GRY DWUOSOBOWE O SUMIE NIEZEROWEJ

GRY DWUOSOBOWE O SUMIE
NIEZEROWEJ
Równowaga Nasha i rozwiązania niekooperacyjne.
Dylemat więźnia.
Piotr Włodarek, Piotr Stasiołek
Matematyka finansowa studia
niestacjonarne
 Gdy doczynienia mamy z grą dwuosobową o sumie niezerowej to aby ją opisać
musimy podać wypłaty obu graczy. Niektóre gry o sumie niezerowej możemy
przekształcić za pomocą liniowych przekształceń użyteczności graczy w gry o
sumie zerowej.
 Gry, w których interesy obu graczy są dokładnie przeciwstawne, możemy
analizować tymi samymi metodami, co gry o sumie zerowej. Dla gier o sumie
niezerowej ogólnie przyjęte jest, że intencje obu graczy nie są ani dokładnie
przeciwstawne, ani ze sobą zgodne. Tzn. zakładamy konkurencję pomiędzy
uczestnikami gry nie wykluczając jednakże kooperacji w pewnych sytuacjach.
 Współpraca może polegać na wymianie informacji na temat strategii jaką gracz
ma zamiar przyjąć. My jednakże zajmiemy się przypadkiem gry w której
komunikacja pomiędzy uczestnikami jest niemożliwa, tzn. gracz będzie
przyjmować swoją strategie nie znając strategii którą przyjął przeciwnik.
 Spójrzmy na grę z punktu widzenia Pana
Wiersza. Zauważmy, że niezależnie od
tego jaką strategię wybierze Pani Kolumna
to Wiersz grając strategię A zawsze uzyska
więcej, niż gdyby zagrał B.
 Strategia A Wiersza dominuje strategię B
Wiersza. Możemy oczekiwać, że Wiersz
zawsze będzie grał A.
 Zatem Kolumna powinna zagrać swoją
strategię A , a wynikiem gry powinno być
(2,3).
 Układ wartości wypłat przypisanym
poszczególnym wynikom faworyzuje Panią
Kolumnę.
 Jak widać, kryterium dominacji z teorii gier
o sumie zerowej można stosować także
do gier o sumie niezerowej.
Pani Kolumna
A
B
A
(2,3)
(3,2)
B
(1,0)
(0,1)
Pan
Wiersz
Wypłaty (Wiersz, Kolumna)
 Dla gier o sumie niezerowej
mamy punkty równowagi,
które odpowiadają
punktom siodłowym dla
gier o sumie zerowej.
 Dla gier o sumie niezerowej
istnieją gry niemające
równowag w strategiach
czystych, które
odpowiadają grom o
sumie zerowej
nieposiadającym punktów
siodłowych.
Pani Kolumna
Pan
Wiersz
A
A
(2,4)
B
(1,0)
B
(3,1)
(0,4)
Gra równowagi w strategiach
czystych
 W tej grze możemy zaobserwować, że punkty równowagi w strategiach
czystych nie występują. Zastanówmy się czy w tej grze istnieją takie strategie
mieszane, że jeśli oboje z graczy je zastosują to żaden z nich nic nie zyska,
poprzez zmienienie swojej strategii na inną.
 Zbadajmy grę Kolumny (grę o sumie zerowej, w której wypłaty Kolumny
odpowiadają jej wypłatom z gry 2.). W tej grze optymalną strategią Wiersza jest
3
4
(7 A,7 B) - jeśli Wiersz tak zagra, to Kolumna uzyska oczekiwaną wartość wypłaty
16
równą 7 , niezależnie od tego, jaką strategię sama wybierze. Strategię taką
nazywamy strategią wyrównującą Wiersza. Strategia wyrównująca Kolumny to
1
1
3
(2 A , 2B) a wartość oczekiwana wynosi 2 .
 W przypadku gdy oboje z graczy wybiorą swoje strategię wyrównujące,
wówczas żaden z nich nie będzie w stanie zyskać na zmianie swojej strategii.
