinka łączącego środki jego podstaw.
b) Wyznacz miary kątów wewnętrznych trójkąta ABC.
4