Linia rozwarta zasilana jest przez źródło napięcia typu skok

Wykonujący: Stanisław Gwara
Laboratorium FiA
Temat: Ćwiczenie 1 – linia.
Gr.T2
Data wykonania:
30.11.2006
Linia rozwarta zasilana jest przez źródło napięcia typu skok jednostkowy (Eo(t)).
Wyznaczyć rozkład napięcia wzdłuż linii (w wybranych chwilach czasu) oraz napięcie na
końcu linii w postaci czasowej dwoma metodami.
1) Metodą przekształcenia Laplace'a przez rozkład na residua.
2) Metodą splotową wykorztstując rozkład na fale wędrowne napięcia h(t)=L-1(exp(-sd)).
Parametry linii: R=25, [m , L=0.1 [H/m], G=0.005 [S/m], C=40 [pF/m], d=1 [m]
1) Metodą przekształcenia Laplace'a przez rozkład na residua.
Z c sh( (  z )) 
 ch( (  z ))
U ( z, s) 
 U 2 
 I ( z, s)    1 sh( (  z )) ch( (  z ))    I 


 2
 Zc

Gdzie:
  ( R  sL)(G  sC )    j
Z powyższego równania wektorowego mamy:
 U ( z, s)  U 2 ch( (  z ))

I ( z, s)  U 1 sh( (  z ))
2

Zc

Natomiast z warunków brzegowych:
U1  U 2 ch(d )
Stąd po przekształceniach:
E ( s)  ch( (d  z )) E (0)  ch( (d  z ))
U ( z, s) 

cos( jd )
s  cos( jd )

Otrzymujemy zatem resiuda dla s=0 i równania jd   k
2
Równanie to podnosimy obustronnie do kwadratu, i podstawiamy , otrzymujemy
równanie kwadratowe. Pierwiastki tego równania:
b 
s2 / 3 
, gdzie a=LC, b=(RC+LG)
2a

(  k ) 2
  R 2 C 2  2 RCLG  L2 G 2  4 LC ( RG 2 2
d
Po zapisie w MathCadzie obserwujemy wykres biegunów funkcji:
2 10
10
10
1.64910
1 10
10


Im s 1( k)
Im s 2( k)


2 10
1.5 10
8
so
1 10
8
5 10
8
7
0
1 10
10
10
 1.64910
2 10
10

 
Stosujemy przybliżony wzór dla metody residuów:

Re s 1( k)  Re s 2( k)  s o
8
 1.87510
7
10

 L( s k ) s k t 
L(0)
 2 Re 
e 
M (0)
k 0
 M ' (sk )

W ten sposób otrzymujemy wykres czasowy rozkładu napięcia w linii:
U (t )   res 
1.449
1.5
1.3
2 T
T
1.1
0.9
0.7
u( 25  d  t ) 0.5
0.3
0.1
0.1
0.3
 0.076 0.5
0
0
8 10
10
1.6 10 2.4 10 3.2 10
9
9
9 
9
9
9
9
9
9
4 10 4.8 10 5.6 10 6.4 10 7.2 10 8 10
9
t
810
2) Metoda splotowa
współczynniki odbicia: (Zw = 0, Zc = )
1 
Zw  Zc
 1
Zw  Zc
2 
Zo  Zc
1
Zo  Zc
Podstawiając do wzoru na U(s):
U ( s) 

E ( s) ez  e ( 2 d  z )
1  e 2d

Zależność ta jest podobna do sumy ciągu geometrycznego dla:
a0  E ( s) e z  e  ( 2 d  z )


q  e 2d
Zatem prawdziwa jest zależność:
E
U ( z , s )   (1) k 0 e  ( z  2 dk )  e  ( 2 d  z  2 dk ) 
s
k
h(t )  if (t  T ,0, ( te t
Gdzie:  
1G R
1G R
  ,     
2C L
2C L
I1  t 2  T 2
t2 T 2
 (t  T )
T
U (t )  e t   (t  T )   h(t ) dt
0
Ponownie otrzymujemy wykres rozkładu napięcia:
8.247
10
2 T
T
8
6.9
6
u 1( d  t )
3.7
4
2
0
0
0 8 10
0
1.6 10 2.4 10 3.2 10
10
9
9
9 
9
9
9
9
9
9
4 10 4.8 10 5.6 10 6.4 10 7.2 10 8 10
9
t
810
Wnioski: Obie metody dały ten sam wynik, zatem można przypuszczać że obie są
prawidłowe. Na wykresie pierwszym można zaobserwować działanie współczynnika
odbicia: Skok jednostkowy po czasie T dochodzi do końca linii gdzie współczynnik
odbicia wynosi 1, co powoduje zsumowanie się fali przychodzącej i odbitej. Po czasie 2T
fala odbita wraca do początku linii i odbija się, ale ze współczynnikiem –1. Powoduje to
po czasie 3T (gdy fala znów dobiega do końca) odjęcie wartości fali odbitej od początku
linii, wartość napięcia spada o połowę.