Sytuację taką nazywamy równowagą w strategiach mieszanych.
 Przez Johna Nasha zostało udowodnione, że każda dwuosobowa gra o sumie
niezerowej ma co najmniej jedną równowagę, w strategiach czystych lub
mieszanych. Równowagi w grach o sumie niezerowej nazywamy równowagami
Nasha.
 W tej grze występują dwa punkty
równowagi w strategiach czystych:
AB oraz BA. W przypadku gier o
sumach zerowych może być kilka
punktów siodłowych, ale zawsze są
one ekwiwalentne i wymierne.
Wszystkie mają te same wartości, a
jeśli obaj gracze wybierają strategie
zawierające punkty siodłowe
wówczas wynik gry będzie zawsze
punktem siodłowym.
 Równowaga BA jest lepsza dla
Wiersza, zaś równowaga AB – dla
Kolumny w przypadku gdy oboje
wybiorą strategie prowadzące do
preferowanych przez nich
równowag, wynikiem gry będzie BB
– najgorszy dla obu graczy i nie
będący równowagą.
 Jeżeli gra ma wiele niewymiennych i
nieekwiwalentnych równowag
Nasha, gracze mogą nie wiedzieć,
do której powinni dążyć.
Pani Kolumna
A
B
A
(1,1)
(2,5)
B
(5,2)
(-1,-1)
Pan
Wiersz
Gra z dwiema nieekwiwalentnymi i
niewymiernym równowagami
Pani Kolumna
Pan
Wiersz
A
A
(3,3)
B
(-1,5)
B
(5,-1)
(0,0)
Gra ta ma jedną równowagę Nasha (BB). Zauważmy, że
startegia B Wiersza dominuje A Wiersza, zaś B Kolumny
dominuje A Kolumny – tak więc jest to równowaga
najmocniejszego typu. Nie jest to najszczęśliwsze
rozwiązanie, ponieważ zarówno Wiersz jak i Kolumna
wyszliby lepiej, grając AA i uzyskując wypłaty po 3, a nie
po 0.
Gra z jedną równowagą,
nieoptymalną w sensie Pareto
Definicja. Wynik gry jest nieoptymalny w sensie Pareto ( albo subparetooptymalny, lub nieefektywny
Pareto), jeśli gra ma inny wynik, dający obu graczom wyższe wypłaty, lub jednemu z
graczy taka samą, a drugiemu wyższą. Wynik jest paretooptymalny, jeśli takiego innego
wyniku nie ma.
Optymalny oznacza „ niebędący w sposób oczywisty gorszy niż jakiś inny”. Na ogół gry mają wiele
czynników paretooptymalnych, a w przypadku gier o sumie zerowej wszystkie wyniki mają tę
własność, ponieważ zysk dla jednego gracza zawsze oznacza stratę dla drugiego. W grze nr 4
paretooptymalne są wyniki AA, AB i BA. Jedynie BB jest subparetooptymalny, gdyż AA daje obu
graczom wyższe wypłaty.
KRYTERIUM PARETO: Tylko wynik optymalny w sensie Pareto może być akceptowany jako
rozwiązanie gry.
W celu sprawdzenia które z wyników są paretooptymalne należy umieścić na
układzie współrzędnych wyniki graczy. Wypłatą Wiersza odpowiada oś
odciętych, natomiast wypłatą Kolumny oś rzędnych. Gdy już wyznaczymy
punkty odpowiadające wynikom w strategiach czystych, wynikom w
strategiach mieszanych odpowiadają punkty należące do wieloboku
ograniczonego łamaną łączącą wyniki w strategiach czystych. Wielobok ten
nazywamy wielobokiem wypłat danej gry.
Rys poniżej przedstawia wieloboki wypłat poprzednich gier. Wynikami paretooptymalnymi są te,
które leżą na „północno- wschodnim” brzegu wieloboku wypłat. Na rys 1 zaznaczono je
przerywana linią. Zauważmy, że wynikom paretooptymalnym może odpowiadać odcinek, kilka
odcinków bądź też pojedynczy punkt. Równowaga Nasha w strategiach mieszanych nie jest zbyt
dobrym rozwiązaniem gry nr 2. Jeżeli przyjrzymy się wielobokowi wypłat (rys2), łatwo przekonamy się
dlaczego: równowaga ta nie jest paretooptymalna. „Czysty” wynik AA i oznacza część „mieszanek”
AA i BA są dla obu graczy lepsze.
Głównymi zaletami wyniku w równowadze jest stabilność oraz to ,że istnieje dla każdej gry. Z drugiej
strony, gra może mieć liczne nieekwiwalentne i niewymienne równowagi, co z kolei może
wywoływać problemy koordynacji. Nawet jeżeli punkt równowagi jest tylko jeden, może być on
nieoptymalny w sensie Pareto. Biorąc to wszystko pod uwagę, niewykluczone, że powinniśmy
poszukać innego pomysłu na rozwiązywanie gier o sumie niezerowej. W grach o sumie zerowej
punkty równowagi były osiągane wtedy, gdy gracze wybierali bezpiecznie, minimaksowe strategie,
maksymalizujące ich wypłaty w najgorszej możliwej sytuacji.
Przykład 1.
 Znajdź w poniższej grze równowagii Nasha. Czy jest ona paretooptymalna?
Pani Kolumna
Pan
Wiersz
A
A
(3,2)
B
(2,1)
B
(4,3)
(1,4)
 Dla podanej gry, rozważmy
sytuację Wiersza. Najgorsza z
sytuacji to taka gdyby Kolumna
przyjęła strategię która miała by
na celu zminimalizowanie
wypłaty Wiersza. Wówczas
strategia jaką miałby przyjąć
Wiersz musiała by polegać na
minimalizowaniu
przypuszczalnych strat, czyli
minimaksową strategię w grze
Wiersza.
 Gra Wiersza posiada punkt
siodłowy (AA), zatem lepszą
strategią dla wiersza będzie
strategia A, która gwarantuje
mu wypłatę 1- wartość gry
Wiersza.
Pani Kolumna
A
B
A
(2,4)
(1,0)
B
(3,1)
(0,4)
Pan
Wiersz
Gra bez równowagi w strategiach
czystych
Definicja. W grze o sumie niezerowej strategię optymalną Wiersza w grze Wiersza nazywamy
strategią bezpieczeństwa Wiersza, zaś wartość gry Wiersza nazywamy poziomem
bezpieczeństwa Wiersza.
 Wiersz grając swoją strategię bezpieczeństwa, gwarantuje sobie
wypłatę co najmniej jego poziomowi bezpieczeństwa. Analogiczna
definicję można sformułować do Kolumny, w grze obok jej strategia
4 3
16
bezpieczeństwa to ( A, B), a jej poziom bezpieczeństwa wynosi .
7 7
7
Jeśli oboje z graczy zagrają swoimi strategiami bezpieczeństwa
4
3
11 16
wówczas wynikiem tej gry będzie AA+ AB=( , ). Kolumna uzyskuje
7
7
7 7
wynik równy poziomowi jej bezpieczeństwa, natomiast Wiersz nieco
większy.
 Zaznaczając ten wynik na wielokącie wypłat, widzimy że nie jest on
paretooptymalny. Nie jest on również punktem równowagi . gdyby
Kolumna przewidywała, iż Wiersz zagra swoją strategię
bezpieczeństwa (A), sama zamiast swojej strategii Bezpieczeństwa
4 3
( A, B) powinna także zagrać czystą strategię A. Analogicznie, jeśli
7 7
Wiersz przewiduje, że Kolumna zagra swoją mieszaną strategię
bezpieczeństwa, to obliczając swoje oczekiwane wypłaty dla strategii
4
7
3
7
A Wiersza: x 2+ x 1=
11
7
4
7
3
7
B Wiersza: x 3+ x 0 =
Pani Kolumna
A
B
A
(2,4)
(1,0)
B
(3,1)
(0,4)
Pan
Wiersz
Gra bez równowagi w strategiach
czystych
12
7
stwierdzi, że powinien zagrać B.
Definicja. W grze o sumie niezerowej strategią kontrbezpieczną nazywamy strategię
będącą najlepszą odpowiedzią na strategię bezpieczeństwa przeciwnika.
 Tabela zawiera możliwe wyniki dla różnych kombinacji strategii bezpieczeństwa i
kontrbezpiecznych dla gry poniżej . Kolumna chciałaby, żeby Wiersz zagrał bezpiecznie i w
związku z tym mogłaby zagrać swoją strategią kontrbezpieczną. Wiersz wolałby, aby oboje
gracze zagrali kontrbezpiecznie. Struktura zależności jest skomplikowana i niestabilna.
Ostrożna gra, która w przypadku gier o sumie zerowej generowała stabilne rozwiązania, w
kontekście gier o sumie niezerowej zupełnie pod tym względem się nie sprawdza.
Pani Kolumna
A
Strategia Wiersza
A
B
(2,4)
(1,0)
Pan
Wiersz
B
(3,1)
(0,4)
Gra równowagi w strategiach
czystych
Strategia Kolumny
Wypłata Wiersza
Wypłata Kolumny
bezpieczeństwa
bezpieczeństwa
1,57
2,29
bezpieczeństwa
kontrbezpieczna
2,00
4,00
kontrbezpieczna
bezpieczeństwa
1,71
2,29
kontrbezpieczna
kontrbezpieczna
3,00
1,00
Strategia bezpieczeństwa Wiersza
A
Strategia bezpieczeństwa Kolumny
4 3
A, B
7 7
Strategia kontrbezpieczna Wiesza
B
Strategia kontrbezpieczna Kolumny
A
Wnioskiem z powyższego jest stwierdzenie , iż teorii rozwiązywania gier o sumie zerowej
nie da się przenieść na gry o sumie niezerowej. Niestety nie ma uniwersalnego modelu
rozwiązywania gier w których wykluczona jest komunikacja pomiędzy graczami.
Definicja. Dwuosobowa gra jest rozwiązywalna w ścisłym sensie, jeżeli:

ma co najmniej jedną równowagę optymalną w sensie Pareto

jeżeli równowag takich jest więcej, to są one ekwiwalentne i wymienne.
Dla gier rozwiązywalnych w ścisłym sensie jesteśmy wstanie wykazać jako rozwiązanie
unikalną, paretooptymalną równowagę bądź też zbiór równowag wymiennych i
ekwiwalentnych.
Gra nr 1 jest rozwiązaniem w ścisłym sensie, ale gra nr 2, 3 i 4 już nie.
Rozważmy grę przedstawioną na rysunku.
Pan
Wiersz
A
B
C
Pani Kolumna
A
B
C
(0,-1) (0,2) (2,3)
(0,0) (2,1) (1,-1)
(2,2) (1,4) (1,-1)
 W grze tej występują dwie równowagi BB i AC, ale na wieloboku wypłat widać, że równowaga BB
nie jest paretooptymalna, zatem unikalną równowagą paretooptymalną jest AC. Tak więc gra
jest rozwiązywalna w ścisłym sensie. Powiedzieć można, że Pan Wiersz powinien grać strategię A,
a Pani Kolumna C.
Przykład 2.
 Dla poniższej gry narysuj diagram przesunięć i wielobok wypłat oraz
wyznacz wszystkie równowagi w strategiach czystych i wszystkie wyniki
paretooptymalne.
Pan
Wiersz
A
B
C
Pani Kolumna
A
B
C
(3,0) (5,2) (0,4)
(2,2) (1,1) (3,3)
(4,1) (4,0) (1,0)